В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Обо:~на'IИ" ]\.;10 ]\.;11, М2 , ... , ]\,;1n соответств\ l:iщиеточки кривой L (рис. 11.3). ВОЗ1 IlкаЮ111УЮ при этом ломаную... <373fЛИlБУД(:\,1 назыв;пъю:\,шной 1), впи( а; ff'Й[рму разбffеШfЮ('(Т]\Н ffTa а,!<а!<'тондлинато длиналом;]нонKPff~ТакР;БН;]l(ti) всеп этой юманой равнаnl(ti)L1i==L V['P(ti) - 'P(ti-l)]2 + Iф(ti) - ф(tiОnределенuе. Если .M!!O:JICeCmBO'К:РUiJУ1ОL лол,шных. оm6е"lа1О ,ЩХг.ментл а" f3 , ог/iШНii!"lе!! {. 'nос n р я{l(ti)}Л я ео и,)} !!ЛШ-l вписанных вiJсеiiOз,м/i:JICН!,i,,!' раз{!uенuя,м Тнз ыа mО"lная верхняя граньlа е т, сА'НО:JICесm,ю'Нлзы,юеm,'я д,,!,!,,!(!'й !!уги~ а м е ч аи еопре,!f,е,fе fИЯ КРifВОЙ1.,!еТРИ'fi'СКИ.
и 'лрсдеШ'НИi! ДЛИШ,Iчто,3(11.6)'i=l'l=(;1l)i 2fИ [аеаlf,уГИL,задаfюй пара-та<он кривой сле,f,ует,по, ЮЖiпеfЬна, l>а н и е 2. С\ществуют нес [р !'tJIяеМ!,Iе !<РИВ!,Iе. Вдопошеf f,fИ к этой[аве мы ПРЮiе,f,ем п!,имер п,юскоП КрffВОП,i',бая [аст! которон неСffРi!,!ляема,да/т,не [lllем М!,I будем[астоfеммоИ.Лемма, Пi cmi,-*l (t'i)-пол!,:юватьсядли/на лл,манои, 6nUСШfmои 6 'К:рu-6/!1О L u оmiJе"lа1Ощеи разбuе'l-tu1О т* се, А,е'l-tmа/J], а I (t;)дЛ1mа лом/тои.
впui'a'l-t !ои в 'К:jiUву1О'Н,и1О Т", nО",'/,У'Ч/:'}-И--l,()МУ'113-*u оmве"lа1Ощеи 1юзбuет* 'Y'(j{JJeJCm,fU)M "Jобо,(lле f.?I}!-'l-tес'К:ол!,'К:uх 'l-tОiJblХ mО"lе'К:. Тогда l)l (ti) .дк аа т ес т в о. О'fеви.ш<>, д<>стат"'ш<> рассм<>третьСЛУ'fа [, ко! [Д К i!азбиению т* добаВЛi!ется О,ша TO'fKa [. ЛомаHai! отве'Iаf"щаi! ра:~биеню" т, <>T,fIPlaCTCi! от "'i!aH"ii "ТВ,"fаю~щей разбиению т*, fЮН те,!, 'ITO одно звено M i - M i замею!ется') Будем называть nРЯ,М.!i'U линию" опредеiЯемую парамечшческими= atЬ. У = ctd.
Постоянные . Ь. с и d заве,'Юl\!О можно,:ыбраiаА 'lтобы пря;,:аi' ПрОХО,'(Иiа 'lерез дне данные ТО'li'И(Xl, YlИ М2 (Х2, У2 У'еаСТОА !'l i'МОЙ ме ii,'(Y :'О'iками M 1 иестес:'неШfQ :а:з:а"равнениями Х++оmреЗ1.f!!,М, а ,'ОВОКУПНОifТЬ КОНi'ЧНОГО числа примыка ',"iИХ др ,т К друг! от-еЗi'О:: еСе ест::енно:а:л:аломаной.l'vIbl ИСiЮЛ;,fQна,iИ ФОjiМУiУ дiЯ расс! ш'ниi' '"е)кду дну"""и М" КООр,'i,Инаты которых равны ifOOTBeTifTBeHHO2)О'iками M,,-l;ругихтреу;эrnmJсnр,ям,л,яем,а,я 'Кр'Uва,я7-/,ого 'i'Uсла mO'ien .J'.;fo , .J'.;f1 , ...разб'Urnа nри nОМЛЩ'U n07-/,е'i-МП 27-/,а r.;07-/,е '[7-/,ое ч'Uсло r.;P'U-L,; '''пn,яА'' ';{\МЛ 'Uдтm l;' всех 'КpиBЪtX Li paB7-/,а дЛ:U7-/,е l r.;P'L~BOil· L.3;. Пусrn'Ь ;,!;'Uш;,я LrUi]Ю',;;Л;Р!{'iес;,'U !!?ЮВif.е7-/,'U;;,М'U11.3).
ОБОЗ7-/,а'iим l(t) дЛIт.у дуги Y'iacrnna L t 'Кривои L, rnO'ir.;u"ЪtxL,;.Lтnо 'Ко,жда,я !J.8nmJ.BЪtX,'J'{\M'U ;;f(J'i;;7-/,'U!i,М'U 'па; 'о,меТnIН;,явл,яеrnс,я возрастаюшей и 7-/,enpepЪtBt. Эту функци= l (!; буде наз ;,1-'Котnорогоме7-/,rnа [а, t]. ФУ7-/,r.; щ,я7-/,ои фif7-(,i,'И,!J.еиl(t)на кривойL.,мож, '" быn;ъ;';{'7-/,;/{"nора-м.еrnра. Этот параыетр называется 7-/,аrnуралъ7-/,ЪiМ nарамеrnром..Свость свойства 40юсредс; венно выте;,ает из. В самоы деле, так как перемею;ая ;уга ll(t);араыет! ,а t.видеOHOTOHHOi,f;епрерывной функции tпереыенной дуги l, и поэтоыупеременная дугамо [:ет быть выбрана в качестве па! ,аыетра.является возрастающей и не;топара'может бытьtiie! ,ывной функциейfДоказательствосвойств10_30.1о.
Пу; ,Ъ имеют;я Дii;' ш',рам;' iризации КРИii; 'й L,t и s - пар;"мет;ы этих паi ;аметризациЙ. Oi;; ;е,i.еленные соответственно на сегментах [й, /3]и [аЬT;i; ю;i; t пред;тавля;';;,б!'й стро;'о мо;iПУЮ И пепреРЫВ;iУЮфi!ПЮ;'иЮ от .5 а .5 - ст;ю;'о МОПОТOII!iУii' И пепреРi'Ш iУЮ фi!ПЮ;'иЮ От t токаждому р;,.збие; iИЮ Т сегмепт;" [й, jJ] с;! 'iEeTcTByei опреде ;е; iпое разбие-Р сегмента] и Haoiioi ют. ОчевкiНО, что впотвечаЮЩ;iе соотвеТСТВУii';ЩИМ ;азб;iеН;i'"сегментовRiieвLломаные], TO)Ki.e-iве;iПЫ. и П!'ЭiОМУ ИХ ДЛПIЫ lи;) и l(в;) paB;",I.,жеСТii;;;} и {I(.5;)} ТОiiiдественны. Отсюда вытекает, что i.Лiiна Д' ги Юi ;iВОЙ не:;; iiИСИiш',рам;' iризаi (ии этой КРИii ,Й.20.
О';еiiК;ЛО, ciioi';c "о 20 юстаточ;юва'";азб;;та точкой С наше Юi ;;выедоказать для СТi!чая, кО; ;,а кри2. Обознач;;~(значен;е параметр;', t, к 'iOP!'MY ОТii;'чаетС. Т!'гд;', т!'чки КРИii ,йзначен;;',;параметра t ;;з ceri,;eHTa [й ,] а точки юр;;войiIIa';;'ПИЯМ пар;"метра t и;азб;;ен;; " указанных сег'L ;;! 'iEeT; iВУЮiL 2 соответствуют;;TMe;;iajJ]. ПусТi, Т1 И Т2 - прои",Ieентов, а Т - разiiиение ceri,;eHTa [й, jJ] получен1 Этот геомет! ;ическиi'; фаЮi ле; 'ко мо)кет быть доказап ЧИСтО апалитическим спосо;iо ';.") При ЭТОМ тО'''iИ lvfo М;, ... Мn СООТii;'iСТiiУЮТ з;;;;че;;иям to tt, удовл; iВоряющим усл 'iiИЯМ й = to < t 1 < .
, . < t n = jJ.пар;"метра,t n2 ]'слс!1, L 2ломаных, впс!санных в кривыеи Т усаза! !пых(t,)(t,),лс!ныI(t,)отвечающ !х разiiиениям т1 ,Исе! м' пт, 'С. ТО "чевищ11 ;)Пискол! ку чис ,а [1 (t,).СПР:сII.Ш:сlеl.Ю;;ТИ КlJИВОЙсанных в кривыеL1и1:. и,)и [и.) пол' 'жи:еЛЫ1Ы. :0 ИЗ Р""'Ш т:;,'Ии Л2и, длин впи~LCJIe,l'yeT что множества {У1L2ло;!аных отвеча!nщих всевозмо;:;ным разiiиениямс,тме !:ов [а . .:.] иигра:!и'!С'ПЫКРИ:;:.1е L и L:.
спрямлж'мы. ОТметим 'по из р ""'пст:;,' 11.7) ииз опредс· ,е:!иядли !:,1ДУГИ кривоi': с"едуетЧТи ДЛП1Ы 11 [.. И 1 дуг кри ;:,1' L 1 L:. и L удовлс' :воряю: пер' ''''пст ;у 1)11Предполижим, чт"12< 1.+ 12 :'(ТОГд"1 - (11что длина:(11.9)щ;ги кривойf (ti) ломаной . вп:!санной В кривую L'С'равещ:твуи о:iозпа'!Нм полу'!еп:юе,,того параГi ,афа . длинаряет пер ""'пст:;у [-l(t,)вытекает, что ДЛ"!указат:, т,'!сое разбиепие т* сегмепт,'-*бие:!ию, удовлс' !Воряс'то'",,'!Нс",,+ [.) = Еполож:!Тельно.
Из ощ 'е. ,еления длиныПОлижите ,ЫIOго '!Нс",, Е МиЖ:11.8)[ - 41 (t,),6]отвеча!, 'щей ',тому раз~< Е . ..10бавим,азбиепие через т.разбl'Н'ПИЮ Т'огда,силvломаной . отвеча!nщей ,азб:!ен:!ю. уювлетвот,!с как разбш'Пш' Т се:м,'Пт:,. [ао:iъе.!Н !епием !е юторых ,азбиепий Т1 и 2 сегме !тов [а:] ины 11И !2(t,) ломаных, отвечаю" :!х ЭТИМ ,азб:!ен:!'"< Е.обр"" ",,'по,6] то дли-<Пиэтому спр"'''дливо пер ""'пст:;,ак как+<(t,)+ !2(ti)+ {2:'( 11то те*леммы:,олее справедливо неравенство12) Е. НО это 'С'равещ:тво противор,"ш! Р''''''пст:;у 11.9).
ПоЭтиу предполо;:,ен:!е. что12,неверно . а сле. ювательно, в С:!ЛV (11.8),11 12. Спрасе.'ЛИ!ЮСТЬ с!юi':с! са 20 (ста: юсле !а.За.cBoi':CTBa 20 и замеча:!ия 1 этого пу:с,едует. 'по nере.меннаядугаявляется строго возрастаlОu~е'Й nОЛОJICител'ьнO'l't фУН'I{;u,ией nаpaMIC 'npa t.д' ,!сазатс' ,ьст:;,' 'С'пр,'РЬ ШIOсти фупкции I(t) восш, ,ьзу,'мся1 - (11<сле.,у!"ЩИМИ утвер)к,ен:!'"1) Пу;"'ъ Е волъная rnO",,'I{;a сегментаnрuиз-,6].Суи~ествует та'l{;ая ломанаягуlvfсвоей вершиной/2.-соответствУlОu~ая rnO",,'I{;a 'l{;ривойвписанная в ЧlUвуlОL.'l{;оторая имеет то",,:'л! на 'l{;оторой оm.ли'l,ае;; СЯ от :'л! ны ;:ривой',;.ен'ьше 'l,e.',;.
на Е2) У'l{;азанная .if'манаябыт· выбранаее звена будет .',;.ен'ьше ЕЗ) Пус"'ъ ·'о.маная :!ыбрас авТогда "астъ 'I{;! ивойстягиваемаяLд ,!,на/2.MaHoii, i'MelCm1)и2).рассматривае',;.оЙ ло-.мес· ;,ше Е.Убедимся, 'по из сформу"ирова !пых утверждепий и миПОтип:" 'СтИфvнкц:!ивытекает ее непреi ,ывность в любой ф:!кс !! юванной точке1) Из ,авенства (11.7) вытекает что дл·! любых разiiиений Т1 Т2 сегме !тови.,6] справед Шс"' 'сраве:!ство 1 (t,) +I:.(ti) :'( 1.
О!сюд:'. И И"пр' дел' пия !о шоi': ''''рvпеi':р 'пи п" 'учим 'С'раве:!ство(11.8).''то; О СIЧ" "нта (в точках асправа и слева),Нам пуж;чтофVНКЦf;'"(3ДОЮ''''ТЬ, чт" Д,,]Я,юбо;'о Ед выполн",ется неравенство\tlШ "',"рывна соответственноI(t)можпо ую,,,,ть т,коеIl(t+\t)l(t)1"ап,м",рим ,о разБИi.'IIИf' Т Ci.TMe,;,a [аю'тор"му ",Ее,!'",юм",ная, облада;, ,ша'", пет ,ечисленными вvтвеРЖ,iеш; "х 1! исвойствами, O;io:начим черf' дс;нс;' альную из д" с;н двух ч",ст ;чных сегмi.'НТ'1 , t:].р".збиеiiИЯ Т, примыкающи,[t:, t::0 !:се t= tkсегмепт"llYCTbприращение 6.1 аргумента уювлетворяет УСЛОВf;l6.tlд.!и определенности бvдем считать, что \tО. Так как\t t д :о::; tk+l, ТО Всилу с:р"г"г,,:раст,шия фу !:fЦИИ l(t) справед Н1 ::,! 'f'равещ:тва+>l(t)в силу YТi;' ржде ;ия< +< l(t +справед НП;" пер "р'ПСТi;р)-I(t)<Е.О;СЮД', И из предыдущи'< 6./ <;ераве ;Ств Ш,Iтекает.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
