В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 42
Текст из файла (страница 42)
разлшкение в Чlде3;4• ,,3,,221.. 31--.1 = _ _(:с - 2 !(х' + i':с - 2Паследнее ра};енст};аiei;cHbIeкарни.+ M + N + _,,--------,-,,-1;х'1+}ривадимзнаменателю и па, леэтага сапаставляем числите. ш. Палучимзх 42х 3зх 22х 212х 2Сра};нива\i каэфсl ициент!,; llpi!стеме+ (М2Х + N2)(X -ххО ,Хх4 ,, х2 ,;риде;; к; равнениивNi+]\.;112]\.;1} =-+ ]\.;1} - 2N1 + ]\.;12- 2]\.;1} + N 2 - 2]\.;122ВNi22~= 3~= O~1.1) При ЭТОМ мы исполт,зусм уп;, РЖДСНИС, сформулиропаННОi1 n СНОС;;Сна с.:209.<1'ИГ! ;1j\НИЕ В[смfС'ЛУЧ 1М<тод[l)(деm нныl:MnTpeHHbТX при~<герnn<ственнопоэтомувf;ИДНС'расЯКLЯеТl:Я дnnnлт<нn lРnМnЗДКИМ.техдругой, болееслучаях,ко; даэтоЬстеВОЗlVюжно.найти[тонраз\;есп'д ОЛ.тскани'ложении правильной рат~иональной ДРОi';И на сумму простейШИJ...
Пусть знаменатель Q(;r) прани< f.ноЙ рацш,налыft'Й щюi\и P(.Y)/Q(:r) имеет вещественное ЧИС1о а корнем кратности С\:.Тогда среди,ростеЙши·. дробей. на С'нается дробf.P(x)/Q(;r)ю/[орыJ.. расклаДf.Iб· дет сlшгуриронап. дробf.А(х(7.Ы)а)""-Укажем с! [;сем Щ <с,стой метод [ihГ шсления ю э I;фициента А приfростейтпейfefiai! ле\ \;усl1Оl <МУ(7Аl),мы у; ;едимся в том, что КОЭффlщиент А равен'(а)/<р(а),гдек следующе\'"Mf.T<р(х=Q(x/(;Т-прюшлу: длл выч,иеле1-tиля nоэффи-при nроеrnей.шеU дроби (7.5 ), еооrnвеrnеrnву'Ю·щей. вещеетz;е1-t1-tОМ'f! nup1-t!!! а M.1-tuго'Ч,ш1-tа О(.У) nратгmuетгш С\:,.
бU Q(x)Р(х!fi',!'Ч,ерn1-tj!mъ в 31-tаМf1-tателе ороеnобnу (:Еа)аU в остпв-- н.Указанный прием нахождения коэффициента А оi\ычно на!ынают .метnодо.м выtерnuва1-tил •. От\,етим, чсп, этот прие\< прише.мелвыаже1-tииu nоложurn'ь ;Тменим лишь f<ЛЯ вычисления коэффи шентов при crnapu!ux стеТ!гня:r прuсте'i1. !!Н:Е ;Iробей,nор1-tл.м;<uornBr:mcrnBY! ;ЩUХ вf:'Щ,'; тв, 1-tН!blМ,Q(;Т ) .J\Iетсд [;ьг[! <РfiинанияС,С! ,беf10эФсl;еfiТИНj·,н СЛ'[ае, когда!на\fенюе<Q(;r) Н.мееrn лиш'!! oa1-tоnраrn1-tыe вещесrnве1-t1-tыe nор1-tН, т. е.
когда О(.У) =- al) - а2) ... (:Е - аn).[а. как мы!наем.спранс'щшнс,разлшк! ниj<Г(х) =~+~+ ... +~+ ... +~,х-о,Q(X)Х-О2х-а;все коэффю шенты которого могут бытьf;f,тчеl,КИf;аН11i!. дЛi! f;f,ТЧ11СfеffИЯf;f,Г\,а:iкенииПри м е р.методу[;ы- ak)и вfроби+(х - l)х(х -последуетUk.fс,}н,жить;rНайти раЗ1Ожениевычисленыkчеркнуть в знаменателе дроiш Р(:Е)с,стю;шемсях-а n2) ..52)lГ1 )j1.ЛЕ\1\ИНТЕГГlllUBAlАз+-([;([;-!дя отыскания1 выч( рк Ш(1i \! В вы] ,(1Ж("'таВТТ11 \1СЯши бс'ре:r.' ;Т,\Н'-'Л()ГПЧН()1/2L\ -- 3/')_.u"""" H'-'Х(),iПМu",,:,! ,.-)\'КО11КУИ=-2jM""~""Окончательно получимх+(х - l)х(х -§ 8.2)x-l~+2х,3- 21(7 ..53)2(хПроблема интегрирования рациональной дробиТепеу,j,TjС1дготовленытому, LiтобыС1бше:r.- j;иде реТТТИТhпроблему интегрирования ра 1Иональной ДРОiс,и с вещественными коэ(11фициента:r.!и.Прежде всего, отметим" что эта проблема сводится к проб_ !e:r.!e и !тег! ,ирова!!ия ПЮЛ'Ь'Х:О nравuлы-tOu рацио!!алыюй дроби,и;-ю всякую неправильн.р; рю 1Иональную дрОi\Ь можно (посреством де_шя чис!Ителя !аmаме!!ате_«столбю-;(;м»!рс'Дставить в ви, !,е суммы алгебраического многочлена неправильнойрационаЛ!,ной дроби.При м ер.СТ2-2;т)ибох4;т 4+Ix\ + х + Р+1+ 2;т 2;Т З-;Т З-2х З2х 2-4х1+,,х +х+х 2 - 2;т+1-4х+4;тИнте; рировать многочлен мы умеем (напомним, что неопределенный и!!теграл (;т м!юг(;'!а!рс'Дставляет собой нею1ТОрый мно; очлен степени, на е, !ННШ!,,)' i\олее высокой).
ОстаетсянаУ'jjЛ!,Ся ю!теГУ;1;(;!;аТh nравUЛ'i;J-tУЮ раЦ1н;!!алы!'юсилу теоремынат ,ной7 ..5ВПРОi\лема интегрирования правильной рат~иоСВОд1ттс\!1iН'} еГрИрi !;ан iЮДРi ;бейследуm'Щuх 'Чеmъсрех mи !ов:В1. х _ ЬВIV. (х]\;1:Г + NП. (х _ Ь )8 ,qл'7 ..58В.А. Ильин, Э.Г. Позняк, частьI<i'ИГ! )ij\НИЕ В, N<рые ве))ественные числе),Дою)<ж(руе\{1,qО4что ю)<жде 5} 1<iЗ четыре\ указе нныв злементар1 1<ТХ ф<Дроби 1шда 1 ипо< 1становки t =IlЬ.дро)ей 1ШТ(;ГРИ1<ЦИЯХ3Л8\Г8птарнCJ иптегрттруютсяJ\IbI получим.1 х ~ Ь d:r = В .1 ~t = В.1 (Х!!Ь сlх .1 :: - )8+ Р:Е + q н(; им( (тпричем трехчленве llПТВ(;ННЫХ корней, т< е<н(;коли=о = в ln I:r - I + О,ln Itl(3ПCJ\юши~ 1) ti3~l +0 -((3-!!1)(7.55)(х _ Ь )8-1 +0.(7.56)i)1Я вычисления инте, рала отTpeJ< Liле1ратныйLiTC' q - ~111представим квад(х + ~) 2+ (1/ - Р:) и.->4+Jqпостоянную а =х 2 + р;т + q)j;иде21роби ви 1а«««««««р12 • С 1елав подстановку t =+~ будемиметь(iХ+N)d;T+=М[?t dtС2.=М[2d(t 2t2._ A12111+ 02)+ 02+ (N _ МР) [~ =С2.+ (N _ МР) _[О202d(~)t)- +.2(t 2 +a? + ?N-А1/;агtg!+ln (;т 2 +ох +2+ а'а20+.22JОстается j;1.ТЧ iСЛИТh интегралденные выпте с,бозна 1енияt-q -МРР:alctgх-Jдроби видах+Р2 + О.q-,а(7.57)Р:1V.jС'ЛhЗ' яЮЛ'Vг-;;if - 4'<Bj;e-lr1 )j1.ЛЕ\1 \IIH'l ереслены227ИНТЕГГlll ()ВА)интеГР\1.ющибудет вычие 1СН, еебуд"1:1.ТЧ Н-ИН'l еГР\lЛЫI.Инте; рал1берется элементарно:11dt............................................................................•......(Л - ) (t 2 + а')Л- i+!Л1-) (11+ рх + q)"'-l+ С.Инте; рал К), вычислен нами в примерев Koнт~e §Там М1.Т н:лучили для этого Иllтегра.1а реКУ\1реНТll'Ю(6.12), позволю;:; ;.ую последовательно вычислить К),гс; Л- 2,3 ....,l'Пира\lС1.lC -(7.54)гл.6.1а тс;dt~ =t+1tаа-arctg-11Ита1\ .
на\!и 1:1.тчисле1 1.Т интегралыiробей2+всех чесii.rpexПIЮС'i ейптiXи юказано. что каждый из этих интегралов преставляет собой эле,ме1-tmар1-tу1О фу1-tк:'Цu1О 1 . Те\ самыi.T приходим К следующей теореме, исчерпывающей проблему инте; рираЦ!jQi1ЮIЫЮЙ дроби.Теорема; '1ем,!Врах7.6.Всяк:ая ршцuо1-tал ;1-tая дробь итnег! uруеmся вnrnap1-tblХiаi\ЛЮ'iei шевычисления.эл ;гс; параграсI1а мы с;ста]неопределенныхВ1.тчисли\!интегралов(7.55),1·:азаННhIМИ тремяи1риме-рат~иона.;1ЬНЫХ1е011ределенные Иllтегра.
1.Т от трех дробей,рассмотренных в пре. !Ьщ)'щем параграфеПольз'1аот(7.57),(7.49) (7.50)и(7.53).а та1·:же1ем иметь:1) Точнее, выражается через логарифм, арктангенс и рациональнуюфункцию.8*I31п I:r=I+ . ;[;'2 + 1 + .dr+ 2 arctg :Е + 22IX -J(х3.х+l1)х(х.- -§ 9.-J~~~2(Х21+ 1) +J + .I ...)dx-2х-2--d:rх1111 1Х+ 1)'1+ arctg;r -I_у) drх11+ -12' х - , d:r =1Х 1+-1Х -1+Метод ОстроградекогоJ\I.1;. Остроградским ) пре южен остроумный метод Bыдeлен ту! ршцuо1-tаЛ'Ь1-tоu 'Частu Иt ;тег\ ,ала: т прю;ию,ной рацИt наю,ной;роби Р(:Е)Анаmпируя ;;ид интеграл;;;;;етыре>< простейтпих др: бей.54), можно сделать следующие выво. ты:1) Интеграю,тдробей ;;тща I и HI, знаменателиде! с,+шт двучлен или с: ;у;ветст;е;кол рысо-трехчлен в первой степе; Ш"яв lяются 1-tершцuо1-tаЛЪ!!ЪtМ,U(они равны логарифмуаркта;;ге;;с"2)Инте; рал от дроСш вида>II,знаменатель которой со. [ержитстепени,':!1 является щювUЛ'!,1-tо'Ll ршцuо1-tаЛ,!,1-tо'Ll31-tам! пате уем, рпв1-tЪtМ ПШМУ :J/cr: д !у'Чле1-tу в cmr:ne1-tUfJ3)Интеграл видапо.
[ынтегральная функция которого со-[ержит в знаменателе трехчлен в степени А, в конечном итоге 2)рпвr:1-t СУМ,М!прш;uлъ1-tо iiси 31-tпм,е1-tП ТЩ '//'(;М"рав1-tыl'' mO"iY же трех'Чле1-tУ в cmene1-tuк; Щ к;та1-tге1-tсу u1-tтегралаВыводы1), 2), 3);'OHst.u nрuводшцегосяdx+ ч)'позволяют закл;(;чить, чему равна рюшона. ;,ная часть ;;сего и ;тегра.;а от прю;н;,ной ЩiJ,бих/Q(;r),котору;;; мы, кроме того, будем считать nесок;ратuм,оП, Пустьmаменате.Q(;r) им; г'т ;ШДQ(x=х-Ь 1 )З 1...х-...?х- +р ;;Т+Чп(7.58)1) l'Лихаил Васильевич Остроградский - русский математик; 1801-1861).2) С учетом рекуррентной формулы (б.полученной в конце § 2 гл.
6.'ТР()ГГА.пр, i;ил ,ной р, цис нТогд,( (,,(цион,(, (,ная часть ин'егр, ,(аной Щ с,биP(;r);Q(xре(:"('умм(22')()ih-(ра (илы (,ТХ рациона, (,ныiроб( й, знамею тели которых соответ( твенно р,шны-1, (:1:2+! 1:1: + (12, ( :гРационаш,наяставляет(;r)/Q(acТi,со юй,(;Т)интегралаочевидно,отР(хпраВИЛЬНУ14!Qзнаменатель(х- (:г 2Q1 СУ) =... (:гС'Подсчитш'м+ Рn'," + qn )А/Q(;r)(редрю шональнуюдрm\ьимеет вид+ Р1:Г + q1)Alрn:гqn)1(7 ..59)те,"" щ;t;стейши\ др;;беЙ. инт;траTeiieph CYMl\iI'лы от которых предстаВЛЯ14iТ соСюй нерат~иональные фуню шИ.И;) и ;1) iыIекаетT '(то эта сумма(а прю;ию,нойрат~иональной дроiшP2Cy)/Q2(:r)знаменатель(:г) которойравенмы приходим К следующей формуле, впервые.В.
Остр; граДСi(И\i:J,}иХ-(х;-(-)j;+Jформуле Остроградско; о мно; очленыЧх) dп-:-)' ;Т.(7.6 )Q1 (.! ) и(.У) определя-(;'2(Хются ,IЮj!I\ТУiами (7 ..59) и ; 7.60) и могут бiПi, iыI шслеНhI без разЛО:J/Сf nНОЯ м,'н,uго'ЧЛ(('На (](х) па ПРОНЗ6f ')е'Нием,'НижurnелеU.В самом деле, в силу результатовмногочлен Q х предстю:л({ет собойтель (вух многочленови(:г) и может быть вычислен при!';f;с;щи алгор п\!а Евклида (см.
§ 4).J\IHo; очлен(х), в силу формул (7 ..58),..59) и .60), преставляет собой частное Q(:r) / (]1 СУ) и может г\Ыть вычислен посредствс;',деленияQ(;r)наQ(х)<ст(!ЛБШ(f;\f\;.Остается вычислить мно; очлены Р1 СУ) и Р',!(х). ПосколькуР1 Х /Q1(;r)~(;r)/Q2 х (fRЛ({ЮТСЯ ПРЮ;1f (,ны. многочлен Р1 СУ) естественно задать как мно; очлен снеопределенНhIМИ коэсl;фициентами степени (а единиц' ниже, (ем Q х,а Р2 (:г) - как многоч;ен С неопре, (еленными коэффит~иентами стеiiени (а единиц'ШJJ;е, ';ем Q2 х . д'исления (азанных неопре, (еленных коэффю шентов сле, (ует про, шфференЦИl;с;ватьОстрограДСi(С;ГС; (7.6 ), привести ре;ую,татшфферею шрования к Оi\щему знаменателю и сопоставить коэффициенты при одинаковых степеняхв числителях.<j'ИГ! )jj\НИЕ В\)ет! д0\ тр!граде <ого предет( i)<ШГинтеПjjjрованияприе\<Q(:r)с,еобеiрацИt наm<нойJс,бойбсзш()рительно, о разложения зтой iроби не) сумму про\тейшихijjjjeMюкогд()в основном яв«,яютсяТРУДНZ:Нij)др! биЮ рниИ Ш когд() вызывс (т занаJ<ождеiшеПри 1\1 е р.ВЧЧИС1И'lЪ----,--:--;:--,---,.,-----:--..,.
dx.+1IIMeeMQ(;r) - х 4 - 2;т 3 +- 2;тQ'(,y) =- 612 + 61 - 2.+ 1~Ищем Ql (:Е) как наиСюльший Оi\щий iелитель мно, очленови Q'(;r). 3аlVН<ТИМ, iТC' iаибс, i~ШИЙ общий де<штеЛh U.me1-t1-tО эrnихшух многоч«,енов уже най<в кою i<e§ .ieHнами в примере~ рассмотренномОн равен(.у) =Q2(;r):Е=;Т2+ 1.Х-Р; (х) и Р2 (;т) ;адаем как мнс,го шеi i~T iер;ой степ! ни С неопреiеленными коэффит~иентами.ла Осл){'градс <с,го 7.11 при Ш\ ает6х4 ---«,-il:2х 3+3х 2-2А! + вdl2х+1х2 -хJI~ля опре<iеления коэффи jИентов А, В, С,(7.62). Ilолучим6-7х-хА(х -хх 4 -2х 3 +3х 2 -2х+1С! + Dх2 -1DХ1dl(7.62)продифферен jИ1)-«lх+В)(2х-l)(х 2 -х+1)2+'х+(х 2 -х+1)Результат дифферент~ирования приводим к Оi\щему знаменате-7:у-=А(:Е 2 - +1)-(А:ЕВ)(21-1)+(С:ЕСравнивая коэффициенты при:Е,иуравнен иС=О.+D-C=-1~-IIB-D+C=-7~+ +=6.:Е 3 ,D)(.y2_:r1).получим системуИНТЕГГlf10ниP()BAl231АРСТРоб1J6 -77х' - 27:\+- 27+1+d:r = ----,----1,2J----,-_d_!l_::г'+1Вычис ;ИВ инт( грал в пр( вой части, оконч( т( ,ьно нi Й ,см2хх2§ 10.-+32- 1Х + 1 + vз агсtg vз + с.Интегрирование некоторых ирра щональных1'рансце 1/1,PHTtтВ преДi,ТДУЩИВJiкражеtт(араграфат мы устаю'(;или, чтоJE ::'юй рат~иональной(теграл(роби представляет собой элементарную(астоящем параграфе м(,т рассмотрим 'Нenomopъte;ipupyeMblxмы,;Л(;м,е'Н !!ПРffъсr(;средст(юм(;дстюю(;-ки сводить инте, рал от рассматриваемой функт~ии к интегралу.(;т рац!н ;((алымы будемсмат}()тнС!сителы«азаннС!й(;дс та(оворить: что она рат~ионализирует интеграл от рас;11 (;аемойфункциИнтегрирование некоторых тригонометрическихВJiкртъжеtт й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
