В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Расс,;,ютриг" в окрестюсти'Иi.5.4впо, iJiЧИ, iИ ДiЯ ее щюизводной со-отношениемy ol-----J1(рис.TaiiifM образом. мы доказалиЩЩ)\ емость обратной ФУНiщиточкихаграilшк_ .f(x) (И,iИ обралiКЦИИУФУНiщи!. Предпо-что точке ха на этOi" графике соответствует точка М5.4).Тогда, очевидно, производная г(хu) равна тангенсу угла накюна а касательной, проходЯi iей через точку Моси Ох.
Производная обратной ФунКfjИИ {I- 1 (yo)кравна тан-1) СИМВОЛОМ {/-l(уо)}' МЫ оБОiначаем ПРОИiВОДНУЮ обратной ФУНКiiЯИВ точке уо.ВЬГIИСIEНИЕ про,!'\ ГШlгенсуlаl<ЛОШlУГЛ1,Ти j3 Воч;видный ф'lКТъпПОiКОЛЬКУтой жеПlС i',iВЛ~l "твыраЖ,l'Тtgf:! - 1 tg а§ 6.ВЬРIИСJlение ПРUИЗВU,11;НЫХ шж:аза'l'ельнuй фуню~иии обратных ТРИГОНОi\ffiетрических фу! ffiКЦИЙэтомопира~lС;,г,lыI ПРОДО,ТЖИГ,iэ;еме; lтарныфУНl<Цif<lаДOi<азar;[;,вне;'еоре-вычисление производных простейших5.4,j,lY=<. Производная ноказательной функцииаХ (Оа ер 1).
Ноказательная функция- аХ будучи определенана бесконечной пряг,юй, служит обратной для логарифгшческойlкции х - loga у, определе;lа ;ЮЛУl1рЯМОЙ уО. ПоCKO.lЬKY для логаРИфГlИческой фуню;ии в окрестности;юбой>у по.уто, согласно этойTeOpei,le,;'0';любой1'0ll<е х- 10J';aо выпо.lе; ;,т ;[се усю;шя теорем;,т=функ шя у;.4,аХ дифференцируеllа ви ДШl ее 11рОifЗ юд;с таведл паМУ1а)'-1(l,)ga1у)' -у1-lognуеlogaе.И; этой фОРГ'lУЛЫ, воспользовавшись известным из элеllентарН01 оl<ypcaСООТНОl lен 1ем1loga Ь - - -у lllТ;,т;;a~lчто-а'Т,аокончательно получиг,;(аХ);-аХ llla.Полученная фор Г <у.
1а справедлива дш всех точек х бесконечнойпрямой. В частнOi,; случае= е эта фор.' lула ПРИНИГ,lает вид(е Х )'=еХ •1.1.Iюизводные обрат! ffiblX ТРИГОНОi\ffiетричеС\lИХций. Начнег,; с ВЫЧИС1ения ПРОИlВОДНОЙ функции У = arc;;ill Х.Эта функция, будучи опреде1ена на интерва.1е -1Х+1,С1УЖИТ обратной для фуню;ии Хslп у, определенной на инкк"Ф<=терва.1е- 2"<<у2"'1l0CKO.lЬKY дшункции=.вт у вокрестности любой точки у интервала - ~ < у < ; ВЫПО.ше1'еоремы 5.4, 1'0, СОГ1асно этой теореме,lКЦifЯу =Х дифференцируеllа В1юбой точке= slп у и дш ееПJоизводной справедлива1а.iГСSlll Х)'(sin у)';osyJl- sinу(5.иiю:~H{ к7гiИтыВ{,~[ТО2ОКОН'tС1lСЛЬ Ю пол\чtlлыПолу'tенная (Iюрмула, l<al< (же от\е'tаЛОСl в процессе ее l ывода"справе"lпива ДlЯ всех х из интервала -1х+1. По ан ало<ги'шойCXe\le Bl.fiИСlЯС,ТС5l<lРОllзводнаяl<ЦЮl у= al'CCOS ,1;.<<Эта ФУНКliИя" будучи опреде"lена на интервале -1х+1сl(жит обратной ДФУНКliИиCOS У, Оllределенной на lШTepBa"le ОУК.
ПОСКОlЬку ДlЯ функции ХCOS у в окрестно=< <=<сти любой точки у интерва"lа Ок выполнены все (сювияTeOpe\lbI ,.4, то, corlaCHo этой теореме, функ iИ\lal'CCOSlифференцируема впобой точке хCOS у и шя ее прои:~во==ноИ сщ аведливаlа(al'CCOS х\' = __1_ = - - - = -----г'==~(СОБ у)',j\,;IbI(Ч"iИ" чтотервале О<УК. i(lюРМУЛЫ (5.30) Ol<Ol(5.30)cos 2 УJ1 - cos 2 С! ибо sin у >Sln<Ji -sin уфинимая во внимание"всюдуCliS У =чтонаХ"ин-и:~tатеЛlШО найде\"1(al'CCOS ,1;у'1-х2 'IIолученная фОРМУ"lа как уже отмечалось в процессе ее выв о [а"с lравеДЛЮiа для все:с зна'tеliИЙ<из интеРliала-11.Перейдем к вычислению производной функции У = al'ctg х.б(ду'iИ опредеlеllа на беСl<ОllеЧlЮЙ lР\lМОЙ-ООх+00 служит обратной для функции х = tg У" определен-<ной на интеРliа" ,е;б ""В окреСТНОСТИlЮ он;. ПОСКОlЬку ДШl фУНКliИиточки у интерва"lа71--<у7г< "2Увыполнены все условия теоремы 5.
,то" СО} ласно ,той теореме, функцияую"сtgдиФ(liереlЩllр(е\Ia впобой ТО' ,<е ,1; = tgи ДlЯ ее=произво" lНОИ справе" lпива фОРМУ"lа(al'ctg х)' = (tg1Учитывая" чтоtg У =х= 1+~gокончательно получимюсtgт)'=-1-2'l+хIIолученная формула справедлива для всех точек х бесконечнойпрямой.Jстается вы !Ислить пр, 'и шоднтю функ !ИИ У - f l'cctg :r;НШ, будтчtl определеtна бu:кош '!Н!С, служит !iбратной !ля функции = ctg у, опре t!ленн, ,йна интеРlШ,lеуп, Поскольку для функции :r; = ctgв<окрестности лю t 'ой точки у ИНТ\:РВfша Оуел, ,рия т!!сре\'< <У7r выполн\:ны всеПiГЛf.!,СШi этой теорем\:.
фТШ<ЦlШ(А,Х диzj"tференцируема в люоой тоттке х'.и ДiЯ еепрои:~во !Ной справе, !лив а формула/t)'iагсс,g:r;Учитывая, чтоctg У =1= (/tgij)' = -1+ctg2х, окончате,lЬНО получим1агссtg х1+Эта формула справеДlИва !ля всех точек х бесконечной прямой.Таким образом, мы вычислили iРОИЗlюдные Есе:; простб\шихЭ,lементарных функций, за исключением степенной функции слюбым В!tшествеш нмЮi<азате,lе\j.вычисление производной tТОЙ после, iней функllИИ до § 8, за(\оБОСlювание\ lравила ди<l;фереНllИРОЕаюшс южной функции.OTK,la, i.Ывая§ 7.Правило дифференцирования сложной функцииЦелью наСТОЯlнего параграiI;а является тстаНОВ,lение правила, позволяющеl о найти прои:~во, lНУЮ сюжной функции У == .t[<p(t)] еСЛll известныу = лх) их = <p(t).Теорема5.4.lpO lзводные состаЕЛjjЮЩИХ ее <1;ТШ<ЦllПустьmO"li.eto,со' !тветствую'Щеi1 тОЧ1'О:е хов.t[<p(t)]х = <р(Т) дифферен:цируе,ма ву =(;1;) дuффере'l-t'Ц'/tруе.ма!p(to . Тогда СЛО:JIC'I-tа.я.
фую;;ци.я.np'/t"l''.M дЛ.t! nро-fа1):iJзвОi uо{1 эmлй, фу'l-t1'О:'ЦUiJ{Л<Р(то)]}' =f')<р' (to).(5.31)д о к а з а т е л ь с т в о. Придадим ат гументтв точке t{) ПРОИЗВОlЬное, отли"l'l-tое пт 'l-tул.я. приращение ~T. Этомуприращению соответствтет прирашение ~y функции ;1; = <p(t).IIриращению ~x в свою очере, lЬ соответствует прирашение ~yу =Лг) В точке Уо. ПОСКОЛlЖУ фУНКlIИfl У =Лг)пре шолагается дифференцируемой в точке хо прирашениепойв то [ке :То MOil' !'т БЫТl, Зaf !Исанориде (см.
§ 2)~y = f'(xo)~x1)+ a~x,(5.32)СИМВОЛОМ {.f[cp(to)]}' мы обозначаем производную сложной фУНКЦИИУ = Лср(t)] В точке t =to.17(;гдеоП"f(лив р,шеf [, тво (~,.32) Н"6.t,буде\ иметь_ .f·'(xo) ~T+ 00-.Zi\t(5.33)теперь в равенстве (5.33) 6.t -+ О. Так как из дифференци~руе\ости фунюшй= <p(t)TO'fKe to вытекас,т IO'ffpC'pbIBHOCTb,той функции В точке to, то. в силу разностной формы ус.ТIOвиянеffрерывности,-+fрИ-+ О).
ПОЭfО\'" MO!f< Ю ттверждатьчто существует преде.!Ьное значениеliш(5.34)00=0.i:>.t-+OKpO\feх =того. в силу треБОЕаюш диФсl ереfЩffртемос (И фунюши<p(t)в точкеtC!существует предельное значениеliш ~:". \t-+O ~t(tC!=(5.35)Существование пре fельных значений (5.3 ) и (5.35) обеспечирает сушеСfтование предеЛfЯОГО значеНЮf (fРИ-+ О) все\правой части (5.33) равно; о {(хо)<р'ет fредельное ЗНа'fение ( fрИ f(;t -+. Ста.Ю быть. существуи леВОf1 fасти (5.33).
Поопреде.fению прои:~во. fНОЙ ука:шнное преде.!Ьное значение равно fРШfЗВОДНОt'\ СЛО!fШОЙ фунюшинюtoJ[<p(t)]ВТе\ саМЬЕTO'fKe to.докаЗaffа дисl>ференцируе\юсть СЛО!f< юй функции В ТОЧf{еи YCTaHoВieHa форму.fа(5.31).доказана.а м е ч а н и е. Мы рассматриваш с южную функциюT,ope\fa 5.53у =f,где=<p(t),т. е. брали,];в качестве ПРО\fеif{ТТО' югоаргумента, а t в качестве окончате.!ЬНОГО ар; умента.
Эти обоЗНа'fения. коне'шо. мо; ут быть изменены. Часто тдобнее бываетрассматривать сложную функцию вищ У =[е и = <р(х ,т. е. брат'в качестве ОКОН'fатешяого арг\ \leHTa, а некоторуюпеременную и в качестве промежуточного. Для этой функциисIюрму.fа ДffФсl еренцироваНЮffринимает ВffДfу' =,р(х)],=),f'(u)<p'(x)(мы опустили у соответствуюших ЗНа'fений атf ументов(5.36),]; иНу.ш. имевшие вспомо f ательный характер).Прю\едемfримеры ИСfЮJьзоваНЮf ТОЛf·f{О[то до {азанногоправила дифференцирования с южной функции.1о.
ВЫЧИСЛИТf ПРОИЗВОДfфунюши {! = earctgфункlШЮ будем рассматривать как с.ТIOжную функцию вида у = е игде= аl'СЦ'ИСfюльз\' фор\\лу,.:56), ЮIIУ'fЮу' =(юсtgу)' = e1l _ 1_01 +Г~= earcl.g.r11о'+Г~77Вычислить прои ;вод fСЮ функциир,н:сма; риВ{)Ть f<af< сложную функ2l;kff;;ЛЬ:~С~фор>. слу (~;.36),= (2 и )' (:r;2)'3функцю;')и, ГДl;;;лу'шм- (2 !! 11;- 2'1 11;При р, сем, ; [п(нии ук,; :ан [ых двухмы ;;fде.но ЕЫ! ;·fсывалиf<ЦЮf состав.да;шсю сло;;;нсю функ;ш;о.
В это>.;. коне' шо. нет никакой н;;обходи>.юсти, и на fраfсикеfиффереНIIирование сложной функции производится сразу безраС';ене;fЮ; на отдельные соста;Ш5Пощие фунюши. Наffри>.ер.. 75У = агсsш'х,у =V1 ~ 1(75х)' (7r':)'ох=V1 ~75(75х)2Ixl < 1/75).здесьТеоре>.ш5.5 и содер;;;ашеес;; вправи.Ю пос;едовате.Ъно переносятся и на с;учай сложной фунюши, яв.
шюшейся суперпозициб\ трех и больше} о числа ;! 'снкцШ;.Рассмотрим пример такой функции. Пусть треi;уется вычис4".лить произво. fНУЮ функции У =5;mCI.g(,r 8 ).1Iосле. ювательноприменяя прави.Ю ди;llференцирования сюжно(\ функции, получим( ~1)----8х'.1 +;168.Логарифмическаs.l ПРОИЗВО/I.ллаs.l.стесненной функции с любым вещественны;;';Пiiка.за.те ..!Ii:М. Таблица ПрiiИЗI3iiДНЫХ ПРiiстеiiшихэлементарных функций1.Шlоллs.lтие логарифмической прОИЗIЮДНОЙфунюшя У = I(х)ппло:жurnеЛ'Ыia идашюй то';кеРассматривая.lnТогдаfифферен шруема вэто;; то' [<е ссществует11;= 11;f(:1;).(х) как с южную функцию аргумента х, мыможем вычислить производнуюпой функции В fанной точке хfринимая= f(;i) за [роме ;;сточш;й aprC\leHT.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
