В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 68
Текст из файла (страница 68)
ВПоэтоыу-t12" -8а.оо2\.Цеп/нойг].называется=а с11 х 2).:лину участка т~епной линии, отвечающего сегментум! с'м по фор\ле( 1.J)1 + у\Ч~)d~ Jхх/1+ s11!оО1 Цшr;лоuда ,а,шусафункцииаНайдеы~d~J, id~х11а=а::11-.оплоская кривая, котору'!' ОПИСЫ \ает точка ОК) VЖ'Юстикатящейся без сколь\,\ен\", по Пр""ОЙ лини\'.") Н<шм,'Пова"ие цепная ,ЛПIИЯ Сi\Я<'НО С ,ем.
'по форму р 'ссмаТРИi\мой кривой имеет тяжел!ш щ'Пь, ПОДi\,'шеiiIlая за ЮН!!!.;'!.38330айде'дугсчитываемую от точкиия Э.ш(11.22)!ИП, а х=.LV[o(O, Ь)>Р:,ссыотриысоваsiп.t,tЬ, отпар:, ыеТРИЧf ;СКИ;У7ТОП;; форму-иыееыt=1[(+\' ,);[;20.2.;лли [С,=1оsiп; TdT -о1t)1 -Чис.юуо. 2 -еЬ'!V1еопреде. iенныЙ интегра.t-d!=эксцентриситетоы,t)см. Зэ.!Иiiса.е 2 siп' tdt, обращающи21 г.. 7).О, называется эллиптическим интегралоыда и обозна' ;аетсяаЕ(е, t).оназываетсяануль прие 2 siпо ро-§ 2. Площадь плоском фшуры 1 )1. Понятие квадрируемости плоской фш'уры. ПлоЩДi, квадрируеГ"iЛЙ плоской фигуры.
I10нятие площа. шiЛОСfШЙ,,,;щейся многоугот,ни;ш:' 2). известно изкурса элеыентарной математики. В этоы пункте ыы введеы понятиеющади Т!ЛО('Х;;;U фЕгуры Q - част;'юскости. ог! ,ани [ен-нойростой замкнутоЙ кри3). При этом кр;' '''юб\дс;мназывать грающей фигурыlVlы будем ГОВОРИТi" поfЮГО'ТОiЫff.fК ;;'П.1Ы(Li(+;rгypy QеCJIИ кюк. iая точка этого мно; оугольника принадле:ж:ит фигуреQ или ее границе.
Если все точки п.юской фИ! 'ры И ее границыпринадле:ж:ат некотороыу мно; оугольнику, то бу [ем говорить,что указанныЙ многоуго.Ш,нИ!< ;'rи!со'Н вокруг фигурымно; 0Ясно, что площа.;Ь любого вписанного в фигуруугот,нИ!<абот,шс; п.ющади тобого описа [ного во <р'тры Q ыно; оугольника.Пуст;{S'j} -п,юскую фигуручис.ювое.ножеСi вомногоуго IЬников, аiлощадейScZ} -в! исанныхЧИCJIовое ыно:ж:е-1) В" BT"poi: части паст"ящего "урса чи;ате ;Ь паi:дет шир ,;;ое примепенщ" пон"1Т;;Й ;;лощад;; ;;лоской ФИГУI'Ы и произвольного мно ;.;ества точекпл"с;ости.2)мы будем';,IБап,часп, пл"с"ости,"гра; ;и';, Пi ;уюпрос; ои зам" ;утой лома;;ой ли; ;иеи.3) Отмет;; ,что щюста"; замкнута'.·; плоска'.·; криваяраздел··;ет плосд";' ';;;СтИ - шrутр, rIiiЮЮ и шrешпюю.
9т;; у;вержд;ши;' бы,ю д"-;;осп,"аза;фр;ш i.узским мпемпи"ом Жорда;; 'м1922)..ногу то. fЫfИКОВ.ПЛ·iщаДf.f"о fИ' ;]нно!вокру!МНРfО\Т('·ff.НИf<.1'iнраничен •• 'lfиер, числом нул.)S.!рсзтоттн''Ц'PXНt, ш. грань МНРЖС" Пiа {Si},ную нижнюю грань ыножесша {Sd}м]Обо iН;]ЧИМ чеiС'РСЗТОТТ-Р 'И РоопюеПii тпаешю lШ:JfCне'Й n/ющадыо 'И "ерхне'Й n/ющадыо Ф'Uгуры Q.ттто нижняя площаДf. Г фиг ры Q не больше1верхней площади Р этой фигуры, т. е.
РiРСДiЮЛОЖИ:i, ттто ве]Тогда, полагаТlЕ-Р2:::;:Р. в сююм деле,iРОТИВ JiЮЛОЖНОС' неравенство Р=[ >[<ото] юго iiудет iюльшс,iлошадьР+Р<2,QЕ+РР-f·iCfaQ . 'ного-fШТОР Jro м( Н f.шс'т.ыногоугольи такой о fИсанныйуголР.о и учитываТl определение точныхграней, мы найдем такой вписанный в фигуруник.>fИсла Р+[Е; Р. Сопостав.шLЯ по. [У [с'нные два Hc.paBCiНcTBa, найдс.м, ттто Sd[СТО не можс" быть.
такtЛощаДf. 8 d любого описанного ыногоугольника не Аtеffъше площади Si любоговписанного многоугольника.Введем понятие квадрируемости плоской фигуры.Q 'Называ1:тслОnреде.ле1-luе. ПлоскалО й,Р эт сс ;:С'сл'U веl/i!'НЛЛ'Н'ин('Неii nЛO'lцадыоnлощ!!дъ1О Ф'Uгур'Ы.ПI 'u эт'М 'Ч'Uсло Рк; в ар 'uсов па. JaJ:m с-Р-Р 'Называе тслQ.Заттание.I3Д'JiЮЛ Н (ТИИКЭТОЙпример неквадрируеыой фигуры.С iраiiсДлива слеД.'·.1.шая1Иfi(ДС'РTC'O]ie:.ia.Т/'ОР/'МД 11 2.
ДлJt пюго 'Чiпоб'Ы nлоск;аff фигура Q б'Ыла к;вадl 'ируем.ой, 'Необ! од'ИМ.о 'И достато'Ч'Но. 'Чтобылюбогс. Jf('ЛО[ МО:JfCiЮ б'ы.ло Уi'ЛЗ ппъ тш.о'Й Оn'UСi.f1t'f!'ы'Йм'Ног. "'jТОЛf.'Н'ИК; 'И так;сс;; вn'иса'Н'Ныii в Ф'игуруQ многоугО/iЫШК;. разностъ Sd - S1 nлощ .де'Й к;отор'Ы.Х бы.ла бы, Sd - SiД О к а :~ а т е л ь с т в о.1аQквадрируе.iа..1)е.Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть-Р-f акточные веРХНЯ?l и нижня?l грани множеств {Si} и {Sd}' то для>любого ТПiсла [но указаТf. f'ЮШЙ вписанфfiQ многоугольник, площадь Si которого отличаеТС?l от Рменьше чем на[/2,т. е.
РSi< [/2.этого же [>о=можноОJШi i]нный М;,СiJОУПi'н,Ш i'казаТJ,,площаДJ,'/2,(iтю,;ттас' п:я'еш,ше ;с'м нае, Sd"кладываСi полученные неравенства, найдем, ЧТ(i SdД ОТ а т оУПi!ЬНИЮiВ,П) Р - РоSdкоторыхс.13SdSI< С,СJ,;Л' произволь ;; (iСТИС- SIишM;,CiJOТ]К как Si :::;: Р :::;: Р :::;: Sd,(iт<юда вы J'eJiaeT. тттоi акимlазом, фJ;lа кваД]шруеl;а, Теорс'ма доказана,iiуде' говориг;то гIЮ'tiU'Ца nЛОС'Х: ii ';Q им'nлощuдъ, РiЮНУЮ нулю, если ДЛСi любого положительногошслаО можно указаТJ, такой описанвокругры Q многоугольник и такой вписанный в фигуру Q многоУГОЛ,НЮi. lаЗНОСТJ, Sd - Si п.ШiщаДСIЙ JШТОРЫХ 'еньше с.
Оттевидно, теорему 11.2 ыожно также сфорыулировать следуюшимJ\lbl>О'jразом.упого 'Что;;'Ы n/!ОСi;ЛJl фигУРiiи достат, i'ЧНО, 'ЧтобыQ 6'Ы,ла'Х:uuдрируеАюu,uеоб?lюн'U'ца 'и 'l·елаIЮ6Н1iЮнулю.3яха мтт а;;мсусто;;ССIX прю;;дс'";лос;намиможно расс: 'аТ]lю;аТJ,lасс' :iiД]НИ;роиз ;ольнос'множество точек плоскости.Установим достаточный nрuзна'h;Теорема11.3.Если граница'h;BaJpupyeMa.Д о к а з а т е л ь с т в о.Пусть [* -длина кривой L.
Будем счипараметризована с помощью натурального параметраО ~ 1 ~ [* причем, поскольку криваяч;,юш;;"зю, ;ени',;И;,аР"'lеаLи от;;е';;;юш, юнию сегментаЮ' ,"'нно;·;,l,азб;;,l*nL;[*[0,[*]. Точки МО 2\111, ... 2\lIn раз-б;;в;,ют ;';РИ;" юLL 1 , L 2 , ... , L nю' ча!.ны которых равны (1* /n)щЮ,I з;;ены'внои1замкнута, ее граничные точки, отвеП';'П;lда;"'. П,ст;, е - п ,ш; iВOД;,HO"положительное число. Разобьем сегмент [О [*]точками О = [о < [1... < [п = [* на nр;,в,;;,;х '/,cTei., д,;ины ;·;еньше ej91*. Р;,сс;;!'ломаную 2\lIoM 1 .•. Мп (МО = 2\lIn ), вписаннуюIЧ;ИВУ;'"плоской фигуры.еuб,11сnр"мл"еJvLУЮ 'h;рuвую, тотать, что кривая·M"IJ.I.''II·IJ:ln'/IC.M.(J'(;·I.rr.'II.LM;-lMi(е/9[*УЮ' ,"щной ;,;,;шеГ,М 1 ...
МП Ю' бод;,ш,', д'Очеви.ШОП" Н'СТ;;ю;·;а; ю,:ж·. юе звено 2\lIi - 1 М внутрь ква. 'рата со стороной31* /n так, как это указано на рис. 11.4. Легкоб,.Д;;Т;,'";,что .;у;аL"i.тяги;;ае;·;;,я з;;ено;;располагается внутри этого квадратаибо р;,сстояние от люб,,;;аспол",''''';НОИ в;;е И'2\lIi -Рис.11.41 М.,на граниЦ",'Того квадрата, до каж .
ЮЙ и'; точек 2\lIi - 1 и 2\11, не меньше [* jn,' и поэтому,е!.бы ;·;ю( ",;- щбоОЧЮ'дуг;; L; бы," ;,ю' ир' ю, Гl;аниЦ', у;·;азаю;,го квадрата, то вписанная в эту ду; 'у ломанаяне меньшую2\;[,-1 ММ./n т. е. большую чем длина 1* /n .;угиимела бы длину,, чего не может;"ыть. Объе. шнение всех таких ква.' ";атов, построенных на всех звеньях ло-13Б.А. Ильин, Э.Г. Позняк, частьI"рсд" :'1:Л',1~["M 1собой '1НОГОУ1 Р,Щi1'ZрИ :iЮ L п: '1че11 "',,'вид,,,, 'П" 1p""iiii.a э,.о[юй 0(1ъединение граню впи,.анного в фигурусанн"'" В01'Ср;Q11НОГО;П11е, ста1: 'ю'тмногоугольника и опи-также, ,ПоЬp1iiHOCплощадей этих многоугольников равна площади ,'iказанной фИГ'iРЫ, а пло~Щ11Д1:Р1:'не1'Р"ВОСХОДИСУМ11ПЛОЩ11деи[*квадратutl.
Так как S = Н-,,- = 9t1' с:)n"~,',:' то Sd[*из того, что 11а2.QnКВ11ДрИрi91'<- SiO.ИС щЮ:IХ1:1:,шеl после,'1нее HepaBtёHCIBO сле,'1уеl<: "n01Поэтому, согласно теореме 11.дою' ,::ща.Площадь криволинейной трапеции. КР'U60Л'U1tейнойназ ,нzается фff,а, Ofрани'ная графиком задан-ной на сегыенте [а, Ь] непрерывной и неотрипательной функции .I(х;), орди fатами,юведе шыми в ТОТПШХ а и Ь, и ОТРСЗЮiМоси 01 ыежду точкюш а и(рис.
11.5). f,окажем следующееутверждение.КI?uвОЛU1-i, й1-iал mlюnецuл щ?е, iсmавллеm собо ii 'Квад1?'ируеJoЛУf/i фuгуру, n/ющадъ р 'Которой JoЛОJICеП1 бы'!. 'Ъ 6'Ы"l'uслеНfi пофОРin!леьJ.I(х;р(11.28)dx.аоменте а, ЬHOf оf ак как не fрерывная на cefфункция интегрируеыа, то дш, любого положитель-а за т ешслал ьс т в О.но 'fiазать ('а шеiазбffеЮfе Т[а, Ь]CCTMC'Hf'a<что рашость 5 - sЕ, где5 и s - СОС!"::" ('ственно [Ц'РХ-уня?,ибиенш,нижня?,Т.суммыНс!Иpa:~равныSсоответственно 5 d и 5i, где5 d и 5i - плошади ступенатых фигур (многоугольников:аоiYfn-lХаРис.ХnперваяДЧНiИТьХпецию,которыхавтора?,сотра-содержитсяВ криволинейной трапешш (нарис.11.5и:~криволинейн'11.5и:~ображены также иaTf,feуказанныс' сту:<ры).
Так как 5 d - 5 iЕ, то, в силу теоремы 11.2, кривоЛИНСfйна?, т] ,ашщия квад] Ш] " с'ма. Поскольку ПрСfД(" при ~ ----+ь«них и НИ;!1 них сумм,авенJ.Idxиsр5,ато площадь Р криволинейной трапепии ыожет быть найдена поформуле (11.271,).3873еааттЛОЖИi ел ,наф'н],уегме ['ГеHf<шяfнеп] ,е])ывнаiНi]че шетоинепо-Ь(:r; )И1f'ГеfраЛi]РiШНi' ВШТОЙ С i'ТРИЦilтельным :~HaKOM П.llощади КРИВО.llинеЙноЙi,Шi ции, О! Р;Шil т теНШiЙ графИЮiМ фуш<f(вточках а ии отгезк())[ ОL:И ОХ между точкамиьесли(х) меняет :шаю тоJравен суыые B:~)!TЫX с опре-(:r;)аделенныы :шаком плошадей криволинейных трапеций, расположс'!'вышесо :~HaKOM3.НИ:Сi<еа вторыхOCf,i- соП],f,iTTe:'-.iлошаДfi,с'рвых бер' тся:~HaKOMПлощадь криволинейного сектора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
