В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 52
Текст из файла (страница 52)
При э 10\} ПОЛУЧИ\1о,+т)п(1+~)no,n[1+~ ~ +n(n-1)(~)+ ... +(~)n].Та}(образом, оiiщий cfTfaii iiинома i iьютона яв, шется частIЫсфор\}улы ,~Л\lклореН11.Е.arctg х. l\10ЖI1Q \/бе 1ИТЬСI1 в то ,}, чтопри ЧС }НО,}j(n) (О)n-l---Т-N1) !nнечетно\'n.\IКИМ оБР\IЗОМ, фор\}ула\IКЛОрtl1а (8. ГI4) с остаточным члеНО\1в форме Пеано (8.57) имеет видarctg х - х (Зд; сьn -§ 16.1.х:З3 +5IС'ЧС'IНОС' число.)Примеры приложений формулы МаклоренаАлгоритм вычисления числа е. В п.4 §3гл.3\1Ы В11ели чис1Q е как предел lim (1 + -) и пол(/чилиш е гру \(/ю12--+00формуюоценку(3.7)3).!жем, как вы чиi ЛИТЬ чиi ЛО е3.Мitклореюtii)чt юсти Воспользvе\tСifостаТОЧН()fР члена (8.6:~),ТепеРfмы[<а-интере i \iющей нас ct еffенью(8.61)иtКОЙfЮЛОЖИВ в этих формулахПОЛУЧИ\i1+!+ n!+ 2!i(1),7Б).76г.t.еIдiI < (п +lt!е1 (1Выбирая в фор . tулах (8.Ту) иможем оцеНИТfРС'СУj{)щей2.tac:::;;3(n+1):досту! t(iЧ 10 БОfЬШС 1i'(8.76)стс·ш·ttыо точности.Ррализация а.тс'ори'н Тi'Тii вычислрлия'ниелатроннойВЬГiислен fЯtыйпрс'ДыeferKoЧИСfареа,Шfз\'етсяHii элрк-пунаtKTe itЛгоше iЧЮННО\iiiШИНiii.приведе\iпри nрез\fЬ ат ВЫЧИСfеitия ЧИСfа е ПОfену! ЭЛС'КiрОi Ю вычислителы1ОЙ \iiiшине=БЭСУкаЗit iмашине.ВЫЧИСШТС'льньг<J\lbIмыс помо fff,Ю этих формул 'iИСЛО е с лю()ой инте40061).
ВЫЧИСЛtitИif tiе.ШСЬ с 600 Зitакю.ш ПОСfе запятой.1) .д 'я чит"Тi"ей, ЗНi1Ю1МЫХ со стандартным а'горитмическим я)ыкомАЛГОЛ, приве,iем записанную на этом языке программу вычислений:ОuсrnеА1JL Алгол-БЭСМ6, варшшrn 10-12-69begin integer i сn т: integer аггауЬ, е [О : 601];m :400; шаrg50, 39, 10, О, о)·=[О][ога[огЬ [О]: = 1;: = 1;i : = 1 step[i] : =until 601 do[7]: =с[7] : =О;n : = 1 step until т dos1.ep 1 ппtiJ СОО: = Ь [i]' с : = [О];= О i1t,·P 1 uпtiJ СОО[7] : =с:=(с-n)хр:[ог=хO+a[i+i : 600 step - 1 untilс : = ф] + b[i] + р;р: =Н'ОdoО<beginend10 1h,.·П с [i] : = ,·li1'·е [i] : = с - 10: р : =endеПiЛ[огn := 1stепuntil 6 doЬеgiп i1utput ·ри/,.
'zcl.'. с[О]);[ог i : = 1 step 1 until 590 doопрпendendendО('zcl', i'[i])16ыIПРff\11кларf"[А287Уч fТывая В1)зможные сш ибки округления, МЫfИ [1О1ледние 10 знакоtj и приводим реЗ\1льтат вы 1иелен fЯ е 590 знаIOtми после запятой2.718281 132/345'! 04523"11 3(Ю28J 471352 6(;24Т J5J247'J6696J 62J7J4 OJ6630 :15:1547 594Ы1 :1821J8 "112"11 664(Ю;191 9;1200;1 0599Л 81741;1 59(Ю:l9 04357:l 9003;14 :l9521Ю738 з:~ 3:~8627 943490 763:~33 829880 753 95 :~5 О 9 01 573:10702 Е 1089 119'ЛI 8/3 1167 509241 76146066/30/322648004 1853 742345 44:~437 107539 077744 992069 55 702 76 8383Ч:184 5/33000 7"112041 'J;lЗ/326 560297 606737 11:1200 709328443747 047~30 69(;977 209310 141692836819025515 108657111252 3/3Т84 42"110"116 'J~136'J6 bl07/3514'J969 967'J46 /3641"11193163(; 889:~30 098793 1:~7736 178215424999 229576 3514828951'j:I 66803:1 182"1128 86'J;I'Н 4'J616"11 105/320 9392:I'J 13291\;836 ...ОtJ\1етим" что093()\!942742!5951;30834 87168477606:~670Л274(;37Р'105987208269793:120[а ПРОt1е tение {1сех t1ЫЧИСfений ушло околоОДНОЙ l\IИНУ"Тf:J l\IаШИННОl'О Вi>емеи 1.3.Исполь:ювание формулы Маклорена для асимптотических 1) оценок элементарных функций и вычисления преДРЛПСI.
Формула l\lаuюрена является мощным средСТВО11. 1ДII1!по.fучения01\tСИ11.!П"tОТИЧС·СКИ:<юкЭ.fе.tент\tрuыхфункцийвы 1исления fтеделов.В г.1.tbI уст ttюt1ИЛИ Сfе.t.УЮfffЛС· аси.!Птотичс·скис· фОр11.tулыДII1! шеме fTaptfыf< ф\ tfКЦИП:si х-х+о(х)\11+х- +о(х)=1ln(l+x =:r:+u(x)еХ =cosx(8.77)1 +:r:+u(x)х21- 2+ о(х\).')Формулы77) дают пре.t.СТ1tt1fение элс·мс·tftjtрнЫ:< фуtfК "ий при1.ta.fbIf< зuаЧС·UИ1fХПс·рt1ЫС· чс·tырс· из фОр11.tул (/3.77) оцс·uиIxl.вают соотвеТСТВ\1ющие \.шементарные Ф\1нt)цис ТО·ШОСТf1Ю дочшuоt1 1-.\0 nорядк;а Оtноситеъuоюй t1еличины х.
а посшдняя и(8.77) -с точностьюЮfенов 2-го nорядк;аотuоситсльно х.!цеиок(8.77) оказьпается достаточuо ДJI1t ВЫЧИСfе шя простеЙШIГ< прсдслов. Ош\tЮI ДЛ1f t1ЫЧИСfения болс ч • сложны:< пределов, в которых о теделяю frуЮ ротрают члены iiолее высокого ПОр1f {ка относи е.fЫЮ 1.tа.юЙ t1ешчины Х.1) Формулу или оценку характеризующую паве. ,ение--+ О), называют 1\сu.мnmО lli 1"ii1СК;ОU.(з!\есь при х(/3.77)при--+аока;;·rваетсяy>f<eнедостаточно.Танапример,'.,if()M)щи(8.77) нево;" ожно вычи' лить предел; ное ша';ение.];х(878)х'ибс, по ',и.'.у з, 'а:;"ен jтеля \j;;:жз jKЛJ; !чить; что здесь опре ,еroЛ2lЮЩУlZ) роль играют Ч.'Тены J-?O nор.яJ'к;а ОТllOСИТСЛЬНU Х.Таки:;.;юм, ДJЫ ,;ЫЧИGiения то' ,ктг< пределов необходи ,Юполучить бсшее ,очuые ;jсимп,;"ические оценки дл;; <l;УНКЦИЙ,стоящих В левых частях формулТакие оценки,е'мсдле';(8.77).ю выте'Юj;;',из <lЮРМУiЫ;jклореЮj(8.54;.
еGiИ в этоi! фОi)М;iе взять остато',шri! член в форме i [еаю (8.:57). 3;шисш;,; '<lюрмулы ;jклореЮj (8.6:1),72), (/3.66)(8.Ы(8.65)в ;йждоi! из этих формул остаТОЧНЫЙiенв формееано, iЮЛ\ чим Giе.,.УЮ ;;ие аСТiМiiТоти',еские оценки:sinx1 + х)n- 1-1 -;-, _=п!а"a(a-I) 2= 1 + 1:.1,+2:х + ...0<а(а-l)... +lп(1+ u(хП+l),+ х);;3х--+-3еХ1+_...(а-п+!+.х2+ ... +... +1,8.79хnn-+о(х,n... + -1_cosx - 1х П +о(х Пп!n хn"2 -n!хn+ о(х П ),+ о(х П +1•(3де'сьпер,юй изн.е'ЧеmI;ое число.последuе'й из фор'Чеrтmое число.)лы (8.79) оцен шают соответств;'ющие Э.iементарные ф\ ю<цис точносты;,ве.ШЧИUЫ х.Ч.iенов .';1060,;0 nорядк;а пот, юситешьнофОРJ\.ryлы ЯВ.шютс;; эффективuы\j;jЛОЙсре ,ст,юмДJЫ ,;ЫЧИGiения ряда ,о"ктг< пре,ель ,ых ЗЮjчениЙ.Приведем примеры ис ют ювания аСИМiiтотичес <их форм;'л(/3.7'J).окачестве первогоiipимера рассмотримуже;аJJiCaHHOe,;ыше предешьное' ЗЮjчение (8.7/3).
Привш Юj,' пер,;у;;; из(8.79) (вштуюn3), будем иметьlil1lХ-+;;,in Х--.];.];13!'х:З1-l'X~~_т 2 /2е'-(О' .];х; sinx16ыIПРf!"\кларf' [А2ЮИСХОДЯ ивида шаменателя, можно заКfЮ'jИТЬ, что \нтеделяющ\'ю Р\)Лf должны играТf 'jлеШ·j 4-f'0 поряд}й относи} елью(ибо sinО(.Т)) Пользущъ фор ,}ула,ш,}\))ке\!+записать4'OS-Х4•1+О(.Т '),4,1-+ХSillX -(8.80)Х(8.8 )72= 1 + z + -2 +eZСТjjЛО быть. при= -2/2z2 -ев силуПОfУЧИ\!Х12+.х2и(8.81)4+(8.8:n8(8.82)иско ,юс' пре f.ель юе зuачс'-ние'~,--2_+_'X"",8_! (_х_4с-)--c-.,---1_+---,~._)2_--,2=41lil1l _1___-+7"(-)Х-+!',4+ о(х 4 )1--~+1lil1l 8241 + !(Х)Х-+О( 3feCb СИ\jВОЛОJ\1a(:r:)812о(.х 4 )мы оБОЗН;jЧИ ш f\e шчину ~' )шл по-ЩУЮС)f бс,ско fС'ЧUО jj)ЩОЙ при---+ о.)30.1lil1l.
. (cos ХОбозuачи\! через у вс'личиuу 1) У1lil1l:r:(sin·+-Х-+!'=а:)(СО:1 Х + "2)у. ЛогарифМИjj'Я j,ыражеuиеш у, буде\! И\jеj ьХ-+!'ln у = .х(юп.х-х)ln ( 40S Х+ -хВычислимln(о!.х)lil1l ln у - lil1l ---':-,---------,--'---х-+о1)10x'Sin1x)При М,!ЛЫ\ Хх-+о(со 'хВ.А. Ильин, Э.Г. Позняк, часть1+,(sinх22,)).Тогдаосколькуcosn(:r;"),2jf()Л\IЧИМ8111+:r;:r;),lп=lim 1 1 У11Х---+О,ОУчте\!!еперь, ч!!'z) = zln 1z.э!ой ,1юрмулыliКИ!\! образом,1У4( 4)+ ох- li11';;! + о(х Б )Х---+О --1 +а;24- li11'х---+!!_1,44Отсюда1 - lim у -е-4"х---+!!ЮСШЕНИУВЫЧИСЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙВIjJ,[!!I!!ТII',!ще'l' ,]I!IlOлнеНИ/!(!ЗУЧИ'I' в; 11!P(ICпростейших!лементарных функций.Дл',! !1!;1ч(!с!ения зн;; !!'н!!й всг'х У'1аза!!![г;ВК!а алгоритмов, первый из которых основан на ра !Ложении вычисляемойН!ИТей юра, а- н;; !1;;1Юlжени!!!г'пную И!Инепрерывную, !робь 1).
Первый алгоритм позволяет составить е,.!ИНУЮ про-гр;' ;!му вы;;исю'н!!йю!';;рифм(!че1 I'!/Й06ратны(!РЮ'Q!!ilмет!ческих функций. Второй алгоритм ле(;1ИТ в основе универсальной програмвы;;исю'!!(!й !lс!;;лт,;!!;1Х !!Р!lс!еЙ11;!!Х э'!е;llг'нтарны(н,!й,Помимо обоснования указанных алгоритмов, мы провеl!ем о!!,енку числаитера!!яй, обеспечивающих за/!анную точность вычислений.1.Ж1;ЫЧИСЛ/,;ние ЛОГ1(РИфМИЧ/,;СКОЙ И обратных ТрИГОНОМ/,;ТрИЧ/,;с,!:(их функций.
Вычисление этих функций основано на применении форМ(Тей юра. ]\;1!;I !ющю6Ю1paCCMOT!I!!M ВГШР!IСarcctg , arcsinарктангенса. Г1!ычисление значенийСЯВЫ;;ИСЮ !!!!юС!1!;1ч!!с!ени!!и!Ю;II!IЩ!;Ю с!едую !!И(]г;;1'1 !lg Х = - - arctj: .х,.хaIccos Х = aIcctg= 1;1'1 1 9ю! ;;рифм;;легко СВОf\ИТ-arccosИ1!lест !!;1Х)1 _х2'~===)1-12'1) Свеf\ения о непрерывных f\робях читатель может найти в учебникеА.П. Киселева «Алгебра» (Учпеf\ГИЗ,1959,с.188-201).lEНИЕа=2где р1м?1,(8,84)Отметим. что преf\ставлениев форме (8.83) е, шнственно. Используя форму,. (8.83), ;rГ"уче,м ДIn а еле'де ,е.щее выражение:In а =рIn 2 + 1 : М.M=~l+J21-xи нодсе., 'Л'.,'.'дл.' Мэтг.(8.85),"рео6разуе"f\ля ш а к слеf\ующему вд 'у:InРаз южи,функциэто! е.'л.жениеl+хe.l" - 1-хе.с ;.тг.чны;'ш • •Iюрму 'е Макл.рена.[('гко у6едитт,с', чтг.'е "'м в .Iюрме Л ,"ран)ка е'меет гш'д; ';'ще,йвк,:где18.89)а ч 'ею'ю "'но с'р"Г(' мmкд" ну 'е" и единиЦ"Й.()!ля прибли;;;енного вычисления.lna~( р - -1кот н;;.я ПГ.
'vч.,ется И;ln2lnиспользуется слеf\ующая формула:+2 С +(8.87118.90)пут"м замены1" 1 + хч .гтьюК ,г.рена 8.88) д'я этой функци;,г.с ';.Т"ЧЮ'гГ.'е на R 2n 2Замети •."что число х в прибли.;;;енноЙ формуле (8.90) f\ля ln а опре .• еляется из форм;; 'Ыучг'том ограничений (8.84), н.,лг.)кенных на М.П. рейдем к Q!U'НЮ' погрг'шнг.сти'Ы (8.90). Т.,к IйК при(нил,енное значение ln а, вычисляемое по формуле (8.90), отличается от точногозначения, вычисляемого по формуле (8.87) на величину остаточного членаR 2n +2 (x),тг.
дл',' выю ''''''''',' Но"рг""дг.с ;.т •• ч ... ОЦ' ,,,,т!, этг.т о,тато'!-ный член.Во-первых, выясним границы измененияформулы18.86)получаем18.91)10*ИзС" ду"т, что ДЛ'",нач,'ний М, УД"В'i'тв"ряющи<(8.841 абсолютная величинау ювлетворяет условию''''равенствам1)0,172Замети<, Т('"ерт" чтоcTPY"!Yi'" г,с!"тг,чю,гг, ЧШ'Н" R 2n 2(Х) та"о,," чтг,оценка f\ля отрицательных и поло('.(,ительных значений х может быть проВ('дена (Щ'!1 ""((вы'"спос060'"-х н(· изменю т структурыR"n+2(X).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
