В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 27
Текст из файла (страница 27)
е. суперпозицияЭ.;ег,е ;тарных фу;;кц ;й, не;;рерыв ;а. Наприг,ер, ф'= sin.!.непрерывна в Лt{;:,ОЙ точ;<еof. О. l!IтобыштьсяВ это г. , , достаточно рассг. ютреТf, функции х =Сло:ж:ная;ющ;;t-и= ;·;illX.гую< шя у = sin t- 1 TO:iЬKO обозначениеJ\.f аргумента"Ять И ПГ,lЕ Ъ,,ича, 'тся от функции у-Slll1сил"сказа,оf'",Ш,'ХВ ,юб()й ',,'чке~Ра; iуждая а, ;1Л, ,ГIIЧ;л' ТЮ'убедиться, чтi';ую<ция У - 1n sinнепрерывна в лю(;, ,й т' ,чю';аЖДОГ i ' интерЮ.IШ2т+ 1)п(2k7r, (2kпенно-покательнывыраженияа(х)О, lевидно, ИМi'i'Т смыслишь случа;;>0.убедиться, что если и(х) и v(xВокрестностив точке а.точкиа,тоЛег <ов точке а их);ую<та;<жеОнепрерывнаr.еле, и(х)l'(;Г) = с 1'(;Г) ln щх .
ПОСКШIlЖ,' 1; и(хВ са;,ю,'стаВ,1Яет с060Й непрерывну;;; в то' ;<е а фунюшю, то иlИЯ v(xх) также1;;е;;реj;;ш;;ах lnu(;r) не;;рерьшнаточке а.о тогда ф' нкци'lточке а. От;;ети;;, что уста;юв, ;е; юесвойство непрерывности ПОlВоляет утвер:ж:щть,ных предп ол о:ж:ениях li;,--+(!Пр е30.враьные'U ( Х=наченис'U ( аlТО при с,r.елан-)l' (а) .епенно-пока:~атеьныхиВы',;сним вопрос о пр" ;е,,'ьных :~наЧi'НИЯХ СТi'пенно-показательных выражений 'и(х)"(Х) при;r --+ а.
При этом мы бу;ем прешола;ать, ч(о 'и(х)в "е,;от<,рои ;,,; рест", .сти т' .чки а.И:~(00'; ношени',;lnu(x)выражени',; 'u(x)v(x при;r;)lпu(х).I. Пус;ъlim'u(х) [пви ;но, ч'(о пр" ;е,,'ьное :~начениеа;ависит о'; пр" ;е,,'ьно;о ,;начени',; выражени',;= Ь."--+аУб" i,ИМС,;, ч'(о В "'(ом ,'лучае= еЬ .limx--taВ самом деле, функцияш(:r)непрерывна в точке х= а. Поэ,; ом;;овательно, limв "'(ой '(очке.прихприх#(еаИ СIOжна',; ф; нкци',;lllU(X)тонепрерывнаеЬ . Так как lim е"(Х,аlim>Оа'<' сущест';ует и раве" е Ь •lim ulИспо ,ЬЗ;",,' ПО ,;'ченные В э'; ОЙ главе сведения о пре ;е 'ьных значенияхпр" ш--+П. Ес,'и~OOШ--+ +00,[П'и(х)limлегю, убеД'iТhСЯ';.= ~(,;o lim= О.х--+а.
l:сли li п v(x) lп ul=+00,аУс ановленна',;ulт;,liп ulх--+асвязьмеждуПf едельными=+00.значени ;миВЫj ажений',' и v(x) lп и(х) , ;'З1\' ·ляет в ряде случаев легю, ,шйт i предеЛhное знаЩ'sin;r> О.ть'iение (l)y jj<ijИИ u(х)('(х) если и и\еСТ1ihl j1рz:дел ,jihl" ';Н;1ченияи'аССМОТРИ»1 для прим>'j»' >'ледующие СЛУ'1"""с> ществ>етiim 'и(х)>Оиiim 'ti(X);х--+/х--+/> 1"> 1"2) iim 'и(х) =3) (llll'(Х) ="--+аiim 'ti(X)'00i1m)Тuедимся, чти в Сl1ТЧClе 1) limu(x) (х) ="liа"1'е 1ЬНО, "1ак как>lim.1llIl..J,еЙстви-х--+аО, то, в 1"инепрерывно1' "1'Иl'1огарифмич>'скойафункции,limх--+а(п 'и( Х) существ>'ет и равен lп [limх--+а111 и(х) = lim v(x) lп [lim. и(х)].li>"х--+ах--+/.,СогласноIО"1'сюда вы" 1'екае 1, ч"1'Оlimu(x)t·cx ==eJ~~:tv(x11l1l(x==liшех--+аv(x) 11l[ jiш';с--+а[ limх-+ав случаеи(2) lim(п, 00, и поэтому, С01 1а' но ПI.3' lim(п'и(х)-00, и ПОЭ"1'О:VI>', согласно П,iim= +00.В с 1>чаеiimх--+а=0."--+ав заключение ука)кем "1'ри случая, ДЛ',1 к'з шче 1ИЯ и( 1')'TOf ых нахождение""' требует ДОП1'л 1iпел ,,,Ы1> исследова 1И".Неоnределенност'Ь типаПf едельного'Осlim и(х) = 1,iim v(x) = 00."--+а"--+а2.
Неоnределенност'Ь типа 00:iim=О.iimх--+а=О.х--+а3. Неоnределенност'Ь типаlim 'и(х)000:lim 'ti(X)'00.аО.аиз ЭТИ>1 слу ше11 1'1Ы Пf иведем Ф<'Р,1УЛУ. уд"бную для прак-Для"1'Ических при lОжениЙ.Пр>'обра.:>" м выражениес 1е1,ующим обра.lОМ:)] U(X\-l}<'- ] "далее.ии(х)=[1+та1<1с'(х) = [и(т- 1]V(Tчт(,(х)У(х.Поскольк>iim и(Х)"1'еореме4.5)и е>"1'0 :~наче-аli>" 'и("' = li>" U(х-+аV(х-+ав т<'чке а. т. е.
>,тlim V(:r)limli>"С, тох--+алиV1".И.1е"но: если li>"limU(x)V(x) = еех--+а1]v(- 1]V(- 1]V(Tс1>'чай 1ес-а= +00, то li>" u(x)v(x) = +00слу шй2));если[и141iiЯ""ТЬ и ПГilК'iЫ-1]v(x) = -00 т(, Еш и(х) (х = Ох--+ах--+/«Ы по !('ЧТ,Р','Форм()[llПlРопрр ,е!((1НО((ТИ типт'2ипV1ПРИRО ,ят((я К Н('ОПРР ,е(1НО((ТИ типт'!(('леДУЮ1(Т,И(Т (,i)p":~o)('Пол()жими(х) =О'(е (()ДНО,liп и1и= 1liх--+аПри00,х--+аНайти llШ[С"Т,.Х]Si.\еl(j и(х).=±оо. Кро,(е того,=Так кат( liш СОБХ.х--+О= 1,х--+О"о налицо неопределенность '!ТIпа_._1_,_ =х--+О :-"lIlХ,,)-)и1а llШ1ею.выше.
ИмеемliшlUix--+о L1-1]--=-1]v1Si(j2'liш=Х-+О[-21112cos 2 ~22liш [с. 'Т' х]х,О11si .. 2'2п р е Д е л ь н ы е з н ае н и я н ео ж н ы Х Ф у н к Ц и й. Дока ,·,е! С! l)ю:ед llВОС'!о т о р ы Х4' .сl( Сiе,(УЮЩllравенств:lim V'l+X -1· ln(111т1n'хХ-+"еХ,т.1 - ((os;r111П2_1im - - = 1,,т) Расс>ютр(),т-+О,ОпеР;l(lЙl;r) =·0Э'i llХх1,(4.1212реде,iOВ. И),!ее('-1хп-2+х)-+1(1n 1Х [ (1+х)-n-,,П++(1+... +(1-1nn2+ ...+(1+x)~ +1]1(11,·····тьТ (К как Зi::.;;.:+:еНИii:;'л, равный+X~OПерейдем('м lп(1+х)по. агая1,=+1iш:~O1=01Хд: ::<а:;1Т"ЛЬСТВУ вт<>р;:г:: равенства12:меj(х) - (1 ! х) /;т,111(1+х) /;т lUШlреЛf'JШМj(O):r;т;'чкенепрерывнапоэтр::у 1iш(12)при=;т;0х) =j..
1X~:;+ х)В ре:ультате мыпо. :у' шм непрерывную в точке х =фуню шюх). Тогда ифун:щия 1nj(.l; та:<же 4!.удет непрерывна в нулевой точ:",' и по-;?Тому Н: 1п(1+lj:r;=lnjта:< Н:=lne=l.;T~Olп(l+х);T~O1.Х3) Дока:ж:ем справ"д:ивость третьего равенства (4.12). 0ложи:' х = 111(1и) и замети:, что :ри х ---+:ереме: aii+стре;.:ИТCii к н' iЮ. И;:ее:' еи1c;e.r.yeT,х-1·иl'1 =1Ш--·~O:"Ч'i о1ш···················································· .......................'IL~O4) Дока:ж:ем справе;ливость после. ;него равенства (4.12).ИмеемСОБ1siп 2 (:" /2:.8) ),1 siп 2-.х2:r 2то liш:T;~O21-Та:< как liш.~osiп 2-----,------;---,--:---'-СОБХ2-2ИСПОШ:ЗУii соотно; {ен:у: (4.8), (2), равенство .) си РО.о(х)п.
3 § 2), ;ег <о убедиться в справедливости с ;е. :.у:; 'щихформул:= х + о(х ,\1'1 + :Т = 1 + ~ + о(х)nsinx1п(1+х)еХ =со·: х=x+o(:r;,х + о(х ,1= 1-'r 2Т+ о(х 2П).До:<ажем. например, справедливость первой формулы. Так:<а:< li:X~Osiп :" = 1 то в СИЛУХбес <онечно малая в точке х=1)SlIl:r=1О l;ун:<ция. Их)где а(!)-последней форму-fii:iTeKaeT, что Si11X = Х + ха(х). Поско.ъкух) = о(х), тоsinx=x+o(x.2. Понятие элементарной функции. Класс элементарыхфункций.Вюже; ия;;вю,; ;уюроль юрает ю;ассФун:<ций, ПОЛУ'iаемых посредством :<оне';НОГО шсла ари: ;метиiес:<их опера:шй на. простейшими :шеJ'\1ентаРНЫJ'\1И функ шями.43такж;' п, л;чаеМi,;ф' нкции'ПОJ\1У кла;;уJ'ilbI:r: 3;;iзиции ЭТ+iX7'i:Л ICCOjAого кла;'лед' ющ;ч' ("ЛЙСТВО эле,~;ентар;пгn,pcpы,' ы в 7'i:аждn/; тоа-iадле Ю~1Т, 11l'iH 3:r:l-;OSбудем н;].зывать (П,; iiCMi'1lrnapi;' , 'фIJ'll7'i:'Ц'И 'f, а к ,i+iДУЮ ф''eHrnapHoii:JЛi'-функцийnблаС!i!'И задaJ 'ИЛ ).ЭТО СВО ;ство непосреiственно вытекает инепрерывностиф' нкцийтеорем4.2и4.3;ростей; ;и;; э;е(,;е ;тарных фу;;к ;ий в каж.;аЙточке об, асти зада; ИЯ.8.Классификаци~; точек разрыва функцииТочки разрыва фрнкции И ИХ классификация.ы опредешш точки раЗРi,ша функции как точки, вкт OPi,;функци;; не обла.;ает СЕОЙСТВО";е; ;ре) ;,Ш ;асти.бу [ем на:ывать такж:е точками ра:рыва ;ую<ции точ <и, В ;<отофУНКЦiУ' не о;;реiеле;;а.
но в ;юбойс-окрес'; ;юст' котор ,IXимеuIТСЯ то' ;<и области задания ;ую< ши.Рассмотрим возможные типы то'разрыва фую< ши.1О. у с т р а н uЪ! й раз р ъl в.TO"l7'i:a а назыаетс}!1.§3тоусгп раif'имuго pa;Jpыаa фУ1l7'i:'Ц'ИU у =J( х)ное зна"lенuе фун7'i:'ЦUU в этой rnO"l7'i:e существует, но в mO"l7'i:e афУ1l7'i:'Ц'ИЛх) 'И ;р' 1lС onpCaUli'1la, iiЛ'И сс '!аС П1l0;'шав rnO"l7'i:e а не равно предельному зна"lенuю.На;;ри ,;ер, ф'j' (а);юш;;S!пх(х) = {хприхi:: о,;рих=имеет в нулевой точке устранимый разрыв, пос;<олы"у предель-юе значение этой фу;;юравноти;;а.в точке х =равно1а частное2. Если функция j'(x) имеет в то' ;<е а разрыв у <азанногото этот:на' ;ени;;разрыв.МОЖ1l0УС ПjЮiшт;,;еиз(;е;;;я;ую<ции В то' ;<ах.
отличных от а. Для (jTOrOэто";астато'но определить значение функции в точке а равным ее предельному ша' ;енIЛГ' в (по; то' ;<е. Та;< если в рассмотренном прим;'рею;ожить(О) =юй в точке хто lim лх) = j'=Х--+Офу;;к ;ия будет ;е;3а м еа н и е. На пра;<тике точ <и устранимого разрываВС'; речаютс;;сос!'едоточею;ых рас;[е;е; ия;; физическивеличин.[:сли при Э'; ;,м область задания функ;;ди ,;кажется СОС!" ,',;щей ИЗ ;,тдел,iibl;; из;,лироваiiНi,;Х т;,чек, то eCTeCTBeiiHo сопре~(е ;, нию непрерывна в каждой IП этих точек.n;тат;,';то фу ;;;;;ия п;,,·····ть'J{;!i'I-!'i"ч,!/ые.;1'/-/,(f'ч,г.'/-/,0 '/-/"Еlll.f(x):1;-+0.#1.
ДlЯ Функциразрьша l~гo рода.f(x) =рис.(CNI.sgпхО(х.f(a - О)).sgnx точка х = U ЯВ.lЯется точкой4.4). Дейс! вительно. так как1прих!риХ!риХ- {-1> О,= О.< О.тоliшХ-+О+Оsgп хЕlll,r-+O- i !1,-1.12. Функц]Я .f(x) = 1 + 2 1 / т ' о! !еделенная всюду, кроме точкисамоО. имеет в то'н<еделе, ес ш {х n } -- О !азрьш 1-го рода (рис. 4.32). Всходящаяся к нулю ПОCJlе.ювател! ,ность,элеNlенты !<оторой положитель~у!Ы, то11большая"2- - - - - - - - -Рис.х4.32!, И поэтом"к Н\Л!"последовательность,} -Еlll-+0+0.f (х )бесконе'fНОюследовател! ,ность{1+членами.си} - такжебесконечно большая после.юва~тельност!,.
Но то!да юследова~телы юсть {но малато {!Тnююж:итеЛ!,нымиПОЭТОNIУо{J...} -О. Если же1} бесконе'f+ 21/'''"{.Уn} - сходяща !С>!элементы которой отрицатель !ы,бесконечно бо.! ,шая последовательност! с отри !a~те.! ,ными Ч.!ена ,!И, и Ю ,тому lilll 2 1 / хnСледовательно,n-+осlilll .f ( х),т-+О3.=1.Раз рыв2г ор о д а.! Q'Ч//И а 1-lазывается тО"l'/иiiра!рыва 2~гo рода, если в это'Й 17И"l'Ке фУ1-l'К'И,ия .f (х)lиссееmпо 'Краii1-lеii .мере Ш}1-l0го из одН0стОРОННЕХ nреде.'!ЪНЫХ З1-lа"lе1-liJ ifили если хотя бы одН0 из одН0сторонних nредеЛЪ1-lЫХ З1-lа"lе1-lи'Й6е с 'Кон е 'Чно.к ГА;ГЫВ·\например.
функцю\'ФУНЮjИя Впредельного. IГЙС'l'ВИ'l'е;;оч;\\'U(:1:1(рис, 4,3:5)И\' имеет ни пр;;; ;ТО, ни1);евог;\значени;;,но,р н(мотРИNI (~;едующи;' ;'ходящиссякну;ю;р Ш;;довательности;;\(;;ешаченийаргумента:х22-:;, 5n 91Ги1171 271' 371' ...n7Г, ...Рис.4.33Соответству;\ 'щ;е после, ювательности значений181'; -ИNlе;\"у-след' ющий вид:1, 1 1, ... , 1и... ,О,О,...Пер;;ая из этих последо ;а ;'ельностей имеет предел. ра;шыйединю;е а вторая имеет предел, равИ\;й нулю. Следовательнофункция f(x)го зна';енияИ левого=sin..Так1какв точке х. 1sm --;1:\едельного.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
