В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Нринято обошачать диффе-ренциа.функции}кции у = /(х) символом ([у. Если ДlЯ приращениясправедливо представление (5.9) то дифферею[Иа1этой фун ;ИГ1,по о ipеделен 1Ю, ра;;е}=А/:::"х.(5.13)в случае А = О слагаемое А/:::"х перестает быть главной частьюприращения /:::"у дифференцируе ..
юЙ функ[Ии (ибо это С1агаемое равно нушCiто ;;ремя, ;;а;; слагаемое if/:::"х. ;юобще говор!}ОТ.шчно от ну.lЯ). Однако договариваются и в случае1) Первый опубликованный пример такой функции принадлежит ВейерштрасС\. Р'i.нее Н;З,ШИСИ'"г,т нег)', аii;iЛ;)ГИЧНЫЙ при;'ер был iЮСТРОСН чешским математиком БОЛЫi,ано, но этот пример не был опубликован. В Допг, iнении к гл.11бу (т УК'i.з,;н прим;'т,;ю)й фгнкции.2) Н'iЛ,)МНИ;', что Л'Шiейной функцuей арг;мснт,; х наЗ',iВ i;тся ф;НЮ')1Явида у = Ах + В, где А и В - некоторые по; тоянные. В ;лучае В = Оiлинейна;1 функ i,Иi1 на ;ывается uднород;, ой.щиалОПрiiЯТf'li'T,м\Е,.lШмул\;кции форм; лой(5,131т, е, iчи-;\лю в ,п'"м(5,iiepeе, \чi [ть, что А51,fi(:I:!iН:;'ТЬ в в iде(:гФUРМУ,iа(5дает выражение диффереПЦТШЛа(5.в точке х, соответствую, (его приращению аргумента ,6,х. Следуетподчеркнуть, что дшl:ференциGti функции dy в да; юй точке х,;юобще говор;;,;е равен iiрираще-нию функ; щи ,6,у В этой точке.
Этоособе;ую легко \яснить из рассг,ю-трения графика функ;ши у = (:г)(рис. 5.:!). П\сТf TO'iKa J\.1 ;авой у =(х соответствует знаSf'ieHiЮЩН \мента х,i'O н,а Р;атой же кривой соответствует зна'iению аргумента х+ ,6,х,мв-касательная к кривой у = ЛХ) вточке NI. Пусть далее MN 11 Ох,Р11 Оу, Q точка iiересе'iеНИ;lОхx+~x хкасательнойс прямой PN. ТоРис. 5.3гда приращение функции ,6,у равно величине отрезка N Р. В то же вре: lя из пряг,юугольного треугольника "Л1Q/V(5.141 ясно.
·по дисl:ференциалN Q, ибо величина отрежа"Л1/V ра;;на ,6,х, а тангенс \:тла LQ"Л1/V равен f'(x). Очевидно.функ; щиdyиз форм\лыравен ве,шчине отрезкачто величины отрезковзаiiJIЮ'iениеэтогоNP и NQ, вооб; (е говоря, раз,шчны.iiYH;'Ta м;,т установим выражение дл;;диффереюша,iа функ;ши у=(х)арГУГlент х которой являетс;; неза6UС'ii.моЙ nере.мен,i!ОЙ 1 .Введег; понятиедuфферен,l(uала dx н,еЗU6UСU.мой nере.мен,ной х. Под диФсl:еренциалом dx ;еза;;исимой iiepeMe;х MOJi'-но ПОНI!Г'lать ,-iюбое (не;авися; (ее от х) число. ДОГОВОРШ'lСЯ ВдаънеитпеJ\I орать это чисю равным приращению ,6,х независи-г,юй переменной 2). Эта договоренность по;воляет нам переписать(5.141видеf' (х )(lx.Подчеркнем, ЧТОiа15)(5.1;)пока что \ста;ЮВ,iе;а;амилишь для случая, когда аргу: lент х является н,е:зu(Зuсu.моЙ пе-1) П'>.l ееркнсм, '!то,гумент х функции у = .f(x), вообще говотC'iMЯВ,.lЯ'П.ся ФiНЮil1ей llГЮiТО;"'Й перг' еllН,>Й.'!) Эта ДОе'оворенность оправдывает' ,; раiiмотрением независимой переменной х как ФУНЮlЯи вида у=х, ДЛi; которойdy = dx =н iже, в}ли01 Taei'1§ 91дш;]\;I!;Tii'};ажем, что'лу iJШ,когт'(5,1,аргумент :г1ШЛ1,-н тавляет собой шфф,ется нереюшр;м"П, ,};амыCi' лаi ",'ледующийi,Ш 'ЛУЧJШ, КОГДс; с;ргу;,;'нт(5,15)изфункции у= f(:T)яв, шеiТЯнезаВiiСИМОЙiiepeMe; юй, iipоизводная J'(x) этой фую;ци ра;;на отношению дифферен шала фуню ши dy к дифференциалуаргу;та (lx, т.
е.= dy/d.T.В § 9 будет доказано. что это соотношение справедливо и в случае. когда ЩН умент х сам 1ШЛJ;ется диФ<I;ереНЦИР'v'емой фую;шей некоторой новой пеР8J\1енноЙ.Правила дифференцирования суммы, разности,§ 3.произве)iени~-%иТеорема 5.3. Еел!! паждалЧНГТF югофУ'Нn'Ц!iЙ и(х) 'l1v(x)ф~РС1·щuру('.!vtа в ;/ШН'tЮЙ точ'" х, то eYJvtJvta, ри,!'Ноетъ, ПРОU,Jведе'Н'l1е 'l1 'члсm'Ное эт'l1Х фУ'Нn'Ц!iЙ 'чле !!'Ное пр!! i!JЛn6?i'l1.
'Ч,тоv(x)"# О)таnжев : той то'Ч,nе. nР!i'Ч,е.М 'l11"e-ют JvtJ сто фОРJvtул'Ы[u(J) ± v(x)]' =u(x)v(x)]! = и'(хи'(х)± v'(x),+ и(х(х),(5.16)[ u(;)]' _u'(х)и(х) -u(х)и'(хи(х)д о к а з аи 2 (1)'е л ь с т в о. Рассмотрим отдель ю слу iаи суммы(рашости), произведения и частного.10. Пусть у(х) = и(х) v(:T). Обошачи.'l СИМВО.iагlИ 6..и, 6..vи 6..у приращения фунюшй и(х) v(x) И у(х) в данной точке х.±соответству;, ,щие приращению а! гу.6..у=у(:г+ 6..х)-у(:г)= [и(.г += lu(x +Таки.1образом, при6..х. Тогда, очевид ю,=± v(.T)] =- v(x)] =±- и(х6..х "#!::::.уПусть теперь 6..хleHTa_ !::::.U!::::.и6..и±(;-7)Тогда в СИiУ су; ;ествования производных;кций и(х) И v(x в ТО'!1;е х сущеСТ;;'v'ет iipеделыюе зна'iениеправой части (5.17), равное и'(х ±v!(x .
Стаю быть, су; ;ествуетпредельноешачение (при 6..х --+ О) и левой части (5.17). По67",е пр,ДJ л"но,ЗНС1ч, ни,реН);l))шенс 1'ВУv(:J:ПустьТ' 'т :ж;у(х=]\;n,[CГ,lbICTI,и;что и ВЫШ;,leTb+ ~x)- у(.г) = и(.г + ~x)v(J +- u(x)v(x)= lu(x + \x)v(x +- и(х + ~x)v(x)] +и(х + ~x)v(x) - и(.' )v(x)прибавилиВЫЧ.1И слагаемое и(х~x)v(x)).
ДалееMOJi1eM;аписать:и(х=+ ~xТаким обраЗ0J1[v(xпри ~x6хПусть те 1ер;; ~xuИи(х)+ ~xv(x--+1'0-v(J)[u(x + ~x = и(х + ~x- v(x)]и(.г)]=+ v(x)~u.f:..и(х6v() 6u+ ~)х 6х + v х - .О. Тогда в си.(5.18)ЩЩ)\ емости ФУЮ1-Н1е х сущеСТ;)1 "'т пр еде. ;;ные значе:шя от-,\,иношений 6х и 6х' соответственно равные и' (хиv' (х).Далееиз диФсl;ереНЦИР!iемости и(х) в ТО'Н1е х.силу теоремы ,.2, следует непрерывность и(х) в этой точке.
Ста.Ю быть; существуетщ)еделыюе значение liш и(х~x), ра;;;юе и(х). Ташм обра-+..:,.Х--+Озом. сущест )ует 11редел;;ное значениечасти+(5.18111рИравное u(x)v'(x;'(х)и'(:г). Стало быть. су; ;ествует 11редел;;ное значение (11РИ ~x --+ О) и левой '1асти (,. 8). Поопреде.1ению производной ука;анное преде.ъное значение равноу'(х), и]\;n,[приходиму'(х.1ребуеМОЙ1е= u'(x)v(x + u(x)v'(xПусть. наконеп. у(х)и(х;(х).Тогда=y(x+~x _у(.г)=и(х+6х)_v(x+ 6х)1) Так к;;к в да 'ьней"'ем в зн;;мен;;те'; фи:урирует значение v(xто следует доказать, что это значение отлично ОТ нул;,.А1ДЛЫХ6,1'.с;;· )'м,еле, ;тли бы Э'1'"н;6;1' n;'<1;;,a"J!+ 6х),всех дuсmаmОЧ1iОн;;ш :;;сь бы бесю)~+v(x 6х n ) = О.поскольку функцш;;(х непрерывна для значенш; аргумента ,то мыбы из ;с ювия v(x6х n !О, Ч';" и(х)О, а это;),ти ')'речи';нечн); м;;лая п);с ')д' ',ател;,ност;, зн;;ченийу;ловию теоремы.та);;я.
Ч';"До k!вл iЯвычита~i+ 6х)и(х) -6х)u(х)- [V(X!(х)! (х6х)u(х++и(!т)и(!т- u(x)v(x)]и(х)]+ 6!т)и(!т)и(!т+ 6х)ТаКИГА образом, при ,6,хтеперь ,6,хО. в СИ.iУ дифферен шруегюсти (и вытеt<ающей из [ее iепрер,н; юсти) фун<uи ИIХ)v(x) В ['О н<е хсущеСТii!!!iT·11т-6u-iтеделы'u!( Хзначения.6v1Шl -,..:,.х--+оi,ie..:,.х--+о-!V (х,lim v(x +,6,х = v(x)..6.х--+ОТаки: i образом, поскольку v(x f:.
li. существует предельное зна'iение iiрИ ,6,х --7 О праiЮЙ части (,.19), paii юеи(х)(!)!!(!))Стало быть, сущеСТВiiет предельное значение при,6,х --7 О) илевой части (5.19). По определению проишодной ука;анное предель юе значение равно 1/(Х), и Г.iЬT получимфОР'iiiЛУу' (хTeopeJ\Ia 5.:!§ 4.по.= ----'----'--'--'-.,,-,--:--'---"--юстью доказана.Вы'з.исление НРОИЗВОДНЫХ стененной функции,тригонометри' з.еских функцийи лшнрифми'з.ескоЙ функциив это;i параграфе ' . iыIприступи:Э.iемеi [тарныiКВЫЧИСiению прои;водныхiКUИЙ.1. Производная R'тепенной функции с целочисленнымпоказателем.
Начне,А с вычисления производной степеннойiКЦИИ-хniюказатеш, n которой ~ШШiется целы.М iiОЛОЖИ-Te.iЬHЫ'A чисюм. С iiiчай степеi юйторой является. !lОбым uе Щiсmuе1-t1-t'ЫJvt"ШСЛО.М; отложим до § 8.iКUИИ. показатель кообязате.iЬНО [е.1) Эта прои ;водная уже рассматривала!ъ в л. 1 помощью интуитивногопред! тавленш! о пределе.ВЬГIИС fЕНИЕ ПРОl!'ъпИСff()ЛЬЗУ~' формулу i)инома Нf,Юf" ,на,(:гfly -+ fl:J::г nn+ , """"""""""""",'1Та {им образом,' )n+ ( ,I',:J:+Оflxnхn- +П(11D.yD.x21)x n - 2 flx+ ...
+(flx)'-1(5.20)Поскольку все слагаеМf,те в fтавой 'fасти).20), на'ff.fНая со [;торого, содержат в качестве множителяпенях,присуществуетflx в по. южите. fЬHЫX стезначениеуказанныхслагаеJ\1ЫХравное нулю. Первое слагаег,юе в правой частиflx(,.20)преде.fЬноеот flx не заfШСИТ. Стало быть. сущеСТft>ет ffредеЛf,ноешачение (при flxопредеfенш"правой частиffjЮИЗВОДНОЙ у}{азatffjЮИЗВОДНОЙrкциихn-(5.20),равное.Поюе преде.
},ное значение ра}; ют. е.nx n -=1.Проведенные рассуждения справед швы дш любой точки хбесконечной пряг.юй.2. ПроИ"шодная функции у = sin х. Пользуясь формулойприведения разности синусов к виду удоБНОГlУ для логаРИфl!Ирова !Ия,можем записаffly =Л)'- SlllXSilluXТа {им образом,flxCOS-(D.XХ + --:2 ).D.xSlll--:2'о. D.:!D.y( D . x ) --.-.SШ--:2~ - cos х + D.xD.x5.2Та}{ какrкция у COS х ~шшrетсялюбой точке хбесконечной ПРЯl юй 1), то су; lествует предельное шачениеD.x(CoSх+(5.22)1'О,} Х.2Да.fее, в СИfУ основного pe;y.fЬTaTa п.2 §6гл.существуетпредельное значение. D.xsш-lilll - ._2_6x-+i!сОх=1.(5.23)21) Это доказано в п.
6 § 5 л. 4. Впрочем, непрерывность функции у = cosле; 'ко доказать, испольразностную фор ..l1у У1ЛОВШ1 непрерывности.17ПТа}{существу; тзн;; }ен}епри 6.:гш},; пр!Д; л};ны--+О;зн;; }енитравное сов:гопр!Д;л!нию производной;;;е пр; д;л ;но! ЗШ1Ч; ни; });ШНО }}j)()ИШОДНОЙ Фун}{Уу}{аза}=}теделы н;е;,21) });Ш~О! пр; ;из}!;siп:гт,:г)'с;;в:г,-Проведенные рассуждения справед швы для}юбой точкибес}юне'}ной пршvIОЙ.Прокшодная ф'ункции у = cos х.!Ьзуясь фор: l\ЛОЙ}!едения разности коси }усов к }!иду, удоб юму дш3.мирования,;,ю:же;А;аписать:6.у = сов(.г + 6.хТа}{образом, при 6.х-;0;;#ох-2 ;;ill=.(г + 2) siп;Н;!::::.у2!::::.Х(;.24)!::::.;гТак как}кция уsiпх является нещерывной вточке х бесконечной прямой; то су} <ествует предельное,;;бойшачение·11т.6.х--+О.Вlll(х+ -!::::.х)2.ЮllХ.И; существования предельныхшачений(5.23)и(5.25)--+ет существование }!J!еделыюго з }ачения (при 6.хчасти(5.24),равногоопределению проишодной по(- ;;illX).С}8днее преде, };ное З }ачение ра}! ю-СОВХ,.вытекаО; }тавой}}jIO}зводной фую{цие.(сов х)'-юп Х.Проведенные рассуждения справедшвы для любой точки Х бес}юне'}ной==4.
Iш"роизводныеуtg х Уctg х. Та}{ какна;.ш уже вычислены производные функций у = Sill Х И у = с;;в Хи так какsinxt gx = --,cosx;'tgx}·о дш} вычислею};' ЩЮИЗ}IOд} };ТХcos= -.-,Slll}кций у-Х= ctgхможно вос}юш;зоватьс;} }'еоремой 5.:! (точнее, формулой,жающей проишодную частного; т. е. третьей IГ; фОР;.lУЛ (5.гЛы ПОЛУЧИ.'.l, что всюду, кроме тех точек, в которых СО:; х =О,! t.; ,g Х)'-(sin х);х - (cos х); sin х"-----'-----c-o-s--,"-x-~--cos'хТЕОГЕМА ОfГОИЗВО'lЮ'"о(OSвсехЗН,i fени(itg ,()':г,=кромеХn,:г(СОБТ)' SШ ~-:;sm-(сш (с)' СОБ (сО,nгде1-.-0-'хSШ- ХИтак,1х.Slll< Х, I110жеГА записать:~y = log a (x + ~xХ-l,ig a Х = l,ig a~xТа i им образом,2~= l,ig a(1 + д.Х) .од.х(1 + ~x= ;:-log a3 §6В силу основного ре;у.
fЬTaTa п.гл.(5.26)выражение в квадратны скоб}iах имеет~x --+ О (и ffрИ любом фffiiСИРО}iанномшачении х) предельноешачение равное е. Тогда на основаниинепрерывности !I,ункции упредельное1ное- lOJ';aшачение (при ~xlog a хв точке х--+с. По о теделению произ ;од}Хзна'fение равно щюизводнойс существуетправой части- logaх,.е.е(ДfЯ всех шачений х, принад fежа, ;их по. fУПРЯ:;ОЙ х'faCTHOMС! <чае а->.вс по.
fУЧИМ(lп§ 5, TeopelHHрав-указанное ffреде };ное,кции1(5.26),=l/х.о производноii обратноiiТеорема 5.4. Пф rnъносrnи rnО"l'Х;И Ха возрастаетрывной.1\.РО;iе m ого.е;;л в rnОЧ1\.е хu u nроuзвод iаяу - f(x) в01\.ресrnуб'Ыuает) и .нЛЛЛi'rnС;i непре-у - f(xоrnЛU"lна.f'сущгсrnву"rn обрurnнал ФУНi, i(ИЛ х= f-д!iффереН'И,!iР!/нуля. Тогда(у), i,Ornop; л оnр; i;елеН;i172.1oк;p~' ,п НО!""д!iффереi!.'Ц iщ;е,ма вводную, ра туюк аil,1'той(:гоа тдля ФУНКf]Ии Уnроизь= .f(:T)П! +~Жiiвсего зам! т 1М, чтоВЫПi;ЛНiНЫ В i;крестности точки :го всеУСЛОВi1i i сл i iТiШЯ из Л!М]\;Ii;Т1 §4ГЛ,4С, ,гласноCjii;MYслед-ствию существует обратная ФУНКf]Ия х =(у) определеннаяiекоторой окрестности ТО'iКИ Уа - .f(xo) и iепрерi;i iaiiэтойокрестности, Придадим арГУiiенту У этой обратной ФУНКfjИи вi'O н!еЩЮИЗiЮ i;Hoe отЛ'l1'Ч,ное от НУЛЯ приращение 6.1/, Этому прираi iению отвечает приращениеобратной функции.причем в СИiУ ВQ;растания (и,ш убывания) ФУНКfjИи 6.х 'О,Tai!образом, ]\;Ii;T имеем iipaBo ia ii,1caTb следующее i'Оi!дество:1(;,2/)!::::.у/!::::.х'Пусть теперь в тождестверывности обратной(5,27)6.уТогда, в си,iYнепре.1iКЦИИ х1i'O н!е Уасогласнорашостной фОРi'iе усювия непрерывности, и--+ О.Но при 6.х --+ О ЗНaJ\;fенате,iЬ дроби, стоящей в правой части(5,27) по определению производной, ИГ,iеет преде,iЬное значение.равное Г(х)О, ('таю быть, правая часть;,2/) ИГiеет при1предельное значение, равное -/,()' Но тогда и леваяхочасть(5.27)ИГiеет при 6.уО преде, iЬHoe значение, По опре-делению производной указанное преде,iЬное шачение равно 1 ){.f-l(Уо)}i,уточке Уаu- (уа}' = //(1;0)'ахохложиг"(5.28)Теоре: ia 5.4 доказана.ДOi!аЗaI iaii i'eopeMa имеет простой геоi"iетрический Ci"ibIC .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
