В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 31
Текст из файла (страница 31)
О(уаiiiЧИМ угал паК,iiiIIa сеКУЩI'Й мр к iiси Ох СИЫiii,ЛiiЫ <р(,6.х).ПаСiiаЛi:iil углавай iiаэффи шент секущей l'vl Р (т. е. tg '11(,6.1))::::'уравен атна! iению ::::'х' та= агсtg ::::'у(5.7)::::'хпри любiiЫ,6.х,I'Т! 1 'iiiiПИЯт.е.личпам ат пу ш. ИI'ущеспапа!i1'ущеiiредель-OC::!1jibIного зна' :енияг (:г) и из непрер j,ТВНОСТИ функцииЕш~:[:---+oн=пр!'arc!.g Д ш всех значений арг!! \!ента Bj,HeKaeT существование." iЬ юг:: зпачения функпни (5. п точке,6.х = О i!апепс поЕш <р (,6.х )D.!f1im/\х---+О.f' (х )/\:Т!ОРавенство (5.8) доказ ,шает существование п: , едельного значе(при ,6.х --+ О) УГ1!! паКЛi)па секущ('й М Р, т.Дi)KaiЬH аесуществование !<асательной к точке М.
Кро!!е того, из равенства(':.8)ч:р!",iыI !ха('т,<Роесли: :бi)зпачи.f' (х , т.<Роь у,::л,аклш ,а каса"iЬпой<Ро = .f'ПРffВ5fЯВ полной аналогии с по!шыи :!:!ап::г:: иле, ::,0 пр:' !:'ЛЫIЫХ,ий фу!П, ::-5.дятся понятия(,! да!точке х).Оnределенuе. ПИ лево{l nроизводнъlТ ф!!н <ЦИИ у =.fа в о {1(л ео {1)nо и з в о д н о uу = .f (х) в даюt.оU фи'Х:сированноu то'Ч'Х:еназъuю.етС>f nршюе левое) nределы-юе Зl-Ю'fение разнос ii1Ш20отНОШfiНИ.я\:) в то'Ч'Х:с ,6.х = О (при условии. 'Что :то nрсдельное значение сущесrru!уетlЛх)Прапую "рои !ПО.шую фу!: :бi)зпачают , имполом .f' (х О), ле,символо!- О).Еслиу = .fИ.мсстт: :чке Х : :быч!ую щюи !подпую П точке хв то'Ч'Х:! х nрmtifводну1О .
тоона И.меет в э nо{1 ШО'f'Х:е и nрш!у1О, и ле!!у1ОдШЮЩШi Мfi:ж:дi! собоU. Ес,ш фif!!'Х:"ЦИ.яи nраву1О: исовnадшютnрmtЗ!Юfjнсо!ща-!'т в то'Ч'Х:с х=.fи если у'Х:азанные nрmtЗ!Юfjныесобоu, тоnрmtifводну1О 1). Выесданной точке,fe-у =!'м "ущес пую.f(x)И.мсст в тО'Ч'Х:fi хфу!им('ющиеи праву:", и леву:', производные, но не имеющиепроизводной в этой то' !·:е. При! ером та!·:оЙ функ iИИ \!m:<ет сл!!жиь.f(:r:) =111{+Х'.'.'{)та ф!!Н<liИЯ и! еет в то' !·:е1im~T 1,леп!!!! про ,з, од!х.!""ЛИ Х ;? О,!""ЛИ Хправ!!!! производн!раШl!,Ю/\:[;---+0+0 D.:rим: '!'т П точке х = О щюи ,подпой.6.< О.!!!.равнуюlimD.x = - 1D.:r'6,---+( -!:Понятие производной векторной функции. Вич,'С!',ОМанализе и е!'О приложениях часто встреча,· ,тся понятия щ'кторной функцииИпрuи.:водноii.1 Это .:твеРЖДi'Н!!f· СШ-ДУ"Т и: СОО В,'ТС! вующ,'л, :твержДi'Н!!Я ДЛЯ прав! ,1 § 2 г.,!.
4).г!, и,!евого пр,щельн ··:х :~Н::Ч"Н!!Й фу н·лии f CM.f!M! . ,,!ние !!:~ п.61'h;П:JICдо.м,ун{ПОсоо;;;1МJ/'М;Н!И() пер .. ;;е то;!';еmс;;';nепо'11,;·;а';есmно.м,у а;.•· .. Н ..р.I/,{n,иа. МНО ·;,е;rnн' i t,ш/(шМJ ,;е; вектор взаданнон декарто;юниД;;' ,:~н;;чно uпр,ще,.JЯ,·ТСЯремя ".оорд;н;,';"Так как каж; ы;;;еторнон функт~ии;r(f)=il;аи) эк fИ"алентно за"аню"!tiиПuня ие ве". "р;;"й фуи,,то:~ад;,;;ие век-трех скал',;рных функт~и]j"сuбен;;"О"ратитьс..,; к так называеМОJ\lУa(t),ПР',;]\IOУГОЛЬНОн ею те;;аг,.JЯДНЫ;'ес..;"фуню;ии.''догра;Jюм н;, ""ша,'ТСЯ геом,'трич,·с".ое м,'СТО ".о;;цов вс,'Х В,""ровприложенных к началу координат О. Кривая L на рис. 5.2 предста-в,.JЯесuбuй гuдограф В,";l;;нкц;и а=a(t).Понятие ;'о;юграфа ;,екторной функции предста,ляет собо"ПО;JЯТИЯска,.;ярноЙ ;l"нкции.о' ю, "jfениеВведем по;;я ;е производной ве". орнойа{ (; в дан;;, 'й фиксирuванНОнточкеt.aprY;J.;e;;TYЭТОн#т~ели прида"нм.'прираще;;ие+о и раССJ\lОТРИJ\l вектор /ia = а( t/itia(t) (на рис.
5. указанный ;,ек-/it+Дл',;"PO;:~B"тор сов"аДJ.;е с В,"указанный ;,ектор на число""ВЫй В,"/i"1- " = -[;;(tL"ром 2\!IP). у;, ,.. ,ж,ш1/ /it,ыы по-"ро+ /it)у(5.5*;;(t)],х;,ляетс..,;анало; омразностного'ис.5.2отношен;я (5 ..:;). О ;,;е ИМ, ';то ве". "р (.:;.5*) предс ав,.JЯе сuб"й сред;;юю с,.ОриСТ;',+изменения векторной функпии на се;'менте [t, t/it].BJ.;nrnnpHOU фун.n;,ии а = a(t) в да.юМ\U фиnсирпва.н.н.оU mо'Ч,nе t на.зыва.J.;m;.я.
;;реде' при .itПроиз;юдна',,;иливекторной--+ О разн.о· rnн.ого "mн.ошен.и.я. (5 ..:;*).функциио' юзначаетсяСИ]\!вОЛОJ\l(t)da/dt.Из геоме ричес,'.;х со06ра;{J.ен;Й очеви; но, ч о производная векторной;l;;нкц;и а =ЭТОЙ функпии.a(t)предс ав,.JЯесобой вектор, касате ;ьный К ГОДUГРJ.;.фуТа". ".J.'K Ю" ,рди;;аты РJ.;.з;;"ст;;"г" "т;;"ше ;ия (5 ..:;*) с'" ,тве стве;;норавныx(t+ /iti- x(t)y(t + /it) -·,Т.itz(t+ /it)- z(t).itТО ЯСНО. что координаты произво; нон(t) равны произво; НЫЫ функт~ийх'y'(t)Т; ким uбр;, юм, вычисл, ню' прuи,шодной векторнойц;и св о; ;н; СЯ К в',;· ;исле; ;ию произво; {ных ее коордю ;ат.3а м е ч а не1.Т;;,к ".;'К ве". ,,;;;;аязакон движения материально;; точки ПО криа=a(t),юреде JЯетсобо""PO;:~B, 'д;;ая а' ({; равн" скирос и дви,,;,'Н JЯ погuдограф; ;"щейYKa:~aНi;,За2.И:~ курса'шые т;пы прuи шед, ний В,"6В.А.
Ильин, Э.Г. Позняк, часть';ескuй г,',,;,;е ;ши извес Н;,,, pa:~-"ров; ска JЯрное прои:~в, де;;ие, В,"I"р;;',.'lИС.'iEНИ>lПРОИ.Ш' "ение и смен,анное прои.:,е::ение), Выра)ю'нИi' щ:ех этих ПРОИ.:,е:,енийкоор"инатах дает 'ЮЗ]\IO)кность указать правила, по которыы вычисJЯЮ СЯ ПР"И.ШО"иы'· соо В,'ТС ВУЮЩИ' щюи:~в,ще"ий векOpH;'.iX фу,,;, ний: скаЛ"iРНОГО,it), (нО)и T'i(t) =В качестве ПРИJ\lера ПРIн,едем правило вычисления ПРОИЗ'юднопр"ишещ'иия ДБ:Х векторных il"нкт~ий аО) ={ЬНt),Ьз(t)}{a(t)b(t)}' =+ аи)ь' (t) = ',(t)b 1 +++ а~(t)Ьз(t)} + {а (t)b~(t) + a,(t)b;(t\ + аз(t)Ь~(t)}.а'Аналогичное пра"ило справе"ЛIНЮ и "ля векторно:'о произве".еНИ··i двухВ",,,;iYiiЫХ фу "',ПИЙ:ia' (t)b(t)]=§ 2.1.О)].ПОНЯlие дифференцируеI:ЮСТИ функцииПонятие дифференцируеМОСIИ функции в даннойточю:.
Пуст:,у =лоы+ [аО)Т,f(x)ilailи в пп.,2опр'"преДi,ТДlщего параграфа, функ-"'Котор"ыобозначено пеilО орое фиксиро;;а;ука ::шпог, i;те!';::ila,сиы;" "ibl;теj';::iле (а,Ь);ое значе;СИЫ;"-аргумента.6.х обо:;люб. ,е приращение аргумента, та:ое, что зна'jение аргументатакжепрннадлеli<ИТ (а, ЬОnределенuе. ФУН'Х:'ЦШ; у =называетсл д и Ф Ф еР е н 'Ц и Р у е .М ов данно{l точ'Х:еесли nриРШiцение .6.у эmлi1фi н'Х:'Цшt в точ'Х:с х, соотвстствУЮЩi" nрираЩi нию арг!!. рнтаf\1', .можеjji быть nj еi)стш:леновиде.6.у = А..6.х+ о:.6.х,(5.9)где- не'Х:оторое 'fUсло, не завис:!щее от .6.1', афун'Х:цилap'f/MCHrna .6.х, лвЛЛЮiцалсл бсс'Х:онсчно .малоU при .6.х ---+ О.0:(Заые им, ч о фу;\т) может пр;;;;;;ма ь= О 'Х:а'Х:ос угодно ЛЮ:Ч.снис (ЩfИведлиВi,:представление"iЖИ Ь 0:(0) = О ).Tail как произпеде;(5.9) .nОЧilеL:J.:r"ыэтой точке "с ai'Tcf; спраРади определенности можно по-д"ух (уеско; ;еч;;о малыхo:L:J.:rяпляетс;беск"печпо малой более пып)к"го ш,р ;Дка, чеы .6.х (сы.
п.§2гл.. т. е. o:L:J.1' = o(L:J.z:), то формул" (5.9) ,'Oli<HO переписать впиде.6.у = А..6.хТеОЕ!е.ма+ о(.6.х).5.1. Длл тогофУН'Х:'ЦШ; Уf (т)лвллласьдифф!р!н'Цирусмоu в даннои точ'Х:! х, н!обходимо и достатОЧJ!(),';тобы она имела в эmл!! ШО'j'Х:е 'Х:оне"tную nроизводную.',аст",,·· :~H,; ;"Ии" фу ,,',ПИИС"ВП'iДать с ее "ред";;,·"ымша';е ;ием Во бущ'тПОНЯТИЕДоказатеПУСЕ фУНКЦИЯ у = jт. е.
ее Ш.JИi,аi iепие 6,.ут в о. 1е о бо д ио с т ьдифференцир,ема в данной то' [<е :гточке Щ.Jедс апиыоподелив равенствоПредпол~ж~IВ, что 6,.j:п· i iУЧИЫпи. е Ci.9)на 6,..Т(5.(510)И, рапепс па(5.10)[ыI ('Ка, т сущес П·'па;предеJl!.ного зна' iения liш ~y.;а;itт.=6:[;---+0 LlXн о с тП\сть ф,н<ция У =Д О С Т а т оnПР;;ИЗi'Р",й точке х ко ';;('чную щюи 'ПО.шую.И\iеетj(1)СУЩ('СТi уепi ,е-деЛi.ное зна' iениеliш .liy =.lix---+o д.хj'(x).(5.
1)в сил, определения предельного значения функ iИЯ ауыеп а 6,.х-j'(xт.,'Я б, ,'КОн' ч;е.6,.у =j'(x)6,.xыа;;,i',(х---+при 6,.х+ а6,.х,О.(5.12)гдеliш= О. Представление (5.121 совпадает с представле.lix---+o!Нем (5.9), если обозначить через А пе записящее от 6,.;т числоj'(x).руеыаТ(,м ,аыым дока,апо что фупкция уn= j(x)диффеj,епци-точкеД;;каза; ;;Ш теОР('ма п;;зi;;' шеlалы " 'йшеы mnо !i:aiiСnUiЛiirnъ nонлшuе !Juфферен'Цuруе.мос nи фунn'Цuu в {}анно!!rnо'Чn: с nонлrnuсм Сfгщссrnвовшн,uл ув даннои rnо'Чn:nj ЮU3iiQ{jно{1.ОП('рацию iах;;ждепия ПР;;ИЗi;;'"lа.nЫi' йшеы ",гопор iМСЯ паы!iii ь дш/J;.fJсрсн'Цuрованuсм.СНЯ'<Ь между понятт!ями дтнlzфiiреИЦТ!РУiiМШ'ТИ[иенрерывиосnи фрикции.
Им, ('т М' ,'то ,'Ледующ('('тарное ,тверждение.Теорема 5.2. Еслuвдшн.но{l rnочnе ;Т. ШО 01-Ш U Henjiej ы·вl-ШДк а з а т еь спо. Так какреНliируе\iа в точке :г, то ее Пi'Иiiaщение 6,.у в этой точке можетбыть Щ.Jедс аплепо n(5.9). Н;; из :!.J;;РМУЛЫ С,.9) пытекаечто6,.у = О, т.
е. функция у = j(1) непрерi.твна в точкев силу разностной фОР\iЫ ,словия непреРi.iВНОСТИC\i.п.,1 § 1).ТеОР('ма д;;ка ,!ша.'·.стественно, возникает вопрос о то\справедливо ли ,тверждепие, обi,атпо(,(., ,реые С,.2, т.[ыI ('ка('Тi(лр('ры!-it6*'сфупкцииnl!ШПОЙ точке_шФ:].еi,еПЦИi'У(·М;;С ьn}кuии не}терывны;вляющиеся в)Той точке дифф; р; нцируе;}; лужитьГ[, Г,'} кции}Г[, Г,'} кцияфункция непреРЫВНii в точке :г=н" онаЯ[;ляет;'что существуют непрерывные па[IOiKп, ,Ka;iiНi; в кою [е',)тойОтметим,HeKOTOpOIl.fсеп тепте zjу\:пкции,не ИГ'lеющие производной ни в одной точке этого сеГГ,lента 1).3.Понятие дифференциала функции.функцияу/(х) ди(l;фереНЦ11руема в точке х, т.
е. приращение /:::"уэтой ФУНК [ии В точке х .. ,южет быть записано в виде (5.9). Анализируя (Iюрму.мы ПРИХОДИГГ К выводтчто приращение /:::"у дифферею [Ируе; юй функ [ии представляет собой Cy.MJvtyдвух (лагае1iЫХ: первоеэтих ~;шгаемых А/:::"хАо 11редставляет собой функ [ию прира} i.ения аргумента, л'И'Нс'Й:нуюf:.'и оJ'Норо;)'Ную 2) от'Носшnелъ'Ноэто слагае .. ,юе представляетсобой 11рИ /:::"х --+ О бе(к;о'Не"ii!Q .маЛУl ii так;ого же nор,я,дк;а, "i по'иmnорое С1агае . .,юе а/:::"х представляет собой при /:::"х --+беск;m iе"i'НонаЛi/Ю более въцок;ого nор,я,дк;а. 'Че;, /:::"х.
та;; ;;а;; 01-ношение а:х = а стре .. пIТСЯ к НУ1Ю при /:::"х,-"хО. Такигг обра-ю ..г при.J . О первое слагае .. ,юе А/:::"х является глаu'Но'Й Ч(iстъюl)l1ращеНl1!i диФ(I;еренциртемой фУНl;ци . Этт гла;;}частьприращения называют дифферею[Иалом функ [ии в точке х, соот ;етствующим прираще}шн! аргтме}}та /:::"х.Итак, в С1учае.'lf:.J'Иффере'Нц'ИаЛОJvt фуmц'И'И у= /( х)в ;fП'Н'Но'Й тОЧl,е х, соответствующ'Им пр'Ираще'Н'Ию uргуме'Нт;;/:::"х, 'Называют глав'Н!/ю лu'Ней'Н!/ю оm'НосuтеЛЪi!О /:::"х "iш,тъ nрираще'Н'ИJi это'Й фуmц'И'ИтОЧl,е .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
