В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 56
Текст из файла (страница 56)
обошачая ее теi;\/ЩТ 1 ' ОРД1}через У.Поскольку угловой ко Iффиiil}eHTуказа iiЮЙ iшсатеШ/ноI.jравен f'(c1 ее уравнение I-E1eет В1Щ 1 )У-f(c) = f'(c1-с).РазЛОЖl}I\I фУНКЦИ!/'=.х(9.5f(x) вокрестности ТО'1КИ с по формулеnьР Ic.9.1)еЙлора. беря в :лойОJП/Ч}}I\IУ=f(x) = f(c)+ I'l(!Ci(9.61где остаточный "пен вшт в форме Лагранжа l ~ заКЛЮ'1ено межД\I с их. ПОСО;О-1ЫО;\ по УС101iИ!/'х) l}меет ВТOf)\/Ю lРОИЗВОДН\/Юна интервале (а, Ь ), формулаHTepBa.'la (a,I?) (см. §Л.справедлива для любого х из1) в выпуске 8 наСТ/iЯJнего курса Д/iказаН/i, ЧТ/i уравнение прямо", ПР/iХОТО',К'- lvf(a, Ь)и;.;еющгЙЮВОЙ коэфil !!ЦЮ'Р' k, !!мегт ВИДу - ь = k(.I-ДIIЩГЙ ',ереСоп )ст;шшш(9.6)оН;l а. Ь),ОСКОЛJЖУ [;тор 1~} пр' 'f!:~f;C' Ш;l'·"ДШJ [;С('Х :г И1 а.
Ь)то fравая Ч;lСТЬ (97) неон ПifцаПUliЬ j(l, т.У - У?И.llи У ? У.Последнее неравенство дока:ывает. lTO гра11 ,ик функ JИИ У =хв преде'fах HTepBa'fa (а. ь )'fеж [т неIfaca~тельной.Аналогично доказывается теорема для СЛУ'lая f(2) (х) ~ о.а м е а н и е 2. Если всюду на интервалеЬ f(2)(xо. то.леП"iО i'бедитьс J, у =- Лf!ная ф('li'·т. е. график ее есть ПРЯ11lая .1ШНИЯ. В ··1ТО11) СЛУ'lае направлениеfi ' 1UIOC"Jl'[ыIIIЮf}{НОСЧf!таJЪРОИЗВОЛJ,НЫМ.9.5. Iycmb вторая nроuзводная функ:цшt у = f(x)непрерывнаnОЛО:JIСliтелъна (отрицателъна)точк:е с.
То"Iа существует так:ая ок:рестностъ то'Ч,к:и с, в предела) к:oтo~график: фУН"К:!!Un у =в !l!3 ((1(1ерх).о к a:~ а т ека.1 (хU.Nteem выnук:лость, направленнуюь с т в о. По TeOpe!lle 8.i1 об устой'швости :~HaфУНЮIИИ на11дется такая окрестность точки С, впределах которой вторая производная f(21 (.У ПQ. ' южите.1fЬна (отР:Шlательна). По lредыдущей теоре!1!е график фУНЮIИИ уf(x)И!l!еет в пределах ·.lТОЙ окрестности выпуююсть, направленнуюfШИЗ (юерх).аким ооразом. направление въшук:лости грат! ик:а т/!унк:цииполностью харак: т!ерnзуе т!ся з!шк:омПри м е р.ФУНЮIИИтрива ' fИсследовать направление выпуклости гра1jfИка= х:з -зх 2 Эту функцию, мы уже paCCMa~= f(xlП.и 4реДЫДi'ще1О=f!Ида второйlTOlJ)ff= Хпро !3floaHoIl :ппоulаратрафа (см.9..
ИзBblTelfaeT.lРОИЗВОДНОЙхfjx):~Ta производная отрицательна при х1 и положительнах. Таю!м образом, [ыI li'lfЛОСТf рафffКа функцИf! у- зх 2 направлена вверх на у lacTKe (-х.l) и вниз на('чаС"Jl"ie<, ,Х§ 3.Точки перегиба графика функции1. ОпреЛ,еление ТО'lКИ перегиба. IIеО€')ХО,!l,имое условиеRlереlи€')а. Пусть а, Ь и с - некоторые три числа, свя:~анныенеравенствами асЬ. ПреДllС 1 ЛОЖИМ. lTO ф('НЮIИЯ Уf(x)< <ДИС!Н!fеренцируема на интервале (а, Ь) т. е. существует KacaTe.1fb~ная к графf!этоI,] фУНЮlИИ во [;сех ТОЧlfах, аБСШfССЫ которыхпринаД ' fежат интервалу (а, Ь).
ПреДПОЛОЖИ!l!кроме того, что:3ТО31fИНуJ(:T) ffMfOfOT ОПрi' fСЛСННi)fO ,Ш! 'i·fiШ Нffi' BЫ~H,i кажДt м ff:~ ИН'f fOр i,iЛCiВс)(,)ОnРi"дiIЛil'Н,Ш". ТО'Ч'/);(}, М(с, J(C)) ёРПф'U.'К:{J фУН'К:'Ц'U.'U.то Uе р е ё и б (], ;тОёО ;1 f)(],фи}С()',J(X)н(],зывпетС>fЩiiствует та'К:пя о'К:р('стност;, то'Ч'К:и},m!!ОfЮ'UуОСН абсцисс, вnр; I!ел(]'ху-= j (х) слева и справа от сU.Nteem раз ible наnравле;}i" iibl~МОM~_ _nу'К:лости.На9. О ffзображен г! a~фик фУНЮIИИ, имеll'П'lере-гиб в точке М(с, J(c)).lfОiдаприоопределениихТО'lКИ перегиба графика Функ~Jции У(х ) дополнитель~но требуеТС!f чтобы у'К:азшi.НЫUРис.
9.10?рш/iи'К: BC10ily в nреilелах достато'Чно .чалоU о'К:р('стности. то'Ч~'!Си с ос!! а6С'ЦifСС слева!nраеа оп! с ле· !нал по разные стороны от 'К:асатеЛЪНOIl 'К: эточу графи'К:у в то'Ч'К:е }.;[(с. J(c) . Ilижемы ДOIiаскем, что это Сlю11ство будет liыIекагТ1опреде'lения в предположении,непрерывной вTi,'lKelfЗ данного НЮШflTO прои!водная г(х являетсяс.Докажем слеД\'ющиеЛемма 1.
ПустъуJ(x) U.Nteem nРО113вод !1JЮв 60'К:рестности то'Ч'К:и с, nри'Че.i; эта nро'U.зво,!ная неnрерыенас.огда, если граф!!'!у =хи.чеет на 'U.нт('рвале (с, с6) выnу'К:.!шст;· направленную вн'U.з(ееерх) , п!о ii!юдупредела.! !Ui.п!ереала (с. с';);тOfТ!. ;lрафи'К:ле:JICит не H'U.:JICe (не выше) 'К:асателъноu 'К: граф'U.'К:у. npoBeileHHouв точ'К:е( С.с) ) ..f' (х+11о к а з а т е л ь с т в+ассм т им п седовате ьн сть{х;;} точек интервала (с.
с+6). сходящуюся к TO'lKe с. Чере; каж~Д\'Ю точку Мп(Х п . (Х п )) рафика Ф!'РУ = J(X) lроведемТiасательнт".этом.!рафику.. е. пр [мт, 1 )i-nхп= Jимеет на интер~ВЫПУК'iOсть, ню равле fН!'Ю i!НИЗ (Biiepx) то ДЛ!fТак как по условию граijшк ФУНЮf.ИИiiале (с. с+ б)лю()ого номерантерва. [а (с. сJ(x)nи любой+ б!и к с и р о в а н н о йТО'lКИ ХifMeeMУП =1) I\IbI iiСНО р.з,lеМ·"Рi.ШНГ"ИГ jj ря,.юЙ.
проход iЩГЙ ',ере да"н'"ю тОЧ); '1МNf(x n )) и имеющеii УГЛОВОЙ коэффипиент,ОРДiiнату ЭТОЙ jjрliМОЙ обо шаЧi,.ем ',ере У ...равны"f'(x n ). ТекущуюИ: Н:ЛОВ::HfO::PfOPblBHOCIPHfO::pfOpblBII< ПР:::~I('Л( нияв ТОЧКfO Си:п,!, чт(:!(,СТВУfOТ ПРfOДfOЛ1im и(:г - YJ n-+х1im и(:г) - J(:T n )-n-+хJ'(:Tn)(:I: -:г n }=(:гИз с\:щеС"I :ю:;ани теоремы3.13и:~!)юследне:о предела в силу нераве Iства§1х -г.::.с)3(*ПQ::УЧИМ, ЧТОГ с)(хс)ОО).ЕСJШ обознач::'!!, через У теf,\'ЩУН; орд::f,асю eJIf:HoI,i (9.5),прошдЯ! !,ей lepe: TO'lKY M(c,J(c)), то пос:еднее неравенство,жно переписать в виде:(х) - У ;? ОО).Итак перешдя внеравенстве (* к пределу при n --+ 00 иЮЛЬЗУ~I теорему3. 3из гл.х3,мы получим, что-У;?Одля любой фиксированной точки(:::;;01из интервала (с, счем У обозначает теf,\'ЩУН; ординатуlерезf,aCaTeJIf:HO i,+ дlприпро:;еденноliTO'lKY М(с, J(c)). Ле:l:lа доказана.а м е ч а н и е.
Аналог::чно форму.ш:р\'етсядor,азывается леf:lf:lа 1 и для С:У'lая, когда график функции имеет определенное нас :равление вы : \'кш сти не на интеf ,вале (с, сд), а наинтервале (с - д, с).3+Лемма 2. Пустъу = J(x) !!.Nteen! nроизвод;f1jЮв не'КотороП о'Кр("стности то'чхu, с, nри"ч'ем эта nрои,zводнал неnрерЫ6iШ вс. Тогда, если граф!!! фун'К;!и!! у = J(x)и,чеет nер("гиб в тО"ч''Ке 11:1 (с, (с)), то в nреде./шх достато"ч'НОJ'(x)Jмалоu-о сuестности п!о пси с)топ! граф!!'!: слева и ;nраеа от сле:JICит по разные сторонъ! от 'КасатеЛЪНO'Ll, nрове;!еннои "ч'ерезто"ч''КУ М(с,J(c) .д о к абрать д>а т е л ь с т в аО настолько малым,',:той':еммы с:едует выlтобы на каждом из интервалов(сс) и (с,С+д) граф:уJ(x) ::ме': о::ределенноенаправ':ение выпуклости С'!ТО направление будет раЗ'ШЧНЬЕl наинтервалах с - Ас) и с, с д)).
После этого для доказательствалеf:lf:lЫ 2 остается ПР:VЕlенить1 к функции у = J(x) по+f,aflfJIOM\' из нтервало:; с д, с) и с, с + д).leMMa 2 позволяет нам установить неоБХОД:VЕюег::ба граф"f,а дважды дифференцируемойусловие переданноli ТОЧf,еции.Теорема 9.6 ('Н.еобходzсмое условие nерегzсба графш,,-адва:.нсды диффf'ре'Н.циРУf'j1/!.ОЙ фу'Н.'К'.ции) Если фун'Кцил у =U.Nteem в точ'Ке с вторую nро!!зеодную и графи'К :ППОUфун'Кции им; ("т nере/иб в тО"ч''Ке 1I:1(с, J(c)), то J(2'(c) = О.:3д:~ОРД1!то3131ИНтfOл Ь(\!Щ;l!!!!с!(!аТСЛ1!Нl!!!чсрfO:~lKY графИКl .М(с, f(c))Рассмотрим функцИi!!!) (:гу=!)f(c) + f'(c)(x - с).lfMeeT в ТОЧllе с lГО·ПРОlfЗlЮДНТ!'HellO-равную раности f(x) и линейной функцииЭта ф\ ПЩlf Р(х),функция (х,р\!юlРОИЗВОД 1\!Ю (аютомуlfMeeTпеРВ1!Юторой окрестности с, ПРИ'lе!!! ;!!та первая производная непрерывна в ТОЧllе с).Clf lУ леммы 2малой Oflрестности ТОЧК!f сграфик функции= (х) лежит слева и справа от с по разныестороны от касательной, проходящей через TO'lKl М(с г(с)аClepOBaTe!lbHO; функция Р(х) в !!!алой окрестности то lки с имеfcllpaBaет слеllаот сраз н ы ез н а к и./!1ало БЫТ1!, фун/х;'Цuл Р(х) не мо !нет U.Ntетък;алъ1-tо;;,ос ло·эк:стр! ;чу;ча.ред ЮЛО/КИМ те!что f(2) (с! #Р'(х) =(х)Г с), F1 2 )= f(2) (х),Р'(с) =р(2) (с)о.
Тогда, юскош,куЮЛН!,!i!!ТСЯ УСЛОl!ИЯО И ll,УНКЦИЯ Р(х) в силу теоремыимеетТОЧllе с ЛOflаJьны11 экстремум. ПО!lученное[рml! lюреЧlfе pOflaо является невеРНЬЕ!, т. е.зывает, lTO предположение f(2) (с) #f(2!(c) = о. Теоре!!а доказана.Тот факт; lTO o(ipa! !,ение в нуль второйпрои:~водной яв;!шетсяишь н еб х о д иыусловием lерегиба графикадважды дифференцируемой функции! вытекает! например, израссмотрения граllшка ll,ункции у = x J .рая ПРОlfЗlюдна!1 у(2)=12х 2:пой фУНК!1ИИ вто,обращаеТС!1пш! в точке хTO'lKe AI(O,=О,но ее график не имеет перегиба вВ силу теоремы(f.6для отыскания все; точек перег:vпiа графика дважды дифференцируе!!!t!й фунК!!Ии уf(x)ю!жю! рас·смотреть все корни ураllнеН!!Я f(2) (х) = о.Поскольку равенство нулю второй производной является лишь..неооходимы!!!довагусловиемlЮlllJOС о наШfЧlfперегиоа, то нужно допо'!Ните;'!ЬноlереГlfба виссле·ТОЧllе; д'ш 110ТОРОЙf(2!(x) =проведения такого ИССlедования следует уста·HOBlfTb достаточные \!СЛОВlf переiиба; чем\ мы и переХОДlfМ.Первое достаТО'lное условие перегиба.ТеОРl!ма'''( Пустъ фу1-tк:цuл = f(x) и;\ !!т вторую про·uзвод1-tую в1-tenomopm'lгда, есл!!пределах у'каза1-tIIОU оnреСПi1-tОСf!!!! f!f!;орал1-tалu;чеет раз1-tые з1-tак:u слева u справа от с.
то графuк:f ('2! (х)ок:рестности то'Ч,к:u сэтоu ;/iу1-tк:цuu u;чеет nер(гuб в то'Ч,к:е д'1(с.uf(c) .(с) = о. То·ф\1<а1 ;lтеЛЬНУfi'условий теоремы вытекаетнеНДалее, из т(;:)разны:'знаки,ВЫПУКЛО 1 тииизслеВ;1)10.точкесу веСТВ1 Ш;IНИ1' Ю)Н!что(х) слеЕа ите )ремыи;;Ш;1м,от;1ется:fTчтоС им:':'тн шравл:'ни:'1;'0];;IЗЛИ'1Н1;:ДOf<а:ана.При м е р. Найти точки перегиба графика функт~ии у = х 3 -- 4.
Эту функт~ию мы неоднократно рассматривали выше;афик ее и ю(:ражен {а шс. 9.1). ll:fСЮШЬКУ l' (2) СТ) = 6;; - 6 =ш которого= 6(х - 1 , то е,шнственное значени;' аргумента,-3х:f'ОЗ\1Ожен 11ереГ1{б, есть х =зна'{еНИfi' арг\1.;jeHTaCOOT~ветствует точка графика М(l, -6). Так как 1'(2)(х) имеет разныезнаки при х> 1 и при х < 1переги(:а графика3.является точкойВторое достаточное условие перегиба. На сл\ '{ай,когдаВто точка А1(1,;ассматриваемой ф\ {кции.нежелательно:fКреСТЖfСТИТОЧ1<ИИСGтrедованиезнака второйс,шруе;:вто] юепроизво, нойд(tстато{H(teус{овие перегиба, предполагающее существование у функт~иив Т(tчкеконечно!! третьей прои:водно!!.Теорема 9.8. Если фун.'КцияHe'i u;'Ю трет'ь'Ю nроиз :nд u;'Ю=1'( х)и.м.еет в rnO'ine с 'КO~в эти! mд'"условия.м. 1'(/: с) = О, 1'(3; (с) =/:: О, то графи'К эmИl фун.'Кu,ШL и.мe~перегиб в mд'"октеореМ;1аз8.91атМ(с.1'(;)).ельство.1;пекает.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
