В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Имеем2:=i=lnS- snL ШiL:::.Хi < f(b) ~ f(a) L Шi·=,=11=1nфvнкцииНо для2:= Ш,) - f( а)иоэтому,=1S-[.§ 5.Теорема доказана.Основные свойства определек'авеДЛl,lЮСТIHOI'OинтеграласлеДУЮЩl,Х с юйств ОИ]fеделеююгоинтеграла:1О.ГоЛы будем счи [ать. ч [оа/1d;r =(10.6)должнаО.10.6]ьОтметим, что форму;а'ассматриваТЬС1 как соглашение. Ее Н'VЖНО рассматривать как естественное расироCI' 'анениеИОI IЯтня'еделеI ;ного интег] ,ала наcerMeI;T;улевойдлины.20.ГоЛы будем счи [ать. что и]аа/<ЬЬЛх) dx =ь- /ЛХ) dx.0.7]аЭта фОР>.Iу';а Iакже до';жна 'accMaТi ;:аться как соглаI ;ение.
Она иредставляет собо!! естественное обобiiiение ионятияинтеграла на С;Уlай, когда сеП.Iент [а. Ь]аЬ иробегается<1) Отметим, что если функция монотонна на cel'MeHTe [а, Ь], то ее значеf( иПОЭТf)""" оцреД1ше 1на"1ег".,,'нт(·]НиЯv,к,ю',ены междуМОн"онна" функция f)граНИЧ1'наЭТf)М ,ег,·,,'НТ1'.iiTв нап] ,ав. [еннЬ К(J,{в ЭТО\i случаеpa:~[ ЮС[ н ~x;нме·юти[кцнвсеинтегрир ;емысег ·с[ен['!![ЛХ) ± (х)] dx =,формулысе[ менте[С1;;приче\i! ЛХ) !dx±dx.gдокажем с[[а';ала интег] ,нруеЮСТli ФУl[Юведливостьн;;ЛХ)!!,g(;E)g[а этом.Шi[lцаельныйЛХ(10.8)± (X)ia-(10.8).i[юбом разбиениисе[ ментаи любом выборе точек ~; для интегральных ссмм справедл l[Ю соотношеннеn1=а поiTOM.'vnn1=1=из существоваНИi[ предела правой части слеДi ет с'vще±Сl [ю[,ar не пределаi[е[юй части.
Сi[едоватеifЬНО, функц ш f(x)g(x) инте[рируема и имеет место формула (10.8).Iокажем теперь, что произведение инте[рируемых функциii являеТСi[ инте[рируемой фvнкциеii. Так как фvнкции л;г)иg(x)интегрируемы на сегменте [а, Ь] то они и ограничены наiTOM се[менте (см.vтверждение п. 1 § 1 так что lf(x)1 ::;; А иIg(x)1 ::;; В.i[юбое задarшое iазбненне Т сегмеl[та[а- прои:~вольные точки частичного се[ мента.
Иilее\i l'ождесп;о[Xi-l,f(;E")g (J") -Л;;')g (;г') == [f(.r") -(x')]g(x")- f(x')gШi,+ [g(x")-g(х').Та;; какIf(x")gIf(x") - f(x')1Wi,Ig(;i") - g(x')1 ::;;где ШiШi·f(;r) g'(X)ств! 1)соответственно колебанияна сегменте[xi- ,;ri],сункцийg,то, согласно указанному тождеПоэтомуnШi~Хi ::;; В1=L Wi~Xi +i=li=l1) в ,том тождестве точки ;0' и х" мо;с;но выб; ап, так. что левая частьбудет как ус'одно мало отличап,ся от ш,.П"сю ,лькуб, 'гоf(:1:)и. ,аданн< >г',Е;т( грируемыnС( Г.ННчтоi(],.;а сегмент( [а.
Ь] дЛЯ лю-ю ую]зать таiшеL<Е'а,бнеi неэто;nИLW,'=11=для Эi "го ра:~биенияns--+A~ =Е.2П21=110ЭТОМУ произведение интегрируемыхгрируемой функцнеЙ.'Ункций являеТС;i инте4°. Есш Ф iНIЩИЯ (:г) интегрируема на сегменте [а, Ь] тофунк ш;i сЛх) с = const) интеiрируема на этом сегмент! . п)'и~чемььJ=еаJ(10.9)f(:E) d:E.аДеiiствительно интеi ральные суммы фvнкцин f(x) И ef(.!) OT~личаются iЮСТОЯННЫМ >.ШО кнтеле>.; с. Поэтому фую,ция с!интегрируема и справедлива5°.11YCTbфункцияf(;r),орм ,ла10.9).интеiрируема на сеПvlенте [а,Ь]. To~гдала 1,УНКЦИ;i интеiрируема на л {{,юм сегменте[;. (J]coдep~iКЮiiе>.iСЯ в сегменте [а, Ь].Так как 1,УНЮiП;i (:г) интеiрируема на ceiMeHTeто длялюбого Е > О CYiiieCi ;;ует тат,ое разбиение Т сегмента [а, Ь], ';тоS - sЕ {см.
теоремс 10.1). ДоС,авим к точкам разбиеНИ;i Тi'ОЧi,И с Ип. 2§ 2)d.В силу свойсп;адля полученногонеравенство S -s2°;;ерх! нхннжни;: суммC>'i.'азб;iеi;Ш т* те>.; бо;;ее спра;;едливоЕ. Разбиение т* сегмента [а. Ь] порожда~ет разбиение Т сеГ>.iента [с, d]. ~:слн8 - ;;ерхняяНИiКНЯЯссммы разбиеНИ;i т, то В - s ;( S поскольку каждое неотри~цательное слага;'мое Wit::.Xi в выраж! нии S - 8 =Wit::.Xi будеттакже слаiаемым в выражении ДЛ;i< Е,. и ПОЭТО>'iУ фующия f(x)S - s.('ледовательно.S -интег],ye>.ia на сегмеi;те [с, d].6°.
Пусть 'УНКЦИ;i (:г) интегрируема на сегментах [а, ] и[с, Ь]. Тогда эта функ iП i интеiрируема на се! менте [а. Ь], ПрIП! М-8Сdx =аЬfаРассмотрим снача;а СЛУ'iаii, КОiда аf10.10)с< с < Ь.Так как функ ш;iинтегрир'vема на ceiMeHTax [а, е и [;'то с'vщеСТВУi{{Т Ta~i,ие 'азб;iеi;Ш эти;: cer>.ieHToB. что раЗiЮСТi S - s для каждогоиз них меньше Е/2. )бъеДИНЯ;i ;ти ра:~,;;иения. мы ПOJгvчим pa:~~f(:E)347бненне <егмента [а, Ь];Н, ,<ть S будz' меш,шеСлс'довательно,fт(;грирус'ма Н;1 [а, Ь]д( м включать точку в ЧИС.!lО дел щпх т чек сегмента [а Ь] прпра:~би(;никннт(;гр;] fЬная <умма для[и,<умм(; инт(;гр;шьных с'гмм для этой ф'vнкции наи [с,В пр(;д(;ш мы ;юлучнм формулу (1010)Ьсли ТО'ТЮl с лежит вне сегмента [а, Ь] то сегмент [а, Ь] естьчасть сегмента [а, ] (rпиЬ]) и ПОчТОМ'v, В СИJГv свойстваФункшш f(x) ннтегрируема [а [а, Ь]. Рассютрк) случай аЬТогда<ьJЛ;;) JЛ;;)сd;;сd;;ааИСПОЛЬЗ'vV свонствою чим соотношениеэ; ого соо;; юше; ня(10.10).при сИ'ОРМ'vЛУ10.
Тмы опять по-ЛеfКО уС;еДИТЬС'f В справедливости< а < Ь.Оценки интегрнлон. Формулы среднего значения§ 6.Оценки интегралов. В это); ПУ;fкте мы получи); неI;О1.торые оценки для определенных интеграловподынтеfральныеФуню fИИ которых подчинены тем rпи иным условиям.1о. Пу;инmегриру;"сегм,;'шnе [а, Ь]'НеотР1l'll;ател ','На 'На этом сег.ме'Нте. Тогдаt,цияf(;E)ьJлх)d;;?:а. Iейс;fште'fЬНО.каждаяннтегра'fЬнаянеотрицатешша, и поэтому предел1 =сул,;а;акойJ f (х) dxфункцнннтегральныхс! мм также неотрицате [ен3аие ч а?:и е1.Еслttfи'Нтегрируема 'Насегме'Нтетn, тоьJ?:т(Ь-а).а1) Донустим.
что пре. (ел 1 интеграл'.ных сумм отрицателен. То; ;д согласно опредvоле;;ию прv·де .. '" 1, Д .• СЯ ·ШСЛ;'. Е = 111 ;;;'йд"интvтр" ,ьна" С'n1)-1а1{Xi,~)}, для которо;', 11{x).~i} - 11 < 111. Из это; О неравенства вытекает. vтi' 11:1:С'n1ма<риц;'О. а..;'1 Ые ,ьна..
;т"кажда,; интvтра ,ьна,;РИll1'е.. "н.в (а\" 'м де',е, функ, няСТ)-о и,тсгрируема ,а (егмент(ЬTnl iJX ~ О,JTj(i) аььfjd:J:ьjTnd:!а(см. С!юйствоп]30-(J,)d:!анз§ ).{','сли,: циярав'На тождест ,е'Н'Но 'НУЛЮ 'На сег.ме'Нте [а. Ь ],тоьj f(x) dxс О.так как фующия f(x) неотрицателы:а и не ,aB~на тождеств;нно ну':ю, то на сстмс'нте [а, Ь] наiiдется такая точ~ка ~ что f(~) = Jk > О. Тогда по теореме оС)vстойчивости знаканепреры:шой фующиию :ай!н та(;ой сегме,:т [р.
q] содерточк'v ~ в пределах которого значения'Унк (ЛИ(х)>будут не мею,ше чиС!(аО. Поэтому, в силу ,'0'(')то cдe~"ланно(о замечани~k(q -р)>рС'огласно свойствуопределенных интегралов6'qрjа=!Поэтому, посколькуь+!а+!qрО и.гf(x)сf(x) dxО, где с= k(p-q],рьj f(J)d;v~ > О.а30. {','сли Функци!) f (;Е)g (х) ш щи' 'уmруемы 'На сегм, нrnе[а, Ь] и fg(x) iiсюду 'На этом сег.ме'Нте, тоьj f(x) dx ~ jааgiJX.34')llНTEl Т.\Л()l;ФУ11КЦНЯ;тглнт' [а, Ь]Отсюда,СТ)СТ)лив'iсть ук l:~анн()й 'iценки3аа н и еменп n 'сегменте,1Е,и.t фун i'Ц!!,я2.11(х)п,оо и1Т( грируеман;!с lЛУ ;·вой;· па'ег-инт, грируемаПi·а[,;.'JIC" llНn "'Р1lрuец.аnptt'teMь.11di.а.
I.окажем сначала IIНтегрирус'МОСТЬ МОДУЛil 11 СТ) 1 интегрируемой'УНКllПИ(:г). ОСю:~начим через М, и mi точные lрани1Ст) на ССТМС'нте [xi- ,;ri], аiезNI! и т~ TO'lНыe грани 11-1на том же сегменте. ЛеlКОvбедиться в том. что М!т~ ~ M i -mi (достаточно рассмотреть трпвозможных СЛ'vчаil: 1 СJгvчаЙ.когдаNli и mi Ш'ОТ]Шllдте'lЬНЫ: 2) СЛУ'lаii, когда Nli и mi ш·иоложительны; 3) слvчаЙ. когда М( > О, mi ~ О).ИО'lученногонеравенства ВЫТС'кает, (то В' - з' ~ S - 3. Таким образом. "слидляHeKOTopOlOВ'з'-< Е.раз,V,иенияS -Е, ТО ДЛil3'того разбиеНИilт. е. для 11(х)ll:ЫИOJшено достаточ юе YC.'IOBHe ннтегрируемостн 1).Iокажем тсш])ь интересующую нас ощ·нку.
Тю{ какь~ 1~ 11ь1,10 - JIf(x)ldxаdx ~ JIf(x)ldx, а этоJ1аи озна (ает. что IJ 1Ст) dxl ~ J11-11ьаdx.14 о. Пуст'ь фую;;'ЦttU 1 СТ) tt ." СТ) tmтегрttруе.МЫ на сегменте1l g(:E) ~ О. Тог,)а, если М 1l m - mU'ЧJ{ъtесегменте [а, Ь ], тоь~.1 f(:E)g (:г) d:; ~ М .1ааg(J ) d:E.(10.11)аiаведл llЮСТ1 (10.1 ) l:ытеlшет нз того, ·;ТО дЛЯ (:се: х нзсегмента [а,сиравед'Швы неравенства mg(x) ~ f(x)g(:E) ~I "е ;ш'дуеруемость, гообщ,' го;юря. и" егри-рацио,(алы(ых :с1(:1:) = { _11Например,Д,iЯ ИРР;ЩИi'на.,;ьны,;неинт,тр ;р' (·,·.(а на с,т,·.(е" еЭ 0'·.( ;ег,·.н'нт(· функция.[0.1],Тi'гда Ю;;;1==1 -инт,триру,'ма,; наСВОЙСТi'iмЛУЧИ\iч3н и е1д' ,полнениине, колью> ва}кшг: нср ШZНСi';к этой главе мы Пi ,-для су')исе iелеiШiГ,:инт, траловllервая формула среДШ'Гik знаЧk'Т/уст!с фУ'Н1\;'ЦUЛ'сттегр'аруе,ма 'На сегме'Нте [а, Ь , 'а пусть m 'а l'yl - то'сHыef(;E)сегм! нmе [а, Ь],iiffudernCif ш,аfi;ое 'Ч ff'ло fL, ydOfiJ!em iорлющее 'Не! aBeHcmfia,M mfL, 'Чтоf(x)ьл;г) d;E =/fL(b -а).(10.аьВ са\юм деле, полагая g(см.
пример п.1 § 1)= 1 и учитывая. ';тополучим шJ 1· dx =Ь-аа(10.11)ьт(Ь - а) ~ /~ М(Ь-а).а1)бознача;i через fL чис ю Ь _ аЬ.J j(J) d;;мы и ПОЛ,ЧИМ формул,а(10.fфующиянеп.реIНf;J-tа на cerMeiiTe [а, Ь], то cYffieств,ют такие точки р и qлого ceiMeHTa что лр) = m и (q) =поэтому, в сн, (У теоре\ыI 8.6, (а сег= М (ei. i'eopeiY 8.8),менте [р, q], а стало С;ыть" И на [а, 1;] наiiдется точка ~ такая, чтоЛО = fL· в этом случае формула (10.12) ПРЮiет внд/Лх) dx =f(O(b -а).(10.13)Эта формула называетсяФор,мулоu сред'Него з'На'fе'Нttл.3.
llерваясред! иего значения в обобщет иной форме. Докажем с iеДУfUffiее утверждение. ПУfФун'ЦttU Лх) 'С!МСТ) ttJ-tтегрttруе,м'Ы 'На сегме'Нте [а, Ь],Ш,О'ЧНЪ/'('f(;E)фУ'Н1\;'Цttл g(x),до iiffudemCif(шtUm-fL'Ч1М'uпуст!;m 'С!'На сегМf'нrnе [а,Ь]. Пусrn'ь, Гс.рпые rnи,"о,(х) ~ О) 'На всем сег,ме'Нте [а,Ь]. ТоiQшвамfL'';тоь/а(x)g(x) dx = fL / g(;E) dJа(10.14)llНTEl Г\Л()l;'iасm,'jfлсm,'(J"ее ,I,'iiэтом сегмен песу(;Т)ijeCmс, г,менm"'{уетта'КоеььJ(~)(х) diiаФОР\1ула(10,15)Ь],'imO'iUСЛОJ (х)Е)(1diiа1азы iается первой формулой среднего :mаче1-tuлв обобШi т{QЙ форме,, l,окажемСП] ,аведлjilOCTbфОР\1У'iЫ(10,14),ЕСЛi'jg (х) dx=аь= о то.
в силу н! рав! нствJ f(;r)g(x) dx = О и поэтому(10,11)ав качеСjiief..ldx >мыО,ьнато. разделив все части неравенств,[gаьImf(;r)g(x)dx~ а~ М.gllолага!if..l равныма,мы и получим формул;(1 ).14 .аЕслинепрерывна на сегменте [а, Ь]б1 шо чис.;-тозаjiлюченное \1еi+iДУmто, каково С;ы нии МiaэтомcerMe1iTeнайдеТС>i точка ~ така!! что Л~) = f..l т, е.
,орм;ла 10,14) пере;однт в формулу (10.15).а м е ч а н и е 4. Если 'УНКiiП!i f(.l) не являеТС!i непрерьшной, то формула (10.15), ilOоб ii.e говоря, неве] ia. В само')деле, П';СТЬ. например,={f~ при О ~ х ~ -,2121 при '2 < х,g=1 при О ~{ 11-- <х~~ТОiда, как'нгко убi'ДИТЬСя, числов формуле (10.14) равноТаким образом. для любого ~ из сегмента [О, 1] (~)f..l.#4.С'iеду21.2/3.Вторая фОРМУiiа среднего значения. Справедливоутверждение. f';слu на сегм; шnе [а, Ь] фунg(iE);;iii.eeм )'jштон ЕЛ,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
