В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 29
Текст из файла (страница 29)
ка,,,ИBi;Ti;целые неотрицательные ч "па, рИзвестн". что ,юб"е Ц" н;е п"ложительн"е ч ,сло Mi; ;i;'T быть; динств;образом прещ тавлено в виде суммы целых степеней числа 2 1):,ках<ннымn_~.-L-'o,z2n -;2=1,д;' а; равно,иijо,ю.8,и;;о.~~единИi,;=t (~,dn9)i::::::::::lТаю"v! обuазом, каждое значен ,е 8 представимо в виде конечной суммы чисел 8"дл}! ю,ждого И, кот"иых зю,чеНll.'S(8;)иC(s,.)"прещ' ,ены выш;. '.Мы можем теперь, ,,,полы~у}! формулы (1.51), определить значени}! S(:r)l)в дв"ичной систем;· счис·,еНllЯ цело;· чис·,;;представл}!етс" в Вllде с "v!Вола. состо}!щего из нулейв; П И представлю.'Т с"б;;й кu"ткую :запис,· ·шс.ш,ч "па2)См.
сноску на с. 60.'ИНСТВ;. 'ннымеДllН",.Этот сим;шщ' С" ·;;м,·; степ;·,;еЙив т' 'чках множесСШ" н'ва""ii"HOi" ПlIli,HПриомi,ение "'тин" фiil'М""н iЛжны'"1ЬiiЯ,при iО""iИТ КОИжерезультату независщ:v1O от способа обii"единен""' слага,'МЫХ 8, в группы В+ОР'СiЛе (4" 19)Например, мы мож"м положить= ;г' +:1:", гДi' х' =8:"и затем выч "iЛ ,ть 8(:н) по первой формуле (451) Но так [не можно поло-2:" o,i8,".ЧТiiб,",iИП ся.ЧО",-пос'щцотельное применение формул) будет давать одинтотрезультатнезав "имо от способа объед ,нени}{ слагаемых В в группы в сумме ('1. 9),достаочно, чО'сЫ имели месис[(.,'(:праведЛi'ВОСТЬо""iiii'"ия++=++н'/I] =этих8fx'соотношеш,й++++устанаВЛi,ваетс}{непосредственнопутем двукратного ПРЩ:VlенеШ'"ii формул ('1.51).Убедш"ся тет'р,",+'iНКЦИИ 8(в'; и С(в';, iiпрещ'леЮ ii ""' ю,.ми, анiiестве {в}, обладают свойством 1о на этом множестве.
Пу, ть в', в"в'в"принаД",:iе>[,~;:t.Т ,\iказаННоrvIУ[СТ:>ВtПvl в', В"/8' +8/1 В ВttД"-.' C\iMrvI('1.19). )б'i,един [!! вход}{щие в в'ч"сла в п С одинаковьпvНi Т!, до тех пор,+пока оставшиеся в"е "уд""1'"име,',И'iНые ИНi"ексы. м,",Пl'ИЩ'Мil'"" п+п 'ровке слагаемых В n , дающей представление (4.1'i) ДЛii Ч'''iЛа в'в". Новi "не ",ыI пока:зали.ин" '""iЛьтат вычис',ения 8(в) И"',И С(в) !ЛЯ с"" ",'м,",Ю СЮiЛькин, ,'р' ""ментив "е iiiШСИТСVММЫ.спост)"ледовательно. если в', в" И ВГ1)"" ППИl'ОiЖИ с.ш,г,'i'М,"'"Э О"в" принадлеiiiaТ МНОненеству {; }, то:з~"чен"я 8(в) и С(в), вычис ,енньн' в ЭП'Х точю,х, удов',етворяют пеl'ВЫМдвум соотношени}{м ('1.51).справедЛi'ВОСП' третьего соотношени}{для ""Iш:заю ,"Тн, зю,ченийубеди ься "е 1)""определен",' 8(:r)в точках О и d следует, что8 2 (d)виС+ c 2 (d)В(О)+)щ' ,е.
из(О) == 1. И, и' К Рин""(4.18: 'iЫ н'кае!лиНii[[[i'"ия(в n + С 2 (в n ) = 1 для всех 8 n ,И, "епосредствеюн'провер}{емой формулыСШ'сш ,jБi дл"вiiсть С','ТНiiШi ни}{ 8 2 (в)нiiества {в}.!'Нii,"же'сн,еиь,для всех+ С 2 (в) = 1 д.""o'ie" " ",н,}ю'ствавсех точек мю,{в ,0ТЛИ'iii"О Исправедливы HepaBeНi тваО< 8(s) < 1,О<<справеД'iЮiОСТИЩ'и.Дл}{ этого каждомv)0)1).(4.20)по}ю'ства {в}, относя B"iT~' Г1)"" ппу все ЭШ менп"' {в , 'нОТ' '1 ые мii}ю н'вить в видеpd2n' где О< Р < 2n1)Напомн Hvl, что в точках Олами(4.61).ин[""КпостаВЩvl в соответ, тв"е группу элементов мно-иреС- нечетное число. Элементы этой группыd значеш,,' 8(в)С(в) определены форму152б«ть,«Т Юi;ывад' жит,<)яме}к,д' мент порядка Т/порядокд"«болы;,,' т/, и ко;еОличаю<; сяi\PY; а,руг О;,д"ментВсе "с ,,';;<ные,д"мент;; порядка Т/+'«Т быт;<К 8,,+значен;;,' '{ОI)СОl;;еПерш<;;'2'на+1;'от") ых) а, ;ичных 81м"Т/< Вычис';имединственное значен;;епор}{дка ед;;н;;цы)Имеем ;;з (4<18) S(81) = )1/2 и'(81) = )1/2.
Таю"v! образом, дл}{ эле(4.201 имеют место. Д"пустш,; ,'пеuь,место ДЛii всех элементов < пор>щок которыхт'рв"йчто неравенстваЮ';>ыттп'имеют)0)Т/.Тогда; в с;;лу первой фоuмулы (4.51); значен;;,' S(s) во всех точках пояn+ 1 по';"}кит;';;<ны. асит< т;"'т;<ей(4.51) ;г"не больше ед;;н ;"ы. Полагаii в первой формуле<;ти ,,;а';; ;;ияd, ;г'-8учитыва}{ четность функци;; 0(8); найдем, что= S(d - 8), и поэтомудш 0(8'; справед;и;>ы(4.20) !ля :зю;чений 8Т/+ 1; та"как. если 8 lПv!еет пор>щок Т/,1< то d 8 также lПv!еет пор}{док Т/, 1. ПОЮЩ« ю~ии ОТС;СЩ;; с';едуе ,д'Шоче" <<н; ;}ю'ства {8};;ичных ОТ ОИ d; спuаведЛl;ВЫ неuавенства ('1.)0).Д;)1{;а,,;;<ем; ';то фун,1{;чии S(8) и 0(8), оnределен,н,ые н,ами н,а мн,;);ж;еС ';ве {8}, Muн,OтO'>н,Ъf, н,,' эт,,< м»о;ж;естве.
Именно, покажем, что S(8)в":з;,;;<стаю н;;я ф« ню~ия, а 0(8) - «(jывающ;;я ф« ;;кция. П« СТ;< О ~ 8'+<<в"в'8<' -- - - и - - - ,,;.ключены стр; е;' ;';'ждуИ22формулы (1. 5) и)0) следует, что S(8") > SC';), Следова ;'Лl<НО, S(8'; ;'ция. И, СООТНQ}нения 0(8'; = S( - 8)d.Тог ,а<+ 8;'8<+с.Ш'д ;'т; чтона мн; ;;;;;'стве0(8'; -Д;)1{;а"nлотн,;)м мн,о;ж;ествев,< ";ж;dо;J,f8{8};1;ункц"я.фую;;ции S(8) и 0(8), оnредеден,н,Nе н,а всюдуточел; сегмен,та О, d1, имеют nределън,ое <,н,аче-O,d].точ,< е.пос';едо;;;;телы;;;с Ь {в"и П; "",;же;,= 1 (существован;,е эт;,х пределов следуетР;;<ссм;;SC',,, )n--+' '"огран ,ченностиИЗ монотонности;;;; <,,;тельстваина мно>"естве{s}).;;;ват; ;;НОСТ; Г~:)}; г,е t(8,,);;<ссм; ;трим=Дл}{ до-~~::;.2S(8"+1)0(8"+I)иSC',,, );;.к.) S( 8n +l )К'( 8n +l)8"О(вn)8t(8,,!-8"t(8 n+l)> ---28"+10(в,,)иt(8,,!-->оn,п)ит.8,,+1{t~:)} убывающаiiограниченна>,.
По теореме;'от") ый <,ыI "б;;;зн ;чим че;'"5она имеет предел;; L'<li'ш t(8,,!8"= L.(4.21)приn-+n--+ОС'НОСТИ функцИl'(42 ())liш=О8 2 (.<;n)+-'·сюПоскольку>1tз (422)соотношеН1'"n)тмеППvl, что ":~1iПJ= 1вытекает,C(Sn) = 1.('1.23) следует.
что('1.2 )· S(8n)L.1lШ-- =n( 4.ВN28(8 n +l)0(8 n +l)8(8 n +l)<28 n +l8 n +lТак как1"э ОМ\' IП(4.21'; и (4.24)8(.'\n)L--<ВnтопоследовательностьIli,H "мf.(8 n )<--и\и8(8 n ) <П" сп.. 8n < t(8 n ).HieUb, ч оn8(8),имеет п' едельное значеН1,е в любой точкемонотонновозрастающа.\\,сход}!ща\iС\\"н"}ю'ства {sl. Ti\X как {8(8~)}-до \\\телы "сть, то с'щес \iyeT прещ"через 8(х). ПУi ть {8~:}0\\( 4.,(,бая С\',' 'дящаясяпоследо \\\\телы н 'с ь :3Н1 iчений 8тва {8}. Дл\\ любогоМО\ЕНО, очевидно, указать такой номеu k,{ )тсюда, в сит· м"нот"нН1 iСП' 8 (8) на множеств" f 8 ,имеем). Поэтому из ('1.22) следует, что8(8;') = О.}--к11.:хпоследовательностьэлементов\iOipac \\\(,щая огранич' i\Н1\Я ПОС'iеliП1 8(8~ , K"Topi.,i C Mi·C or>o ,,\а'ilГ/n,.'Хлюба}! сход iща}!с}! к 11.: последовательность эле-множест \\\ {8} 8~ '"Тог .
(ан сват" \\.но~п.ет предел нуль. 'оглаi но доказанному n-+ооогuаничеННОi п, ФУНЮi 'иiеш (\н iЯ (\а "'н'}ю'стве {8}сегмента [О, d]. Пусть {s;,.}(I"n 2 С' n 1){I 8~;8~I} имеО. Изимеем(Ч) (8;,; 8;, )иньпvJ\\ словаМ1t.=силу про 'ЗВОЛЬНОi п,О.последов а--+00·'\\.НОСТИ} Э О о ,,\a'i\\"T С" \\н'ств"ваниеiелы\р':3Н1\'iениящ, и 8 (8), определенной на {8}, В каждой точке х сегмента [О, d I:liш 8(8)= 8(.г).s--+xИз соотношени}!82(8) + 02(8) =И неотр ii!ательносп, ФУНЮi 'и O(s)Н1\ . ·сн с}ю'стве {8} СШ'СУ:\\"СТВ' свание прещ' \\.НОГО ЗН1\чениящ,и 0(8) В Kaii' нсй т"чке cerJ:vH'HTi\ [О, d]. ]\Iы б·· (ем "б\\:зн iчать пс'" iельн\\езначен1tе этой функш,и в точке х символом О(х).1) Напомним. что {s} - всюду плотное множество точек сегмента О, d].ть", (:[;)фу',ре,,«;енн,«,,<утвеРЖiiеНIН, (фор]\!улироваННОIОв",л«СУU<"СП U (i'iП1i,'u,J/, Фую;rч'u,iiC(:r) i iР'ЩВii<РИ~S(:[;)тельно установи]\!< что определенные укаiанны]\! i'Ыiпе (пособо]\! наcel<]\!eHTeHi' Ни]\! с,т]\!енте< jo~первых< докажем < <iTO ес,;и х ;юбое <шсл' , из cer'iieiiTi' r 0< dl а 8' и 8" любые чи(ла из мно)ке' тва {8}, удовлеТВОР«i "fщие нераi,енсп,у 8' < х < 8",то< S(x) <"'(8') > С(х\ > "'(8")< УстаноВIШ, например, чтоS(8'S(:r) (нерав,нс ва S(;r)S(8")C 18' > C(;r) > СIдока:шв,,"fТСЯ аналогично) < Пусть {c~} - сходяща«,"< к х, возра(тающа«, по(ле,ювательнос ь чисел мнос(,,'ств;; : 8 , вс« iЛ' "ie ,т,«' 8' ,«О "рой удив<,;е виряюнеравенс ва, i 8' << х.
Так ,:,ак на "шожес <ве {,;} <фу ii<,пия SCf) возрас ает, то последоВi'; е,;ы" ,сть S(8~ -S(8'\' возраст,,<е;;;'iee по<,;, 'f""тельныеэлементы. Поэтому предел S(x) SI1) это' по(ле, о,ательности положитеш'н. Та,<,,,обра:~,,,S(8') <iiiокажемфУН'J';;'I~ИЯ S(x)[0< dфi!ii'h;Чi!,'u,С(:[;) мпн 'iЛ,()iiiibl 'u,iiепреры тывозрастает на сег.менте [О,(доказатель(тво убывания ,j,,!н'J';;ЧИИэтом сег.менте привиД"ТСЯ ,'iiа,юг";CТi,< х'х" - любые ДВ,'(ег]\!ента [удовлетвор«' ''!iiие нера"енсп,у х' < х" . Е(ли 8' - некоторое<iис;ю '" ,жес ва {8} <i"к,;юч,'Нii' "<;r' и х" х' < 8' < х".ди,<",з, ,iНOMY S(x')S(8' И S(8')S(x")<.
е. S(x')S(x"). MOii"TOiiНOC Ьфункт~ии S(x) на [ d] "оказана. Лре:жде че.м перейти 'J';; дО'J';;азателъствунепрерывности фУН'J';;'I~ИЙ S(x) и C(;r) Уi<тановим, что 'iредеЛ'hные знаЧ'iния ,j"!H'J';; щй 'i,(') И С (в тОЧ'J';;ах .мно:жества {8} совпадают со значениями эти, фУН'J';;"ий в 'оотв,iтiтвую1ЦИ' rпДЧ'J';;а, мно '"е,тва {8}.Р"ссм"трим "'ю"звр ,ь,,' ,е <,ислр8'" ,жесва{8}И две с" 'дящиеся к8последовательно(ти {8~} и {8~} эле]\!ентов множе(тва {8} таких, что 8~ << 8 < 8~. В силу "Юii"ТОiiНОС И '!;;нкц"и S(81 на" ""жес в« {8} справ,щливы ,,(р,шеiiСТВ,' S(8~)< S(8) <S(8~ 2).
Та,<, ,<",к liш S(8~) =n-+ 00указанные пре"елы равны предельному значени," в точкеliш S(8~)n-+ 00функт~ии8"< ;твер;"д,'НИi.' ДOKa:~aHO. ~бедимсяо функц"и S(x) И С(х) Henpez"w "'1 в 'J';;а:ждой тОЧ'J';;е сег.мента [О,ТО толы<,о что сфирмулириваНii'этого доскехaTo'iНo усуказаННОI<Оанов iТ',<, ч;(ег]\!ента(леваэт"исправа,непрерывны(непрерывно(ть (пра"а и непрерьп,ность8~} -l\lножеСТi,;;а {",,::}.. ДлянепреРЫВiiЫ в"ч-справанещ,еРЫВiiЫ с;;ев" В "'iЮ' d (СМ.,аМ«<"'iiие в п. 1 § 3). Докажемделенно(ти непрерывно(ть функпииточке х cel<MeHTa [;ст,«теш<рь,доказывает«,юр,'(левааналогично).i ,е,<,о "р,ш сходящ,шся х с ;ев" '" 'с ;еДивательнос Ь ч"се,;Так как lilll.'М;,< .. ' == S(x), TO~' ЛЯ Лj'",;,,',~ого е > О МО)КНО ука/':--+00заТЬiЛ'('iеiiТ<8k этой посл,щоВi' ,< ;ы,,,сти< Д,Ш китОР"Г" ОЕ.
Рассмотримеперь произвольну"сходящуюсяS(;r) - S(8~)<х слева ,ю(ле"овательность {х n }.2У - ном«' < Н"ЧИiiая с ,<,О "рого В'«iПОЛНЯЮ СЯ нерав,'нс ва 8~ << х n < Х. силу возра(тания функт~ии при n ) N "ыполн«, 'fТСЯ неравен-nn-+ 002\Ц,Ш[S(8~liш S(8~)=S(;r)S(8'числ"<>О- S(8')] = S(;) -'ади определенно(ти ]\!ы доказываем это уп,ерждение дл«, функS(x).55ст',а<',( J<<<"опоставл·'·' ихнерав,'нствами ОS(:/;)справеi!.ЛIН'Ы нера"енсп,а О',,(,г) ,ыми С,ЮВi'МИ,ша',е"иев точ,~~е :/;S(:/;n)S(8~)- S(:/;n)S(:/;) ,слева ра',но частному ее значеНIН"в это" точке ТаКИJ\l 06ра ЮМ, непрерьп,но(" ь S(:r) в ,,',ю·с"евс,iпределим теперь фунюшиС"'ТНитттений S(cd) = C(:r~ иина сегыенте+ d\[d, }d]ПОJ\lОЩЫ'-S(c).
ПРИJ\lен.~,~' эти ф"рмулы'",спрос ''''''ИМ э И i'''НКЦ"и "а сег,с,е"т r 2d, 4d]. Пов "ряя ЭТ" расещесу)кдения, мы определим эти фУНЮiИИ i!.ЛЯ ',сех пшю)кительных значени" х.Для отрицательных значени" х ыы определим эти функпии с ПОJ\lОЩЫ'С"'Тi,,,ше,,ий= -SIи= СIл'т,~,о ,б,щ"Тi'.СЯ, ',то в р,'зультате ыы получим функции, непрерьп,ные на ',се" бесконечно,i прямой.il"нкции S(x) И С(х\ ,Довш'творяют реБОВi"ШЯМ 1о. 20иутвеР)Кi!ения, сфОР'i,ул"рова"ного в начале дО'J{;азателъства существо-вания. 3с,мет ,о"~, ',то ее,,, в'сегыента[в"в'+ в"s при"адле.1.1ii"MHO.1.1,eCTB'сто. Из у,~,аза"ного выше способа "РОiЮЛ.1.1,ения фУНКЦ"Йсправед",ивос ь э И' фирму." Д,Ш з"а',е"ий арг'd].принадлежат сегыенту [О,S(T) иd+ в'в"ПрЯ'iЮЙ видарd/2 n , где р игумен, а образуюв"беСКинечнойЛi,,6ые пелые числа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
