В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 41
Текст из файла (страница 41)
тгеi'iраU'Ч('С'х:ого .;\лного'Ч т('на с вещ'ствеuнъJ..;\ЛU 'х:ОЭффu !иеиmа-ТИРС' '\НИЕ В35),тnо('о'n.n:zжС!и-/'()(:',ну 'Ко"" n ,!П!С'/-/,()(же я !ляет{'я к;орне,м ,М?Ш?ПЧЛС!f.!!1)олееmО20. u;ли к;о",;,(7,35)"'!('r.;{"'/-/,ъtii r.;Opi '/-/,'Ь а им.сст r.;parn' ш{'т'ь \, то и r.; УрС' КЪ'И.М.! сmr.;pa,fi'/-/,O() fi'h АД о к a:~тл ь с т в о,Пi ,!лсде вс!т!с дока)! П\f Ссъ:дующее !:'ll!>м!с:'ат! Л:Я!i' ут:;ерж,:ение: если ,{(::с :;епестт;енными коэzj';фициентами, то ЕОl\П,iеЕсная величина ,{является СОПРЯJ::енной по отношениювеличине,{ (z), Достаl'O'lHO доказать, что для ю!;iiо:'о HO\lepa n веЛИ'Шllа (Z)n является сопрялсенной по отношению к ве,шчине zn, Это последнееюсредст:;енно B:,lTC;KaeT l:з ТРИГОНО"!'l'Риче, кой фОР\lЫпле (сного ЧИСсlа.
В самом деле, п:,стьz =огдаzр( cos еп[соs( -е)KO\l-+ i sil1 е).+ i sill( -е)силу фОР'lУJЬ: Муавра (7,11)+ i sil1z" = рП ( COS ОП(z)cos(еn)sшеn=rP(cosen-isillеn,Из СОliQставления д:;ух последних фор\:ул :;ыте,:ает, что (Z)nzn, Вспомоявляется величиной, сощш)::енной по отношениюгательное ут:;ерждею:е доказано,Пусть теперь комплексное число'шеlaчтоlшмплеl(сное ЧИСсlО(z),т, е,(а) =О,1яв,шется lшрнем много-э l'ОП :лав:,: 'lЫ устано:;и,ш,равно Н, ,lю тогда и только тогда,lшгдараВllО llУ,СОllряжеllное e\lY Чl,:' ло, Стало быть из ра:;енст:;а,{(и,) = О и IП ДОlшзанного выше вспомогательного утвер)кдения:;ыте:<ает, что Г (о:)О, т, е, чис.1О о: ю;шется :<орнем ,{ (z),Пусть дано, что l(paTHocTb корня"авна А, Тогда в сиюl'eopeM:,:,{(а) - ,{'(а) =(а)-,,,=(а)Так как КОМ: шею НОС' Чl,:' ло рав10lшгдаемуравнон:'люсопряж:енное-О;,31»нулю l'огда и l'OlЬKO то:да"число":;ьппе вс: iQ ,югате,lЫ1О: о утверждеllИЯ и l,:зтоиздоказанногоi'OOTl1OllеllИП(7,;>6):;ы l'eKa !;т С lеду ! ;п~ие i'OOTl1O llе шя:!,{ (о:),{' (о:)=(о:)1(о:)О,(о:)"#,37)1 Вс ;;ду n il,алт,нейшем мы БУil,ем обознача; !, !;;;МПШ !;сног число.
с;;пряюм:те!' же СИ;,ШOJlO!·' что Июе ЧИi.ю10 С черточкойже!!Iюе!авер':у.2) ПРИ ЭТ;;М мы уч !тыпаем чт;; произп;; шая МНО:О'!Лiiна С !Н щеСТПiiННЫми коэффицие:!та!!и !ре'!.стаВ.!:!ет СОIЮЙко·,ффициепт!!ми.!ОГОЧJlеп т!!кжевеще::твеппы!,!и21')ГА;72}У п~оргявляетс} ,лрне,"(ЮТН, 'тттпшякратно, ти Л,IПоль ;уясь те';РП\f';Й7,'1.най}ем ;)аШ"iliение мн"г, ,'lЛеНil с вепествеfiНЫ\Ш к(нффициеНТi1)Ш)(ЫХ (,eтт~eCTBC'p('1''шс. юна,1) I(х)Щ ;(); пв( дени( нещш-I(x)(,}Х )(Ножителей Пv, Т(,вещественные l' ,;рни Ь 1 ,• Ьп ,)(е-, fЗт с';lfP;'lH'ответственно и комплексно сопря,ж:енные пары lшрнеиа2 и а2, ...аnа n краТНОCi'1' л ,Л2 .... ,л n кажда;}ветственно.огда, согласно рез; льтатам1редставлен§ 3,многочленI (Т)и (1,1,1ара соотMOilieTбытьвиде(7.38)в( пест(,енну", и )(Нi,('}ш'ти корн;} Щ (k,2,...
n) соответственно через uk и vk" т. е. пусть ak'iVJ. Тогда (1,!'iVJ. Прео(iразуем Длюбого k= 1.2, ... ,n выIа,ж:ениеeОбозна'ш),[(х-щ (х(хi!k -(1,k)]),k= [(х+--= (х 2- щ)2V~]),k+ PkX + Qk),k,(7.39)гдеР!;)"г>"а1 вля"' ('"'I . 39)окот}аТС1Ш1НОВЛQ)кение многочлена(ЮД}( '(ЫХIЮIIУ'Ш)',ледую Н,ее разна произведение Beтт~eCTBeHHЫX непри-ножи }'е, }ей:(х)-Ь 2!,(32...Р2 ХхЬ т!,(3"(Х!!2),2 ...l\IbI llР}(ХОДИМ к в ,}воду, что )шого'}лен(х) с (,eтт~eCTBeHНi,'lшэффициентами распадается на проишедение (7.40) неприводимых вещественных l\ШОiliителей, причем l\ШОiliители, со ответству"нние(,eтт~eCTBeHНi,'кщ ня)')(еют вид Д(,у'}лено(, в сте((енях, равных кратности lшрнеи, а l\ШОiliите,ш, соответствуютт~иеко), 1Ш1Ю'НЫМВ степенях,1арам корней1)авных)(е(!!т вид ю,адрат }(,}Х ТРС1Х'}Ш новкратности этих пар lшрнеИ.1) в '1Длr,н(;йш(;м нам пр', ';"1'СЯ ИМ(;1'1, л;сло С мно\о m(;нами ОТ П(;РСМ(;ННОЙ,при lИ!,(\lющей ЛU'ШЪ вещесmве1-t1-tые 31-tаче1-tuя.,ее П01Ь30В\lТЬZiЯ б; квой ;снеz.'ШЯ ее обоз lilчеmIЯ<i'ИГ! iij\НИЕ ВРазложение правильной рациона<JRЪНОЙ дробис веjт~ественными коэФч:I?ициентами на CYT\TMjTпростейшихс Bj\ Т~j<\СТВj\jjjjj,IМ<И< Кjjэффициентами§\ie;!)T\1(С П)слеlУ'iiЩИС<Р(;с)Ле,м,,м,аlВС1 УТl;ерждеШIпрапи ТЪ'J-lая РШЦV.О'J-lа Tbl!aj[ дробьЩ.1:)ве ijестве1-t1-tыl.ии ';1;оэффицие {там.и, <i1-tаJ\ле1-tател'ь ';1;оторой им.еетвеществе1-t1-tое 'ЧисЛО а(J(x)к:орне.М 'х:! nmнос\!< и= (х - а)Йiр(х).где00,е.i= О.ср(асnрав!:дливоэтойт.пр' дстав тс1-tие:Л(х)(7.41)(J(;r)в этом.
nредставле1-tии АР(а)_-i((a) ,-beijeCmbe1-t1-tое 'Число . равное А =k - целое 'ЧиСЛО ~ 1 а "Цх)«<-1-tе i,оmорblU <h1-tого'Чле1-tС веществе1-t1-t 'l<\'P< r.:оэффицие1-t\!m<ни. nри'Че<\, ' nослед1-tяя дроб!\ вправой 'части (7.41 является nравилышП. РеммадоказатеiЬства не требус' i" так как неllосредственно Bl,iT{iКaeT из2.Следует толь;о учесть. что. поскольку Г(х) и Q(x) - много'iленвепе, Тl;енными коэфсl;ициента\IИ, а аTaIOl!e имеют вещественные ко-lшрень.
МНОГОЧ<iены ср(х) И 'ljJ(X'ф<ициеэсрпыIИ"ста<юР(а!-ю, тоянная{;е-ср(а)iiiест{;енноЙ.P(.i<)Пуст'ь -Ле,м"IvШQ(;r)-nравИЛ'Ь1-tая рацио1-tал !1-tиядро б !\Свеществе1-t1-t 'l.M!! r.:оэффицие1-t !m<нИ. знn<нен imел'ь 'Х:оторои Q(x)им.еет ';1;омnле';1;с1-tъuиiv и n: = 'И. - zv ';1;op1-tЯМ.И'Чис та а+'х:рn mнос!!!'< Л.
т. е.Q(x)=р = -2и,Tondaгдеср(аq = и'+v+px+q)!cp(x,этойР(х)Q(.i)i= О.ср(а)i= О,(7.42).сnрав!:дливоnр!:дстав тс1-tие:М;с + N-,--,,---,..,+ (х2 + р\ ;{с)(.;рхq)Л+ q)Л-kср(\) .(7.43)2В Э по.м nредставле1-tии lvl и N - не iomopble вещес пвенные nостоя1-t1-tые. k - 'Ц{ лое 'Число, а- не';1;оторый .;\л1-tогочде'J-lс веществе1-t1-ti'l<\!Р< r.:оэффицие1-t !m<нИ. nри'Че<\!' nослед1-tяя дроб!! вnравои 'Чис!!!'<является nривиЛ!\1-tоU.Д о к а з а т е л ьоеыДОГОВОРi{\"Яобозначать вещественш!'ю часть комплексной величины А симвоюм Re [А], мним\'ю часть комплексной ве<шчины А СИl\fВОЮМ221П, 'л' 'жим 1)11ш"iрудн"пр, ,верить,Gтrедующ( г(![ Р(п)]N'iTOср(а)'и(;ЛШОi', Я ре ТТПiИГУКс :~aHHЫ(равненияР(а)В самом деле,+а-о.(7.4 )юдешв это уравнение на;,(( а) и приравняв ну.
iЮдеЙствите. iЬHыe и мнимые части, мы пол\'чим два равенстваlvliiиз которых о"рсделя "тс!1Lcp((((j=lvlvтеперьг Р(а)N =1т(,ieнаш(, ан(;ьппе')асс!( отримиразностьР(;с)МхQ (х )Приводя!'iш:~анную(х.+Nрхq) .разность к общем):~наменате.iЮ,будемиметьР(;с)Р(х)Q(x)(х 2(М;с + N)cp(;r)+ р! + q)'\ч (х ((7.41> )Здесь через Фобозначен МНОГОЧ.iен с (;еп~ественнымифюшентами вида= Г(Т)юзволяет УТi;ерждать,в сил\' теоремы7.4,ieHa"j,(x) -'шедоФ(хнекоторо"'! кратностиkРавенствоа,а сталоn: яв. шются~КОI ,нятаком Сiучас'1.справед шво представлениеФ(х) = (х:!где- (lvl х + Н)<р(Т).ко\шлексноеи сопря,ж:енное ему чисю)(И )ШОГОЧ.iена Ф(хдля l\fНОГОЧ.'iTOнеко i'Орi,iЙногоч.рх+(7.46)с t;еп~ес ;'вен)(И коэфсl'('ентами, не имеюп~ий в качестве корней числа а иВставляяпредставление (7.46)сlюрму.iУ.45), ЮiУЧИМ iрещтаt;iение(7,43).
Тот факт, что последняя дробь, стоящая в правой части(7. :j), являеТСi llраt;илыюй, t;ьпекает из того, 'iTO эта дробьравна рашости дв! х правильных дробей.Лемма 4 дока шна.Последовательное iршtенение лемм3 и 4 к др о; 'и P(x)j(}(x)по всем iшрнямшаменателя приводит нас к с iедующем!заме'iател яому УТi;ержденшо.1)мож ;О,СИЮ (7.42) ср(а)#о так что отношение Р( ,)/ср(а) р!;ссматрив;;тьТеорему&дробь7.!;еще: т:;е !нн нии.;\леетHV.;!- Ь.i)fЗ,2+ Рl + ql)(.2 I•I.. .
;:L; Pn:L .огда для этой дро6и справедливо следую ;(ее ра3ЛОJlCение насу.н.ну nростейшuх дробей:л(х)Q(x);х(.! --+ Ni )(;с 2 + Р1 Х + (]1ь)1'м(1)M~1)xл.+ N(1)л.-,---:,-------,--::- + ...В этом. ра3ЛОJlCении- не'К:оторые.HOJlCernn)·lX3( )В2... , B~1B1вещественныеравни.а м е ч а н и е.постоянные,'Часть'11.3'К:ото-нулю.Для !шю;ретного опреде.!ения толыш'!1'О указа!! !.!х юстоя!!Ных с.!едует ;ри;;ести раве!!С!'ВО (7.47)общемушаменателю и пос!е этого сравнить !шэффициентыприодинако!;ых степенях Хриерыичислите.!ЯХ.разъяео. РаЗЛQ)КИТЬ на с\ ММ\' простейших Щ авильную дробь2;с 3 + 4;с 2 + х(.)-1)·(.!2Убед!!впп!, ь+21)'то ..
• что квадра; ныП трех !Ле!! х 2!шмпле!;сные !шрни. ип~ем, сог !асно тео; ,еме7.5,Х1 имеетраЗЛQ)кение в!;иде2;с 3+ 4;с 2 . + ;с + 2( х - 1) 2"(х'хПриводя равенство2.!21)+= ~В21 !,х - 1)2(7.48)МХ+ ... 2+N1.(7.4{~обп~ем" знаменате. !ю. пою чим_ B 1 (x 3 -1)1)--~--~----~--~~~~------~------~!хСравнивая в чисштелях коэффи шенты щшур,дем кu};нении1)+= 2~В2+N2М = 4~В2+2N =-В 1 +1~Х=2.1,Ретпая эту систе ,}у,)}(Qнчательна па iУЧИМ-,-----_3~2x-l(:с1)2+х2(7.49)1+х +1TaiЬ (Q что. праиллюстрираванный метад аТЫСiШНИЯ ра ;10л,ения }раЧI,iЬнай раllиана,iЬнай драiiи называется ,неrnодО,;;1нсоnрсJелен'ныlx 'хх))ффu'Ц'U.еюnов.
Этат метад привадит к llе,ш;1i'еlда: дакаЗl,iваТl, разреllшмаСТl,;аЛУ'iею1ОЙрезультатеменения этага метада системы уравнений не ну ll1Ha;ЮСТl, };ьпекает ИЗ теарс"-llpil-ра ;реши-7.5.П; ,аИЛiЮСТРИР\lем метад неапределенных каэффициентаве н.е адн;';римера\l. TpeiiyeTciразлаже ше }ра;i.liЫ1ОЙ20.дl аби+Tai; l\.ai; iшадратный трехчленимеет iЮl\Ш.ипе\l. сагласна Teape\le 7.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
