В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 38
Текст из файла (страница 38)
рассмотренный ВЫШi i примерг! )))·ювгруппы чере.i1К1 iiiiЧ)Ka ..iaHHhIi iпо частя)). Привед'iнуизпереЧИСЛ i нныхфt'р))у)ы)lЦ\.интегралыsin(ln:r (lF Jcos(ln:r40). Обозна'jая любойрОИiВОДСl дв\вание по чаСТСIМ, мы составиы 1\ЛЯключения интегралов,юни ·))))тыя н))ОТНОСIТСЯ)Р)l гр\1)('еВИ1\а(lFиз инте)теГРИiуравнение первого поряы)l)'чер) ывают В,iiX)01"д.бес!'iiРУЩИХСЯ посре1\СТВОЫ интегрированияпримерыTpii)теп ))))('в, не входящихгрупп,НОвы· шслимыхпри(,дпомо)Ш(6.9).)·сция со. i.ер)ки)теляпридется применить дважды.)·са·iecTi'!!'интегрирования по частям (б Л)JВычислti интеtт>аt 1 =5c:s 2х Э [от интеtт>аt не t;ходtiТни в 01\НУ из упом}шутых трех ГРУПП, Теы не ыенее, приыеняяформулуv =1=и ПOJIaга}1 в ней их:Г,J:гtg х:гcl:J:=гхх-!.х+-х6<.(lх ,полу шы ;1u =(lv ==Вl'JЧИС,j;гг!>а! К,л =Jdx5ilicosd(cos ) =cosxх tg х +I c08xl+ с.,laKC>He 1; Н(', ["м;"] i--;;·'jЖНЫЙ ,ДЛЯ ,дальн( йшеl"С,Jа = СО118Т,., л =d!(t 2 +0 2 )Л'1,2, ...j-Этот инлграл таклсе не вхощт ни В 01\НУ из упомянутых выш;' трех ГРУПП.ДtЯ RЫЧИСЛ;'l tiЯинлЮRtirpat 1'дtЯ неп,рр' tiтную формулу, сво !ют~ую вопрос О вы' шслении К>, к вы' шслению Кл - 1 'Молсно записать (приДля ВЫЧИCJгнигрироваНШ1'1последнего интеграла пршгниы формулу инг'lастяыпо1)(6.9),llолучим du = dt, v = (лК1 К>,Из1 )(t2= а' л- + 20 2 (люсtl Дti 1 го!if;t,eHCt 'полагая в ней и =t,(lv f;:2+ o~;;'=+ оfi)Л-l ,t+ а')-"-l)(t"Ю.
t;чtiКЛ - 202 (Л_l)(tt2 +02 j\-1рр;'tiтнуюtу+:2 ~~~=~~КЛ-l'(6.12)Убсдti.\;ЯН'М, что рек;рр; tiТНf;Я формула (6.12) т, 'l,i, tЯетвычислить интеграл К>,!ля люоого'3, . .. в самоы 1\еле,инл гра.! К ! t;ычti,tЯется Э.tеменK1 =J~=t 2 +o2-1'tf;!)!d(t/o)(t/п)2+1= ~aIctgtО+С.Пf ;'te Tf,rC' как RЫЧИСt;'l инл грал K 1 , tС;·tа!·ая(6.12)лыы без труда вы'шслим2.
В свою очере1\Ь, зна}1 К,; иПО. tf;Гf;Я.te12) л3. ы б;' [Р\Д!; RычисtК:).llРО1\ол)ка}1 1\ействовать таким образом!альше, мы вы' шслим=интегра.t КЛ.tюбогоHf;TYi ·f;·tt,HOrOЛ.ГЛАВА7КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. АЛГЕБРАМIIОГОЧIIЕНОВ. ИНТЕГРИРОВАНИЕВ ЭIIЕМЕIIТАЕНЫХ ФУНIIЦИЯХв пре1\Ыl.уt tей глав(' было указано, ;то неОПрi' 1i'ленный интеlТJitЛ ОТtтарной ijiУНКЦИКгов( iрЯ,Яt;.tЯется эле-ментарной функцией. Тем Н(' менее существуют довольно широкие ;,,,ттассы фунюrий, интегралы от ;"оторых Прi' lстаВЛКlЮТ СОl)ОЙtТЩIНЫ(' (jiУНЮIИИ. СГакие клi;ссы (jiУНЮIИП МЫ буд('Hi;.-зывать и~meгpиpye.Mымиu в эле.Ntе'НmаР'НЪfХ· Фую;;цu.ях.) ИзучениеукаЗi;;ЫХК.t;"'i'(iВф\ tКII1Йi'(iСt'i;t;.tяет1Овн;tаСt(iЯщей главы. Поскольку ср' ш указанных классов фунюrий 01\НИМи ..; OCHOt;HhIX кш tКlется nласс !Ю J!J.i;'налыiыx фУiin'И,иIi, мы должны пре.Ж:l i ' всегоуто' шить наши пре1\ставленияиi ,i;цtЮНi;ШЯЫХ ф\ tкцtlЯХ. ДЛЯ этогоуточнить наши CBi' 1i'НИЯ о комплексных§ 1.о J\IНOrO шенах(iчередt,etiЯшслах.Кратн<ие сведения о Н<ОМ11лексных числахДва веШ.Есmве'Н'Ных 'Числа Х и У .мы буде,м 'На, 'iiBamb уnор.яnоро'Й,если уnозаiiО,nаnо ,из эrnих 'ч {сел .явЛ.FU [пс;!nepBыNt,' nаnое BmopыNt•.
Упоря юченную парусе.! Ху буд"обе i 1начаt i[;О1О' (х,Bi" (ественных шывая Hi;. первоммест<' первый элемент парыКо,мnлеnс'Ны.м число,м 'На;iilваеmс.я уnор.ядоче'Н'На.я пара (х, у)вешесmве'Н'Н'!iсr 'Чисел.первое из nоmор'ых хСniв!J.rnеЛЫiО1'i 'Чостъю, а етnороеnлеnс'Ного-'На;iiiваеmс.я дей,м 'НИ Л!, ,!! 'Часrn'ью ;i!юго nо,м-числа.В слу' ;ае;"ОГ1\а ыниыая часть У равна нулю, соответствую-Щ\[ару (хДОЛiRариваЮt i я отождесТt;ШТЬ вещесt [;енныычислом х. Это позволяет рассматривать ыножество всг веЩi'с! [;енных чисе,lкак частьMHi i{t<ectДва nо,мnлеnс'Н'ых числа Zl =[;а КОМП,lею"(Xl,Yl)ых чtl' i'Л.и Z:z = (;г:z,У'J) 'На ,'сува-ТИРС' '\НИЕ В:r: '.IЛ?О,е!'"Л()jl,е lияве ii.ественныеjl,eCTBaю ,мплеЮ'llЫХчисел.iти:.HI' ,}кепичислаlЯЯВЛЯl<>ТСfOll"Р;ЩИИд'частью',l}Klli,'lil,IТLMH()~Ollpe~делены так, 'П"iiбыприменении к двум вещественным 'шспамонп приводили к ул;:е известтrьп - пам изL гл.
2 определепиям3CiMMl,iИ прои:~ведеlШЯ веществе11чисел,Су.м.мои двух КО.мnлексных '!'Uсел zназовuл комплексное ч'Uсло z видаи:2 --(Х2. У2)(7.1 )П,iO'Uзведен'Uем двух комплексных '!'ш!ел Zl Х:2, У2!назове.М КО.МnШ·КСН{iiz=zч'UслоХ1Х:2 - У1У2, Х1У:2(Х1,)'U '2 -в'Ш.Ja+ Х:2У1).(7,2)ЛеiКО провеРИf ь, что сумма и произведение комплексных чиселО{iлаД;i.ЮТ темиса: iыми свойства:чтосумма и прOlЛ~ведение вещее венных чисел.
Именно спра iедливы следующиеСВОЙСТВ;i:1о, '1 + Z2 20. (Zl + Z2)(пе! ,еместительное с iO [! е во суммы),'2+ Zз=Zl+ (Z2 + ZзВОЙiТВОCYMMl'l).30, +40.О) (особа'f роль 'шспа (О,Д,lЯ ЮiЖДОГО ЧИi"Ла Z =у) 'iществу"Т ilРОТИВОПО,1ОЖ~ное ему 'шспо z' - (-х, -у) такое, что Z +:/О)50. Zl .= Z2' Zl (переместителыюе 'ВОЙi'ТВО прои:~веде шя).60. (z . Z2) . Zз . (Z2 . Z,) (сочетатеЛЬ110е свойство про lзведеlШЯ),70 . . (1, !) -Z (особа'f роль 'шспа1.0)).8', Д.lЯfюбого lШ:.iIIf' 'l,C1OrO Чil' ла11 улю ,существует обрат 1Ое ему ЧИСJЮfaKoe.
'fTO,Z(х, у)11е раВ110ГОCr2 : у2 , - ir2 у у2)- (1, !).++9', (ZlZ:2 . Zз = Zl . ZзIIJ ,оизведения относи f'ельноСвойстваZ110-90суммы).ПОШО,.lЯЮТ утвержf;iTl, .что. fЛЯ'шсел полнос fЪЮ сохраЮflОТСЯ все правила элемен fapHoi! аш еб~Pl,i ОТПОСЯffi''''''Я к ;iРИФ: i'тическим ilействия:к СОЧ"т; llЮi iраве11СТВ.Кроме того, iти свойства iЮ.ШОСТЬЮ решают вопрос о выl'u~~тании КО.мnлекснъи; "шсел как о действии, обратном сложению,и о деле?!'U'U комnлексны:г ч'Uсел Юi.к о . f.еЙствии, обраТ110: i YM110~женю<>.=Разностью двух комплексных ч'Uсел Zl = (Х1 У1) 'U Z2(:r:2' У2) называется такое КО.мnлексное ч'Uсло Z, которое вZ2 доеrn ZПОЫiJjjiЬЮ СВ' ,1.1ствэлемен i'ЩШ"10уста-нанли iается сущееi вонаШiе и единственно с iЪ разности двух сТ<>-IJblXпроверить,у=Z1)Ю ,мплею.ЛЫХ чн,1е! юJчтоiiазностьюдвухкоып.ieKcHbIXи Z2 = (.[2 У2) является)z - (:r:112,'!Иселчн,ло Z вида(7.3)1!1частныlM двух к;о,мnлек;сныlx i('Uсел z(х) 'U '2(Х2, У2 , второе 'UЗ nOffiOPblX не равно нулю, назыаетсяя так;ое к;о,мnлек;сное i('UГЛО " к;оторое щ)'U у,множен'U'U на Z2 даетПОМОЩЫ Ji С ю1.1ств 50-80 легко установить, 'iTO единствен~Z..
'i.BIЧiJ'плексное '!ИСНОIЮJ iаппых комплеюлых чисел явля, 'ТСЯ KOM~zвидаz(Xl:~ :~~Y2, ir,;~ ~ ~.~Y2 )=(7.4).В операЦШiХ с коыплексныыи '!Иснами особую роль Иiраетчисю пре,'i,ставимое парой (О, ) и оСю illача, '1юе с.уквой i. YMllO~жа)i эту пару самое на себ)i (т. е. воз юд)i ееквадрат, полу !имчисел:). (0,1 = -1, О) =(ОЗамет lВ это, мы110ж:е1,т.е.Z·2= - 1.любое lЮ1lПлеiСllое число Zпре,'i,ставить в виде(;т,у)Z -1lыI бl1l0ГО чисна Z леllие ира'iO равенчис iilМИ ТiiЖZв;т7У.ШllрОКО И"lЮ,lЬюват), J1ЛЯ комплею(;т, у) f.lредставлепие Z'1ютреШl!'11) . ({ 1(х. О)(О,1)хliачестве МIЮ liнтеля,Это представliBa/lpiiTliOTOPO~позволяет ПРОИЗВОДИiЪ опе! ,ации с комплексными1lie, ЮiЖ опи прои:~во iЯТСЯ сa.ir' 'I.раич!~МIЮ~ГОЧШ'lIiiМИ.Коыплексное '!Исно Z - (х, -у) - хпринято называть co~nРЯ )!i'euHымM по оmНОШСНIl'!!) к; к;омnлек;сно,му ч'Uслу Z(х, у) ==-х7У.Очевндпо, что к;о,мnлек;сное ч'Uсло равно нулю тогда 'U толък;отогда. к;огда f!aBHO нулю гощ!яженное ему '('ш!ло, ибо равенствах = О.
у = О эквнва,,)''lIТlll,' равеllства1ДЛЯ геШ,lетрического изображ:епия:Е = О, -у = О,11леliСllЬ х чисел удоб-1 ПРЯ1,lО>ТОЛЫЮЙ СИСТ"1ЮЙ liООР/1ИПiiТ.При этом коыплексное ЧИСJЮ- (х,изображаеТС)i или точ~-::-::-t110lЮ"lЬюват),' я д"1iартовокой}I,;!с liООРДНПi та1,!И (х, у)на'iала координатi'O'iKYили веКТОр01O}l,;!,Шl Jщим и:~Н.1) Это делается точно так же, как и , (ля вещественных чисел (см. п. 3 § 2гл,2).<i'ИГ! )ij\НИЕ ВiaKobl способе из' ,бражения Ci, ,жение и вычитание KOЫ~'iисел СВiДИТСi к сложенш), и вьпитанш), COi\iBe i'CT~ВjЮЩИХ им В' 1iTOPOB (этi) Щ)llЯТ11O И1 фОР11iЛ) И)iJ:ПИ наряду с декарто юй сис )'ebli){) К(), тдинат ввести пi)llУЮ сист)'<li(ЮРДНTa1i< чт, ,()],1llаходился в 1ICiЧiiлеплексныхсистемы,< а полярная ()сь была направлена вдоль по~ЛOlт,птельного направления осп Ох, то декартовы координатых<И полярные КООР'ЩllаТ],i (р, ()) люСюй ТОЧ1iИ М, КiiК [Г~BeCT~но< связаны фОjмуламиу!'х"2-+у"2,агсtсу l{ь ,rх =pcos (),У =psin(}arct.g l{()=п,rsgn у7г2"sgnyпри х>ЩН1;Т<i1pH=.5)О.Формулы (7.5) приводят llас к m!iUго1-tо,меmрu"tеск;m'i фо! ,мепредставлеllИЯ комплеКiЛОГО ЧИСЛii< Z = (х, У):(х.
у)хСО" ()<sin(}) -smВ тршонометрической форые представления(7.6).6)'шепоназы~ВiiЮТ ,МОi)УЛUЛ а угол () ap,'YMC1-tmОhL1i'liС1ОГО чисApгy~ментопределен неоднозна'шо: выесто зна'iенияыожно брать111iiче ше ()+ 2пn(r<ii,e n = о,± ,±2, ... ).в iригоноыеТРИ'iеСКОi1удобно производить опера шиУМl1Оi1iе1ШЯ и ,lеле1ШЯ комплеКiЛЫХ Чi1'Пуст], да1],1 два произвол] 11Lii\ 1iOI,шле1iС l]Пi чиепаZlZ2===(.12, 1/:2) =(.У 1, У1)(Р1 COS (}1 Р1 sin (}1),(р\ COS (}2 Р2 sin (}\).<Тогда. по опре,ii,еле1ШЮ УМllожеllИЯ (в<и.]) ФОР11iЛi,i(7.2)),ПJоизведение этих чисел иыеет видZl . Z2 = (:Е1:Е \ - У1У\, :Е1У2 + 'у2У1 = (P1P\OS (}1 COS ()\ - Р1Р2 sin (}1 sin (}2 Р1Р2 COS (}1 sin ()\ + Р1Р\ sin (}10S ()\) == [(Р1Р2) COS((}l + (}\) (Р1Р2) sin((}l + (}\)].(7.7)Аllа.1ОГИЧl1О и:~ форму.
iЬ1 (7.4) :~iiКЛi' ,ча)'<что ча'<т 10)'Zl,lВiXZ2комплексных чисел <I Р2[(~~(Х1SlnР1 З 1 () ) И)=(}2)(Рlsin(!l1) При этом предполагается, что комплексное числот< е< р' =j=. О.<=2иыеет вид 1(}2)]'Z2•8'Jне равно нулю2U7АТEl:ГАИ'СКИЕ МНОГС''!2.7)(7;'.,)изаклю",,{,(;е{л;ж:(1i!y,m,'H-{)Im,(;}!',с ел 'iJ'Мiшюm,ся (пр,I! СТВО''''реIЮСИТ,·ЯНЯп"равных r;:от,шлеr;:сныхn)Му а 6fю.1(.011' 'Ч1li\ГОе, еетш комплексное число возво-чисел;,iл Оп).Slnпри(7ЛЮ1Н 'гото1·0;,Из формулыJy,{//J,последо на"В частности,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
