В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 58
Текст из файла (страница 58)
В качестве примера построим график Фуню шиу14х - 6= ----,----;:----(9. 5)Будем следовать изложенной выше схеме.111. Поскольку функция15) пре.!ставляет собой рациональну;;) д]те) »на ешреде.;ена и непрерывна всюду на бесю)нечной прямой, кроме точки х = О" в которой обращается в ну 1ь.. ПЫ!fСНИ ,;зна ,;е;;атеЛl>в' шрос о с; шеСТЕОЕаюш аси\шт, )т.liшх--+о±о-------,-___- - - - = -ос,по:-пому график функт~ии имеет верrnШШЛЫ-lУjП асu.м.nrnоrnу х =321fИН= О, Да, [ее., из суще i ТB'fВ lНИ~ff(x)х='еде,! fВliшх-+±оо2'[Гliш"Х-+±ОО1454BbITef<aer, 'fTO---+ +00.,и П] 'и30.ДФ\Ю<ЦffИиимеет 1-tu-Х;Л i1-t u;'Ю 'iCU нnmоm,у У =54Хнах'):+;деНИ~f i)бласте(t вобываttИя;аста! tИЯчис.лим первую произво,шую функ tии15)3)у' = ------:--1'!Имея в виду, кроме того, что сама функт~ия и первая производ-teнаясушеств\ют ПРИ х=мы ПО [учимс.лед\ющие01,[астисохранения знака у':Областьшачений)-00Знак у'Повефу"iение<х< -3 -3 <+-х< ()убываетвозрастает'ЦЮi<х<l+возрастает1<х<22<х<0о-+убываетвозрастаетИз приве,l1 нной таб[IЩЫ очевидно, что функт~ия имеет с,lУЮ llие точки1)2)3)о"iKcTpeMYMa:максимум ПРИ ;Т =-3, причеJ\I 1'( -3) = -49/12максимум при х = 1 причем 1'(1 = 5/4,минимум при х = 2, причем f(2) =Д,ш нахож, ения областей сохранения направ, [ения ВЫ-пукюстиtИ"вто]'•1/( 2)Ю П]Юf[;ВОДНУfi'7)9= -х =4Име~f в виду, 'fTO Ca\fa ф; f<цияее ПРОИ;f'одные не сушеств;ют в точке х = О, мы получим с.ледующие области сохранениязнака у(2):11В.А.
Ильин, Э.Г. Позняк, частьIосОбласть ЗН;lче шй ххОSюк 7/(2)ос+Напр шление выпукЮi ти г]х9/7 9/7BНf![<аИз приведенной таблит~ы очевидно, что график Функт~ии име-ет переfиб вT()'fKe (9/7, (9/7). ЛеГf;Q fiiIДСЧ {тать,1(9/7)=Ч3j7Ыi.5' (Jcтается найти точки пересечения графика с осьюЭ fИ ТОЧf<И со )тветств\ют вещественНf,'[<О] iням У] )аЕнеНИ~f2х 35х 2-Леfю)видеff,.'fто2у 3++ НУ -4т 6=2(Y-~)скольку ква.
ратный трехчлен (х 2Ю)]iНи,т()iассматриваемоественный корень х =6 = О.-2хiавнеffие2у+6).Поимеет КОJ\шлексныеИlfеет т(шью)i)ДffН веще-так что график Функт~ии пересекает1ос, О:ТT()'fKe (1/2,ченным данным СТРШfграфика рассматриваемой ФУНЮfИИ (рис.16).//-з1Ох//////-r1Рис.52 4Ху=---9.16ЭСf<\ЧiНiiЙ323Отыскание максимаЛiFНОГО и минимаЛiFНОГОс\начении функции.раевои экстремум§Отыскание максимаЛЬНОiи минимаJiЬНОГО зна'ний функции, Рах' 'ЮТРiiфунюtИЮ У =х , опрх' 'х'леннуюИ непрер ,,,'ну!' на xeГ\H~Hтe [а, Ь] ДО CiiX по]ин ,x'peCOEa~ftИСi,ли!ОТЫСiiание,'л(!КасiЬНЫХ,iакси,"и'iИНИМУМОВсс,той функции с а теперь поставим задачу об оrnЫС1Ш'Н,Шl .м.а1{;-СU,Х,ЩJХ'Ь'Н,U,'О,х,!u'Н,u,х,!uлыхогu,начеiiИi:i I\на сеП:iенте [а,ПОiчеркнем, что в силу теоремы Вейерштрасса (см.
§ 6 Г,ф\НiiЦiiЯобii,атеЛi,НО д()стигает1еfiОТО]i()Й Т()'1ке сеП:iента [а, Ь] своего максимального (минима,1ЬНОГО) значения.РасlИОЩiеделеi1Н()СТИченияf (х):)стаНiШИМСЯна сегментена:)тысканиимаКСИJ\;fа,·1ЬН()ГОзна~Ь ].l\lаксима.1Ызначение ф; 1КЦИИ СТ) может д()стигатъся ли~бо во внутренней точке Ха сегментаЬ] (тогда оно совпадает содни,' иЮfiаЛf,НЫмаfiСИ\iУ\Ю!' ф; fЩИi1хис. 9.17). Отсюс ,а ясно,либо на Ос1.НОМ из KOНТ~OB сегментаЬ (рис.чт() для на;;ождеНiiЯ 'iaKCf·1'ia [,Н')10 значеНИif ф; fiЦИi1наI'сегменте [а, Ь] нужно сравнить между собой значениявсе:;то,ieHTaа1fia:;':!Ка[,Н')10маfiСИ\iУ\iаашСншы ,ее из этихграНИ'1Нf,Х1а'1еНi.1Йхт() 1кахвоceг~дет 'iаКСИ\Ia.fным значениемх на сегменте [а, Ь].
Ана. югично нахос,ится и'lИнима.iЬное1a'1eНi·1eна се1 ,ieHTe [а, ].уох'Ю.9.1РЮ.с9.18ЕС1И желательно избежать ИСС1есювания точек возможногоэкстремумас то МОЖН()ii)СТ() С]iаЕНИТЬ 'iе:+;ду с()iн)й значеНИiff(х) во всех точках возможного сс)кстремума И В граничных точ~ках аHaf1('o f,шее (наf1'iены ,ее) из эти:; зна'1ений имаксимальным (минимальным) значением фуню)ии f(x) на ceг~менте [а, Ь].()тметим да1ее.
что если ЛХ) имеет на сегменте [а, Ь] ЛUШi:Ос/'Н,У точку локального :~KCTpeMYMa 1) являющуюся точкой Ю~Kac1bi1,)rO максим"ма (минимума), тоС]iавнеi:ИЯ значения) Именно TaKoii случаii часто встречается на практикес11*I(i!)'ffOf fИfO>ffOТСЯн;! 'fOl'MfOHT('a~afC;C!·lал ,н(рис19)I (:г)на.'Юf'ИЧ;ся\;осfЫМИоТ,'РfOд'п,а:'ОТЫСКЯf·fИр( тттa~м;!к;.,M;-LnЬНОН) '( и ЫИНШ\Iальн<)Го) :~нач( 'нияфункции У = I(x) на интервале, по~л\ ">tмой И (,eciC;Otte'f юй пря\юй (ПРftусловии.чтоэтозначениесушеству~етJ\10жетРис.Вте'fTO<9.19ВОЗМОЖНОГО ЭiС;СТj)ем\'ма.{'ако' с.!учаеполупрямойСЛ\'fИтьс>tлх) вовсе не иыеет на сегменте [а, Ь](или полупряыой а :( :г00 точекIх>tется·оtютоtяоЙ[а этом сеге!и ее максимальное и ыиниыальное :~начения;t.остигаются на конца.х этого сегыента (на конце этой пол\'пр,-мой .
Этот ПОG;lедний случай ыы проиллпстрируем фи:~ическиыримеРО\t. Пусг. требуется о"ределить, какое сопротивлеtfИе хнужно включить в цепь последовательно с данныы сопротивле~fИем 1', 'fтобы на l' вы;t.елилась наиболыпая мошtЮСТf, (ПРft это:'напряжение Vo батареи считается постоянным сы. рис. 9.20). Позакону Оыа ток 1 в цепи равен 1 =1'+х).
Стало быть, по TO~VO/М\' же закону,адешtеtапря)+с;енияVT[а со'ротивлеНИft+ х).l'равtюТакимо"разом. мощtЮСТf, ш(х) ,V1= 11' =vo1'/(1'деляеыая на сопротивлении1',j)aBHaРис. 9.20Посколькусмысл\ сопротив.tениепофи:шческоыуне ыожет быть отрицательно, то задачасводится к отыскаНИfl' наибольшего :~начения функт~ии '1'( х) наюл\">tмой х?в ,IЧИСЛИВ711'(1)убедиыся в тоы, что(х)<О'IЮИЗВОДНУЮ этой \liУНКЦffИ\с'6 1'(Т+ х)3вспду на полупрямой х?О и TO~ВОЗМОЖНОГО Эi;стреМ\lма [ет. Таюtо' 'разом.хубывает вспду на полупрямойО и ее ыаксиыальное значение?V6 / r (рис.9.21). Это совершенно ясно и из физических соображений.\ качестве второго примера рассмотрим задачу об отысканиимаксимального и минимального значений фуню fИи У = sin х 2 насегменте -.j1ГV"51Т /2.на этой полупряыой достигается при х = О и равно\ЧiНllИоРис.Рис.9.219.22Поскольку у' = 2 COS х 2 , указанная функт~ия имеет на рассыаiривае:.ЮМ сегенте три ТО'fjО;И НОЗ:·ЮjfЛ Юf'О Эjо;стремо:'ма х=О и±Vп/2.
Сравнивая значения функ fИИ в указанных точкахи на Koнт~ax сегмента(уу7Г).f ( ±V/i/2) = 1.f(vg;)о:'беДИ\fСЯ в TO':f,фуню fИИ равно.SШ5л4максималыюе значение раСС\fатривае\юйи достигается в двух внутренних точках сег-'fTO+ме па хl = -VП /2 и Х2 = +vп /2 а 'ИНИ\fаJьное значен {ераСС\fатривае\юй фо: jщии раВfЮ -V2/2 и . fостигается {аном jО;Оfще сегмеfпа ~/2.График рассматриваемой функции и:~ображен на рис. 9.22.2. Краевой экстремум. По:'СТf, фо:' fЩИЯ = лх) о' релелена на некотороы сегыенте [а. Ь]. Будем говорить, что эта функграНИЧfМ1l1-ШМУМ;f'o'fj;eЬ ЭТQf'О сегмеfпа nраево'Й, .маnС"н.му.месли найдется левая полуокрестность точки Ь В пределах которой значение .f(b) является наибольшиы( fаимеf f,ШИМ) срели нсех лро:тих Зffа'fеfШЙ этой фо: j;ции. Affaлогично определяптся краевой максимум и краевой минимум вграничной точке а сегыен:,а [а, Ь].
Краевой максим~о:,м и краевойминимум объединяются оощиы названием nраевои Эn\'1nl'еМУjА.Имеет место С.tеД\'ющее достаточное условие к;раевого эк;сдл,я тог" 'Чтобы фУ'J-ln'Цu,я у = .f (х) U.лиЛи в то'ЧceZ.Meff.ma [а. Ь] nраево'Й, маnС"нмум (nраево'Й, мшt'Llмум) достито'Ч'J-lО, 'Чтобы эти. фУ'J-ln'Цu.,я uмеЛи. в то'Чnе Ь nОЛОJICuтелъ'J-lую (отрu'Цит'Л'/J'J-lУЮ) левую nроuзвод'J-lУЮ 1 . (ДоказательствоанаЛQf'ИЧНО локазательство:{'еоремы8.9.)Из о: j;азанного лостаточного ус.;ЮВИЯ краевого экстремума непосредственно вытекает1) Для граничной точки а достаточным условием краевого максимума.рае,ю,о\",ляст,\, ·'ТРИЦ\'.тел ,.,ю'произ,\\.щшлй в точке а.(ПОЛ1лжител ,.,ю'пра,юйоб:[;, '!!!{,мое услm, !{,е 'К:рп' !;о?о Э'К:С/ТiремумаЬ {е6УН, nроtii60U1tУЮ: дл;'!ющаяmо''l'К:{, Ьмп',' , !{,мум ('К:рп,!'J-l'J-l!!ябыл!! 'Неоm', '!{,ирm, Л'IJ'J-lОЙв ',аключение ,,,окажем следующее :замечательное утверждение.Теорема 9.11 (теорема Дарбу 1)).
Пустъ функ;'Цияи,меет к;онечную nроиЗ60дную 6сюду на сег,менте [u,Ь] 2), и nустъ .f'(a + 01 = .4,(Ь= В. Тогда, к;а];;060 бы ни было число С. зак;люченное ,ме:жду .4и В, на это,м сег,менте найдется точк;а ~ так;ая что Г (~) = о з .о к аа т е л ь с т в о.Сначала дока;;;ем сле,;,ующее утвер;;;дение:е,ли F(:r) и;,;!'!'тПР!JИз;юдс:,н;,,Ь- О) - числа ра:зных :знаков, то на сегменте [о,что Р'(ОО.+Пу'пи;;; х)озн;,чае+и !'С,Ш р ' (а01 и р ' (Ьнайдется точка ~ такая,]<>для опред! ,енно' си Fi(a0\О, Fi(b О.
TJГдa ф;ш,,имее KpaeBoii ",аксимум на обои;" ",о,щах сегмента [а, ]. Но э о,,то ;,,;ини;,;;; ,ЬШiе зс:ачес:ие р(!н;!, се! ;,,;е,! еи, Ь] дОС ,и!ае сянекоторой внутренней точке ~ этого сегмента (функпия Р(х) дифференцируе;,;а, а стал!) быть, и ,!епреР!i']!'Н;!, на[а, Ь] и П'iJТО;,;; до' ,и!ае ,!аэтом сегменте своего минимального :значения). В ука:занной точкефункция Р(х) имеет локальный минимум, и поэтому Р'(ОО.;',казаИ примени",ь' ,в;;к Р(::);"'ре;,;ы(i.11',стае ся ПОЛiiЖИТЬ р(!- Охолы"о ч о до",а;а,шое у , веРЖ1\ение.3 а е ч а н и е. Из теоремы (i.11 мы еще р;;.3 З;;КШii',ае;,;, что произво,;ная не мо;;;ет иметь точек ра;рыва ;;ервого рода (скачков).Дарб;-фраНЦ;ЗСКИii;ате::;тик (1842-1ЮТi.Под э ,и;,; Шiнимае ся.о ""е се; ;,,;ен,а [о, Ь] и, кромеимее произв;!Дну,i'ого, и;,;еет ле;,ую ПРОИ:3; од ;уютр,с:ш,;iО ""еиправую прои !Водную в точке о.;, Под',ет кн!'м,ш' ,а,аеся.н!'пр, рывно'произв,!Дн iii ГприJТО;"Ш' пред-Г л А В А10ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛв гл.с i"И,1ыы рассмотрели физическую задачу о вычислении,роилеi1ОiСОматериас1Ойточкой,двигающейсяЕДОсоси Оу с по и:~вестной скорости этой точки и геометрическую залдчi! о ВЫЧИСiении плошади nриволи1tешюи n!pane?!cILU т.
е. фигуры, лежашей между графикоы фУНЮiИи у = f(x) и сегментом[а, Ь] оси Ох). РаСС;1Отрение указаiдв;!х зада'i естестве! 10привело нас в гл.ПiчеСКQfСО1Онятияк необходиыости введения нового ыатеыа-ПОiiЯТИЯ оnре{)еле!!1юго шmiеграла. iчюмерассыотренных двух задач к понятю;; определенного интеграJIaприводит и ряд других важных физических и геометрическихзадач. Настояша\i глаЕа 1Освяшеiiа изложеiiИЮ теОРiiИ Оiiрелеленного интеграла, а в следупщей главе дается приыенение этойiCeO! сииК§ 1.[екоторым JсеомеiричеСЮiИ (liИЗiiчески: с заЛД'Jа:сi.Ин (сегральньн> СУМI;!Ы.Пi CTi, (I,ункция.f(х залдна на сегенте [ас Ь], аЬ.чим символом Т разбиение сегыента [а.
Ь] при поыощи некото[еСОЕпалающихсДРУJСОМico'ieJ,аХ1... <х n = Ь на n частичных сегыентов [rг:o.[Х1, Х2]... , [Х n -1,'!:n], Точки ;То,, ... ;Т n булем называть точками !саз~бiiеi[х )бу. Пусг с ~i - ,РОИЗiЮ [а,! iCO iJ,a чаСi iсiЧНОГО сегента1, x а D.rг:i - разность- Х с 1, которую мы В дальнейшемieM называть ДiИНОЙ частичного сегыента [j!:i-1,Оnрсдс/геН\ЕЕсе 1.
Чис!!!) 1 {X ~i}, гдеj ],j •nL f(~i)6.xi.с=l1tаiыlаеmсллие г р а л ъ 1t О ис у м м о 'иЛХ), сооmвеmсmвующеIl да'Н'Ному разбие'Нию Т {'егме'Нта [а, Ьи ailcHHOj!4Y i!ыlоруy nlюjr4iJIcуmо''l'ныlx mО''lеn ~i 'На ''lilсmи''l'ныlx {'eг~1KlН; ,1И 1lНT101мепmа:гину'Ымакр;;:~биfOНИЯ Т, тВыясни:')Того10ГльногастгfOнта,6,:Гi,6, -i"i'i,МfO;РИЧ("СЮiЙ С:Ъ;iЛ ИНТfOгр;;лыюй су:'Р;;ССЫiJТРИЫпр i,вОЛ!ii!-tеil'l-tуюOf'pa iИ'ifOi i\'ЮтjJu.nе'Ц!!'ю,ФУНКЦiiИ I(:г);ят,Д,;яфигуру,ростотысч.итать эту zj",ункцию IlO~Уy=f(x)ложитеiiЬНОЙры :iЮЙ)таыи,идвупроведеннымиi'О'iiШХ а и Ьст~исси осыр(рис.о~nРис,Оnрс;)слс'Н,uсхn2.ЧислоnОЛОJIC'UтiЛ'IJ'I-tого 'ЧIli'ла сХа,;сума'} представляет co~юща,:i'ст\ ;е; 'ia~фигуры, заштрихобойтойванной на рис. Ш ..'нлзыiетсяя nе д е л о'U 'I-t0.1т е г р а л ъ н Ъ! Х С У м м1 { Xi,воси аб~абст~иссОчевидно,0.1).интеi раЛi,анепре~ордина-11 {Xi, ~i} nри ,6,есл'U для любого--7j;40JIC'I-tО уnазuтътаnоеnОЛОJIC'UтеЛ'IJ~'l-tое 'ЧIli'ЛО 61), 'Что для любого разб'Uе'l-t'Uя Т сегме'l-tти,la, Ь , "";!a',~с'Uмалъна,i {)лшta ,6, 'Част'U' uыlx сег.ме"тов nопюрогоменъше'l-tеЗui,'U! имо отmO''lin ~i 'l-tа Сiгме'l-tт,х, Х,] выlол~~1t.,Ien;c.,;uepaBencmBo11{Xi, } - 11 <с.Для обозначения предела интегральных сумм употребляетсяСИМiЮЛiiка1=Оnределе'Н,uе3.I СТФУНn',,'U,,;р У е м о 'и (по Р'U.мш;;.у2)называется'Uн т е г р ина сег.ме,;.те [а, Ь], есл'U сушесп;ву~ет no'l-tе'Ч'l-tыii предел 1 'u'l-tтеграл'IJ'I-tыlx {'умм этоii фу'l-tn'Ц'U'U nри,6, --7J/nа,щ,щъ,;u nре,iел 1 называется оnре{)еле,щыM шm;е~гралом от фу'l-tn'Ц'U'UIiXпо i'ег,Л!i'l-tту [а,Ь]{)ун;щ'Uм обра,юм:'Uобоз'l-tШ'lаетi'Я i'ле~ь1=НЮЛЯДiiые геО:,iеТjiИ'iеСiiие/лхclx.,редстаi:лени";,юказывают 3чтоопределенный интеграл численно равен плошади криволиней1 Та", ,'",К '!Не ю 5 З,НiИПIТ '.iT Е,ИШiГда пиш, т 5 = 5(СI.2 Бершард- "е",; Ц,',ИЙ ма i'маiИ,', (18Й6-1866).3 См.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
