В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Пусть крива)!задана вполярнойа :::;: В :::;: (3 (рис.нс'отрицаТi Лf,на нануюуглы а исистеiiекоординатiавнеШiе'11.6), причем функция r(B)CiTMi нте [а, . f1ЛОСf<"фfirL-непрерывна иДi,УМЯ луттами, составляющи'ыы будеы Ha:~ЫBaTЬ К;РU60ЛU! ейныl'лL(3,след'" 'i,Шi'!'сек;mоро.;\Л.у' [у!'1)ждение.КРU60Лif1-lей1-lЪ!.йтпор nредсmаUЛJlепт iобойф'uгуру,К;ОП орой ,м,о:ж;еm бъ,се'К:Lле1-lа8(В) </В.(11.29)Рис.Д о к а з амента [а,е лс т в о.точками а = Воасти' шог,! CiTMCiHTa IBi -(3]<РассмотримВ1< ... <11.6iазбfiеШiеВN =(3cef-и дш! каждог,!,Bi I Ш!СТ]f!ИМ круговые CCiKT'!PbI,радиусы которых равны минимальноыу ri и ыаксиыальному RiшаченияыО) на сегменте, В у]. В ре:~ультате получиы двевее]н ю{!разныio фигуры, пе] ша)! из кот'!рых с'!де] )житс! в к] шволинейном секторе, а вторая содержит криволинейный сектор(эти веерооГ!раЗНЫСi фИГiiЫ fiзоб],аЖi ны на рис.Siи'f<азанных1 nно 2" ~~=1rr1 ~фИГ'2и 2" ~ R i[тоi=1яв, шетс! нижней С\]\Л\I'!Йsдш ф'нкuии1. Площадиуавны соо! [ц'тствен-iвая из Эf'ИХ С'12для указанно-го ра:~биения Т сегмента [а, (3], а втора)! сумма являетс)! верхнс'й суммой S для этой жс' функции и э ['ого жс' iазбиения.
Таккак функция !r 2 (B) и [те! ]шр' с'ма на сегентс; [а, ,8] то разность13*<о +ет быТ!S-люБОf о фf1!<;ИР('f(анш)гi'меньше с/2>какОмалой<«;iaаffРИМС;Р< дляразно; П< МОЖС<' бьпъ сдс'ланаВпишем теперь вС' внутреннюю веерообр; <:шую фи-гуру многоугольникQ' iС площадьюS ;,S .';для которогС'ЕИ (:пишем вокруг внешней веерообр;;:шой фигуры 1ШOl\,}ТО.llЬник Qd lш()ща~ью На, для KOTOrnгO Sd - Ва<~).Очеьидно,первый и:~ этих ыногоугольников вписан в криволинейный секTeip,а второй ;шисан вок]с' Г Herei. Так как сп];аведливы нс;ра-венства(11.301оттеfШДНО,i'O,< С.- SiсилуfрОИЗ (()jj,НОСТИ с, отсндатекает квадрируемость криволинейного сектора.
Не неравенств1.30) f(i,iTC;Kac" Сffраf(СДЛИВОСТЬ4. Примеры вычисления1.:.~9).площадей. 10. Найтищадь Р ФИГУ]fЫ Р, ограниттенш)й г];афикаыи функпий уИ Х=уй, а ~1(рис.11.7).Поскольку фигурана относителыю iШССС;Кj1fifСЫ пеРfЮГОплох;йF сюшетричiшординатного угла, тоее площадь может быть получена посредствоы вычитанш; иеплощаДi,[(ад]УДfюеннойfлошаДifции, определяеыой графиком функпии уТаким О)iразеiМ<формуле 11.:.~8)J1ШfЮЛИНС;ЙНОЙ трапе-=ха на сегыенте [О,1].1- 1- 2xCldx_х"'+l[-]111 -1 _ -2- - -а - 1.О+1СУ120. Чере:~ три точки с координатами ( 11, УО) (О, У1) (h,Y2)арабола у - Ах;2Вх;D (или п] 'Я\fая,flJOХОДifТ только однаесли эти точки лежат на одной прс;мойуравнений относительноAh CfеЙствительно. систеыа2)1?I1+ D = Уо,D-YlD - УС1) ':;сС\<;аоят и<\ '<'ру' Щ:i,IХ0-ров.
Каждый сектор квадрируем, и поэтому ква< ;iIЧiуемы и веерооб;iазные:];ИГУ::Ы.<шя <НИХИГУ;i мо)кно н ;йти МНОГОУ"ольники, п<:ющадиВ,:1'?;d KOTOPi,IXДЩ:Н'Тi;;;РЮi;Т ую; ::щным неРiШ;"«Bi<::1.2) Эти уравнения пре< i<ставляют собой условия расположения точек(h,(O~ Уl и (h, У2) на параболе у = Ах 2и+ В:с + D.зюУ2Уа(-h,О)Рис.(h,O)ОРис.11.7х11.8имеет единственное решение. Иыенно:_-У"Уа= 7/1·211.Вырашм плошадь Р криволинейной трапеции, опредеЛlемойуказанной fараболоЙ. ординатамитотп.;ах (-h,(h, ире ;ком оси Ох ыежду этими точкаыи (рис. 11, чере:~ ординаты7/;1 У; и 712.
Так как по ф')рмуле 11.~8)hр!(Ах 2ВхD) dx _[А.г:3+ В:с32Dx]~Dh,-11iаж; НИЯ ДЛЯ А ир -30.r -аНайтиcos 3(1з(71;1шощаДi.(рис.D,4711найДf мУ •.iилистника1! .9). Изiie:+a яс-но, что вся площадь трилистника равна уве.Шfттенн.)ЙШС:Сii.разшощади:аштрихованной части трилистника,ю)тораСI ответтас:т измс:нс:нию7r /6. Поэтому по форыуле(1от О до(11.29:7Г/6р6~2!cos 2 3(1 d(1ка24uРис.11.93~Об [FeMЬETf лИ площадиПоиятие\стьрое [<\'HeTTHOC~вписанныеввокруг[F[e :;\'з:·юJ!<тело[[C~KOTO-ноге гра [ники~гогранники,['елаа.но!описан-<анника \во l[·!Т-К Бытшс.'Тению с)бъеМОБ тетраэдров (треуго.'Тьных llирамид).Поэтоыу мы будеы считать и:~вестным понятие объеыа ыногогранш![<а.Пусть {"~} - числовое ыножество объеыов вписанных в тело Е МНOIограннюш!;.
а {V;} tИсловос' 'нос!<ество объс;мо!;описанных вокруг Е многогранников. Множество,,~ограничено сверху (об;,с;мо<! любого о! [!саН<ШОГOIранника), а множество {Yd } ограничено сни,у (наприыер, числоы нуль). Обозна'tИм У ['О' ную ;;с'рхш<"грань множс;спаi}, а У ['О' нуюнижнюю грань ыножества{Yd . Числа У и У наывютс)]l соответст!;( нно 'Ниж'Ним о{)ъе:ом и в(:рх'Н'и;\,' оГ)ъе:.ЮМ тела Е.ОтмС'['И:!то ниж[р'об(,с,м['ела Ебол[,ше ;\('р<него объс;маэтOIО['ела..е.
УУ. Чтобы убед[!т[,ся в с!<а-ведливости этого, достаточно провести рассуждения, аналогич[,[е те:!, [шторыс; были сделанРР:::;:сы. п.для доказат( л[,ства,авенства1 § 2).ВвсДс;м тс;пс;рь ПОН)iТие к;уб-uру, \:ости тс'ла.Те/!О EU\\.('(,(.naenUJlк; у б 'и р у е JoЛ 'Ы М,есл'i\aepx1li\u 06зем У ,:пого тела :оunuдает с ll'UЖll'UМ 06земом У.'Называетсл :(бз, \:0 ;\" тела Е.П; "и этом 'Число УС,а!;сдлива след.~·(:,шаятс;о],е::!а.ДлJt того 'Чтобы \пело Е было к;убируеJoЛЫМ,'Необх;од'uм,о и ,;\(стато'Ч'Но.
'Чтобы длл ЛlОбог\( nолож'uтеЛi,'НОго 'Ч'uсла с МОЖf!О бы/!О ук;/.ютъ так;ой оп! :Шl1lЫ,U аок;руг телаTd'opd'Ma11.4.Е м'Ног, (;'lю'Н'Ник; и так;ой вписа'Н'Ный в т(iЛ\(\f.Ji' f;,огJJa'Н'Н'UК;.разно, \пъ Yd - ~ 06земо!! к;опюр'ых 6ы,ла бы Joлеffъше с. Дока:штельство этой теореыы вполне аналогично дока:штельству теорс;мы11.2(см. п.1 § 2).Кубируемш:т;" неЮfТОРЫХ клнс<:ов тел. Буде' наз[,[вать 'Ц!\ :ШlдроJoЛ тело, ограниченное uилиндрической поверхностью с обра:~уюшимк параллельньвш некоторой оси, и двуы)]!лос[шстями.;('Ндикуля]'и этой ОС[!. ЭТИ плоскостипересечении с цилиндрической поверхностью обра:~уют плоскиеф[!fbI. наз ,н;ае:·ън' \fс'Нова'Нилми цилиндра, а расстояние hмежду основанияыи цилиндра Haыветс)]lfис.
"11.10).1)Т'ЛОМ МЫ б\той непеl\есекаю ii.еЙся повеl\ХНОСТЬЮ.!!'ысО'!. 'ойшлиндра3слсД\ющее\тве]iЖ jеШ·jе.лвллетсл к;вад1?иру' \\ал фuгура (), то 'ЦuлU1-/,i)Р'06011 к;у6uруеАюе тело, nри'!ем, 06зеАt V 'Цii i'Uf др'! Е РiюенhfiЛО-ЩШ)<Ьj CLкД \я люБОjj(i'j(iЖИТС"jj,НОГ(iнотаки с,'казатьiiblUJmaj'()как\Иiла с мож-'шисанныйивписанный в эту фигуру многоугольники, рюHOCTj, Sd - Si jлошадей j-;QТОРbIХ будс"меньшеоснования:'YKaiaHHbIeвышеэтив-многоугольники,Si)h-п]шзыыПРИiМ С<)lВЛ)iЮТСЯрассыатриваеыоеJjiaTj-;QТО]ibIХ СЛ'COC!i'\' тстве шо Sdh и 8 i h.ivic/11. Объемы Vd ивысотойfhравныоэто'.'=с. ТакVd -СООТВСiтственш!телоРис. 11.10описанныыыногогранникамктс'ло Е "'iшруео.
ПосколькуцИ. шндра iaBeH Ph.Mj,i 1 .4тои вписанныывсилутеореj'oоб !,С'Мfihd,ДОj-;азан н 0\0iJii Д(тия [) j,jTiiКaC" к;убuру, \'·OCmi- ст-иnе! 'члfпыx '! iел ступенчатыы телом на:~ывается объединение КОнО\о ТПiсла ЦИЛИНДРОi),iаСiiOЛОЖС'j\j·Юi. ттто i с'рхнее оснj-ва шс! каждого предыдущеjО изП\iШШД]iOВ находится в одной плоскости с нижниы основанием последующего цилиндра,см.ij·iC.1.1)."jC. 11.1211.1а ы е ч а н и е.
Справедливо следуюшее очевидное утвержДi нис!. Есл'u длл ЛlОбог ii jf(iЛО НluтеЛЫ-i· '?() 'Ч.'uсла с м,ОЖ1-i ii ук;а·iШГn'Ьпшк;оеОnUСi.f1t1юе60к;ругтела,iпуnе-ff'ч,{f'гnоеК;Ое вn'исаннOf: в Е стуnе1-i'Ч.ат· 'е т,:ло, IЮ31-i' 'ст'ьК;О'!fЮР'ЫХ Аtен'Ьше С, '!ПОк;убuруеАЮ.V; -'гneiQ'итаii iiбй' \'овИспол ,з' е:' зт\' замс" i]ние для докаЗi1Т! лы:тват, ла 61?ШЩ' 'Нuл1И:;енш), НfКажс:м С'Н дующее 'твеРЖ.;ение=фУff'Х:v,i'" УнеnреРЫ6на на сег,;lлеf· ,ие [а: Ь]ог-да тело /", образо :аff1юе пр'.
щеm е,;lЛ 6m:руг ОС'И ОТ f:РiЮОЛi не'ЙтJ)(]'fJеv,Шf.,ф1j'Н?"Ц'И!! /( :r:),там'и 6 то'Ч,'Х:ах а 'И Ь 'И отрез'Х:();\' оси{:т аЬ.'И его обзеJIЛ У J"ЛОJICеп! б'Ы.тъ lш'Йден по форму;еУ(11.31)ао к а з а тл ь с тточками а = Хо.1<о.П.fСТЬ Т<Xl<-Х n = Ь,;азбf.;еш;е сегента а, Ьиmil'vli -точные гранина сс:гмс:нте [Xi- , Xi].а каждом тarш:·; сс:гмс:нте построимдва пряыоугольника с высотами mi и Mi (на рис. 11.12 июбражс·}'эти ;РЯМО"'ШЫfИки толна 'щном СС:ГМС'нте [Xi-l, xil).рТы получиы две ступенчатые фигуры, одна и: которых содержите: в к]шволинс:йной трашщии. а другая содс:р:+итПривращении криволинейной трапе ши и этих ступенчатых фигурмы юлу'fИМ тело Е и два сту;aTf,'··· т! ла, одно из fШТОРЫХсодс:ржится В,а другое соде] 'житС)бъс:мыi и Y d этихступенчатых тел равны соответственноnиLmT6.xiJrLM/6.xi.i=l!с·видно.нижш'"с·этиi=lвыражс'НИЯпр! дстав.:Ш!:'Т.l 2 (x).Ы для Ф'ШЩffИинтегрируеыа,ныхс"ню:Тсо:юйтодляfrOра:шостьука:ан;азбие[а, Ь]будетПОЛОJ!fитеЛЫЮf:'Следовательно,ПосколькуИнеfШТО] югосегыенташс: данн:вс:рхш,"Так как эта фун щ !ятелопределЕменьfИслакубируемо.ука ;анныхсуыыь-аах;авенJ.l 2 (x)dx.[о объс:мт! лааЕ' 0 +:ет:ff,fTb(11.313.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
