В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Обычно в каче,{е фУ;iКЦi1ciберут фУ;iКЦi1cpaBiiei(х-,гл,е т- це'юеПОЛQ)кительное число. В этоы случае употреб'iЯется следующаяiерыиН(, \(,гия: бесконечне, ма, iая в точке а t!f\'НКЦИЯ о:(х) иыеет,•а(х)nоря,;Jок; .лло,лосmu т, если прел,ельное значение tl>\'НКЦИИ(ХВTO'iKeа ОТ'!_,)т"ю от н\'При сравнении бесконечно малых t!f\'НКЦИЙ часто \'потребляют сиывол о (о ыалое).
Иыенно, если фУНЮiИЯ о: = о:(х) предста;;ляет собой беСi;онечно малу;" в TO'iKe аболее ,1Ь!сокого порядка, чеы бесконечно малая в этой )ке точке функция= р(х) то ЭТО УG'юв Ю заПi1сываЮi ,ак:о: = о(р)(читается: о: равно о ыалое от р). Такиы обра:~оы, симво.'iозначаеi !юбую бесконечно ыал;'ю фУНКЦlli/' имеющу;;'точке а более высокий порядок малости, чем бесконечно ма, iая вэтой точке фуню iИЯ р=Р (х).Отыетим G'iедующие очевидные свойства сиывола о: если, =± 0(,)о(и), 'оо(р)=±-Заметиы такж:е, что если о: и рбесконечно ма'iыеiочке афУНКШIlI, то фУНЮiИЯ о:р имеет бо [ее высокий порядок ма, юсти.чемиз сомно'; i1телей,и iЮ,ПО.! у0(0:),=Для бесконечно больших в точке а справа (или слева) функций ИСiюш;зуется анаЛОiична;iП\'СТi.(:с) и В(:с)-!tеТОДi1каcpaBiieiбеСi;онечно бош.Шi1е вTO'iKeа справафУНКШIlI, и пусть, например, обе эти бесконечно большие функиииiЮЛО t;i1тел .iЮiОimх-+аОзнака,А(х) =т.+00е.хlim В(х) = +00.;а+ОМы будеы говорить, что функ шя А(.г) иыеет в точке а справаболее 6'ысок;и'и nорл;}ок; росто,фУ;iКЦi1'" В(х) если фУ;iКЦi1'"A.(;r)сб~- ,В(являетсяi;раiюе i;ре;iелоесконечно.; юео.'iЬШОИзначение фу; ,кцнвточке а справа.
Если ж:е\(х)-В(х)вiОЧi;еаi;онечноlШ,·····тью от Н\Лi.f,и В (х)С. ,у{()вf,feм ,т бул,ем(.г)что'ЩНЮ о,}uншх;овЪtu",fССМ(,ТРИМ н"ю'лью, пример(шо ФУНЮfИИ о{г) = з:г 2+ :г Iи {3(:г) =являются ijепш-нечН(, мал ,IМИ Фт Т(Ц li.fМИ РЛДОГО Щ'РЯДi(а в i()Чi(' х = Оciiшт' льн('-1-"1 ию3х---+О{то а(:с)2алые о;щого iюрядка.х 2 - 6х З и2'.
Ф\нкции а(х)бесконечноliш :г =\ ---+0 2i i н'сил\' теоре\ ыбеСКОii8'о={3(х)=х---+О- ЭКRlша'iентныеа(х)M3.xlbIe в точке х = О.Так как liш (;хД, й-самоы деле, /3(') =О, то в силу теоремы 4.1 liшх---+О1(3a((;r)) = 1.х!ix.Это иозначает эквивалентность бесконечно малых а(х) и {3(х).. Ф ункции А()х=порядок ростатого. что(х) =иточке х =1-;;:иыеют~одинаковыиспра;а и слева. ЭТО следуеiизА(х)· 1lШ- = l'lПl 1 + х ) = 1.;Т---+О В(х)x---+iiПОНЯТТ'Тf' непр\'рывнпсти§ 3.1.1+х-х-Опред\'ленш' Н\'преРЪ\IВНО4'ТИ фУНКЦИИ.
Пуслка а принадлежит области задания <!>\'нкцииI (х)то'!и любая[-окрестность точки а содержит отличные от а точки областиIн оu(х) "j шзыпастгJ(,с n р еры (3в rnO"i'X:e а. еслu fJpe,}eiiibHoe iH(!"ieHUe этоu фУН'Х:'ЦUU вrnO"i'X:e а гпщегтвцеm U равно 'Чагmному 3'/taченu'ЮТак нобразо\\'СЛОiше iепреРЫВiЮCi н фТiКЦНI (а).I(x)TO'iKeа симвQ. шчески мшкно выразить следующиы образом:liш.f( х)=.f( а ).х---+аТак как а =liш х.
то предыдт {ему равенству мшкно при'адать с iеДУЮi i)'ю форму:xiIl~ лх)=Iiш х).Следовательно, лдя непреры i!НОЙ функции СИJ\ПС,Л «liПl» предельного перехода и СИМВQ.'iхарактеристики функ iИИ ыож«I!>но менять местаыи.Исш i,'iЬз\'яопрел,елениелх) в точке а (сы. п.1 ш>ел,ельного значения <l>\'нкции1 § 2 настою i,ей главы), мы мшкеМСiедующнобразом llереФраЗИjОi;аТi, определеi нефункции в точке а.{е"рерыв! юсл'3ОnределенuеФУ'I-ИСЦ!i,,я (.г)н о и в то'Ч'Ке а, ее iUiюбои с:год,я !iеие,я 'крр ы Н!!ое iедовате!!'Ь-iШ'l!!'ll'U'Й аР2У!'!С iЛЮ :г !'!юrn !СТnГТn !'!!н ,-), Л:Г2) ,Ч! iСЛ'lJi(), ПОiTeiеЛЫЮi о значения(.г.
n ):mшч" {ЕU'l'1.f( П. )С О те;rелением(х) в iОЧi.;е а_2ы в Оiiреде,опу-iреБОi;аi не_ обязывающее i;ce Э, ie2ieiiTbl iюсле;rОi;ател ;iЮСПI хl, X;l, ... ,Х n , ... быть отличными от а. Это мшкно сделатьв сил\- того, что ;rобавлениеiле2iеНiа2iюсле:iОi;атеЛЫЮСi;;Х n )} СХОДЯi iейся к Ла), любого чис ia новых элементов, равных(а) не нарушит сх; ,,:щмости ш;л\-ча;;fщейся при Э iOM ПС;Сiедовате'iЬНОСТИ к Ла).Предполшкиы, что ыножество {х}, на котором задана функция f(x) содер;;;нт ТОЧi{\- а,:iДЯ .шобого ЕИ2iеется хотя быодин Э,'iеыент этого ыножества ле)IШi i.ий на интерва'iе (а, аЕ)(на интерва'iе (а - Е, а)).Оnр;;д;;ленuе 2.
ФУ'!!'КЧU:; f(x) iЮЗЫ(iаст:С пр С р Ы 6Н О иn р а в ал е в а) в то'Ч'Ке а, е: ли nравое (левое)nреде i'bHoe 8на'Ченuе :тои ФУН'КЧUU в то'Ч'Ке а cy!!~ecтвyeт UpaG'!i!! чагrmШЛЧJ ЗiЮЧ; ;;"!Г1ОаCi; ;;воличеСi.;ие оБОЗiiа'iеiне теl:;;Т!!НОСТИ справа (слеi;а):{!f+fliшf( liшfх:а+О'х---+а-О3аЛа= Ла)хе ч а н и е.=fаИЛIЕс!!и Фун'Кчu,яЛа.f( х)= Ла)-О)=fа)).непрерывно в то'Ч'Ке аи слева и ('права, то она неnрерыlнаa в этои точ'Ке. В саыом;rеле.СiШУ за2:ечаi. 1 § 2 этой лавы этом ciTiae с\-ществует предельное значение ФУНЮi'иИ в точке а.
равное частномузначению этс;й функции в точке а.PaCC2!OipH iтимеры.1о. ('тепенная функ i;ИЯf(х) =с целочисленным полож:и!ЬНЫ2 iюказате.'iе2 n iепреРЫВiiаTO'iKe беСiiонечноi'iпрямой. rействительно, в п. 2 § 2 ыы доказали, что предельноезначение.iТОii фТiКЦНлюбой ТОЧi;е беСКОiiе' юй;;ой равie.iaCi iЮМ\- значению а;'.20. Так как ЫНОГОЧ.'iены и несократиыые алгебраические дробii имеют вTO'iKe области за;rания преде'!Ьное значение,равное частному значению (см. п. 2 §,то они являются непреiiblBHbl2 Фт;кП!,!{ми.ТОЧi';И,i,;oTOI: ;,г; фт ;КП!i';' ie обладает СВОЙСТВ02 не;;рывности, на !Ьrваются то ;'Ка ,,!!! разрыва фуню {ии ).
Например,но1) в § 8 мы Д:;ДИ! ; кл:;ссифик:;цию точ:'к112,·····тьI(:T) - sgnфу iКЦН';'iPKa ;;'ли. iTP=[ии В точке :гм;'в1левое iтелеЛi,' ые :~начения э [ОЙО ,т [ествуют, но ш р; вны друг другу, И поэто-'ущеCi:';ТТ iтелел ,[юе :~н;)чениеФункция Дирихшмсн'имеет IH:~j ·Ы[} в [ОЧi';; :г = Опр;шt ,ев этойTP'iKeJP;).:~pЫBHa в каждой те чке бесюш(чной пря[[;:;КО.шжунею[значения ниод юйточке этой щ!~мой (см. п. 1 §Мы будеы говорить, что функция I(x) !!ГnРСРЫ ;na на '"ножесmвеi jj}, еслн она неiтерьшна в JШ;:;ДОЙ ТОЧJ(е "того мно :;ества. Если функция непрерывна в кюкдой точке интервала, тоо[юрят,iTO O[iaiепреРЫВ[iа наiтервале.iепре-рывна в кюкдой внутренней точке сегыента а, Ь и, кроые того,непрерывна справа в точке а и слева в точке Ь, то говорят, чтоO[ia iепреРЫВ[iа на се[менте [а, ].2.
Арифметические операции над непрерывнымиФункцияТсТГ! УбеЩ.\[С>f, iTOiecKHe Qjiерацн:' iал ieпрерывныыи Фуню щямиДокюкем С>fеДУН1Щ;'ЮTf!OpeMa .2.. Пуст'ьсmве функ:'Цuuu g'приводят К непрерывным функ fИЯЫ.основную теореыу.заданныс на одно ;,'том :У/ССIнепрерывны в mо'Чк:е а.функ:'Цuuлх)+ (.г), I х -g(x), I х .g х :~~) нсnр,рмты mочк:с апри усло;;и.о'# О).аа з а т е л ьО.IТакiеiiрерьш;ъrе вTO'iKeафункции (х) их имеют в этой точке предельные 'ЗначенияI(a) и g(a) [о СН.;у [eOjeM ,т 4.1 iтелеЛЫiые З;iа'iе;лх)g(x) IСОOi [;етстве;величины10как- g'(а) + g'ра;и.
g(x)Iравны-и "~~~ С; ществт· ,т и ра[шы,Ig'частныы. g'значенияы,:i~~. НО ЭЛ'перечисленныхфТiКЦНTO'iKe а. Теоре.\[аiоказана.3. С,гюжная zl%,'у'НКЦИЯ и с'е непРf'РЫВНПСТЬ. Ф;'нкции,обра1Ованные в результате супеРПОШЦШI (т.е. последовательного рименения) двухнеСJiОЛЬiИХ t!i;'НiЦИЙ,назьшю ьГЛО:У/С'! {ым·и.fOCTaTO' 10опреле';сло;:обраЗО[iа;результате суперпозиции двух функций.Пус[ ,. t!i;'ЮiЦИЯ х = zp(t) задана на HeiiOTOp0.\ мно :;ее [;е {t},и пусть {х} - ыножество 'шачений этой функции.Ilредш' :(,жим далее, что на j'казанном ыножестве {х определена другая функция= Л:г).
Тогда говорят. что на мншкестве t} зада ia сло;: iая фу iKUH';'у = Лх),глех =zp(t),илиу =.f[zp(t)]=F(t).ЮЮ "СПIНВZД'lп гьш СВ(>ИС 1В'"орем,'nгnр{рып'!!аmо"!'Х:{: (]',фУ'J-l'Х:Ч'llЯ У = .f (:г) не пр еры в 'J-l О. в сооmве т!сmвующеu mо'Ч,'Х:е Ь =Teopf:Ma11<1 C1, ДТОЩ<1>l ОСН, 'ННО,'.3. Есл'll ФУ'll'Х:Ч'llJl :г =[по :ЛО;)IС'llGJl фУ'll'Х:Ч'llJl у = Лер(t) Iк:~т е л ьт вПустьf(t)шnрсры iJiЛGпрои:~волью'я Шiс:лед(!-}вательность знаL[ений аРГ'."мента слшкнr:й :.t,ункции, сходящаясяк а. Так как функция Х =силс' Oilределе11 изнепрерывна в точке а, то (вСОOlвеlствтоща>1 последоватеш,ность значений этой фУНЮ1ИИ Х n = ep(t n ) сходится к частному*значеНИЮ.ПО11 фТIКЦl110ЧI;е а,. е.11СЛС'= ер(а). Да'1ее.поскольку функция=.f Х непрерывна в точке Ь =,(а) и длянее указанна>l llOс.lIе;r.овател ,lЮСТЬ {Х:,СХОД>lщаяся к Ь = ер(а)является последовательностью :~начений аргуыента, то (в С1ПУ1ОГС, же С1llре;r.еления 1* из п.
1) СlЮТ1;еТС11;с'ющая после.;н вате,'lЬНОСТЬ значений функщш л:г n =.f (1)(!n) I =сходитсячислу (Ь) = .f[ер(а)] = Р(а).мы ПО'lучаем, что д'lЯ любой последовательности {f n }значенийaprYC1e1lTaG'ЮЖНО11 фТIКЦl1СХОД>lще11СЯа. со ответсл;с'ющая последоватеЛ1,НОСТ1, З1lа'lе1 l1Й саеюй сло:,: юй==1ИИ {.f[ep(t n )]}{F(t n )} сходится к числуЯ1ШЯ1ощемс'Ся частные '31Ia'le1G'южной.f[ер(а)"=l'(а),фТIКЦl11'0'1-ке а.силу того же определения l' из п. 1 это означает,что G'южна>l.f[ep(t)] =it) lеllрерЫВ1lа в 10ЧI;е а.Теорема ДOKa:~aHa.§ 4.1.Н{'кпторыf' 4;ВОЙ4'тва т:юкптонных функции()пре,реление и при меры монотонных функций.ОnРf:дf:.ле1iuе.с ив'llЮ:Су =озрас<.f( Х)ваi)ас сGiюбых Хl 'll Х2 'llз эmоудОGЛf:mGОРJlЮj{~'llХХ2, справед.fшво неравенсmволхl) ( .f Х2) и Хl)?ЛХ2) .Не:.'бываЮЩl1еиневозрастаЮЩl1ефункции объединяются общиы наименованиее .ЛЛО'J-lоmО'J-l'J-lые фУ'J-l'Х:Ч'll'll.Если д'lЯ любых Хl и Х2 1П ыножествах}, С'ДО1шеТ1;С;РЯЮЩИХ УG'lС;ВИНf ХlХ2,ох<справедливо неравенство .f Хl) < Л:Г2(.f(il)(:С2)10 <!>сющия у = (х) lазывается :;:)зрасmающсu (цБЫGающсu) наMHo:::eC11;e х}.
ВозраС1Gl1ощие и с,бывающие функции называются также :rnро-Рис.4.7,·····тьшi:1в(;;р н"тастна вс: Й{ие r(;война всей чнR.R.КR.J.ИИ, l\iI<HR.<YR..·OHHI.,R.e функ.,ц:и:и, :имеющие обратную,этом пункте формулируетс,r по.,нятие обратной <!>\'ю;цииустаrrавлrit'аются \'СЛО1ШЯ существования обратной функции для монотонной функции.Пусrnъ фун:х;ци-я у = ](х) задшна на сег.ftленте [а, Ь], и nустъ.·.,;ifOJfCi;Cm60.;': tifШЧ:'if'ifU Эm,ОU,;!6л,;!еij:";'ег,.,;i:Нi;f, [а,;3].Пустъ, далее, 'X:aJfCaOMY у из сег.ftлента [>:,;3] соотuетстuуетm.ОЛЪ'Х:О 0:1;;,0 зншченuе х uз сегмент.а [а, ], дл,;; 'Х:оторого (х) == у.
Тогда на сег.ftленте [а, (1] .ftЛОJfCНО ощ:еделшnъ фун'Х:цию х =(у),6уCOOm6imCm6iJe'Чение J; из [а, Ь], дл-я 'Х:оторого ](х)=[а,;3] то !иау. Фун'Х:ци-я х= f-l(y)ifafbl6ff,ef>f'О брт нU дл-яУ = ГС:).указанно,; О1Iределеннаместо сег.ftлентОG [а, Ь] и [а, тмшкно (;ыю бы р н>маТРИВ:;ТЬifif7n:Р6алы (а, Ь)(а, ;3). ,Можнотакже ДОПУСI;ать, что одиноба интервала (а, Ь) и (а,превращаются в бесконе;шут;: пр,rмун: ИЛI воткрытун: поryпрямую.Отметим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
