В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 64
Текст из файла (страница 64)
13'гл.гральную форму 10.25 остаточного членаф\'нК!1.fхсИС1ЮЛЬЗУЯ интеформулы Тейлора.lН!п, ,лучи 1ЪИме;го 'iНiiЧ' 'нияiiiTi .точ; ;ый,1 И1lНTK ГТi·Й.юра в"fi'Hп" iiб, ,бщi'ННОЙ форме,],-форму.;ы ере(10 15);е-!iiЛУЧИМIХХ.,+ J(t)f(t) dt:г=.1 (х71'а- t ;ndt=аjCn+1)!~) (i_t);;+1I X =n!j(n+1)ш х-!n+1(n+1)! (По;\'ченное выражение и представляет собоР остаточный членв форме Лагранжа 1(см. формулу (8.46 изДОПОЛНЕНИЕ14 гл. 8 .1НЕКОТОРЫЕ ВАЖНЫЕ НЕРАВЕНСТВАДЛЯ СУММ И ИНТЕГРАЛОВ1.
ПЫВОД одного предварительного неравенства. Пусть А и Е !ii!ible Н'·'iТР!Щiпе.!Ыji.'"арр' - люб!;,,' шаоба пр' !"iCXO11дящие е iИницу и связанные i'оотношениеJ\l - + - = 1 (такие числа будемрр'АРЕР!AE~-+-.р0.26)р'iай {ем максимальное значение функ (ии I(x) = x 1 / pх? О. ПОСКiJl;Ю!'~(Xl/P-l~(i-l/P-1)рна ПОЛУПРЯJ\lОЙ--1).то j'(x) > О щшр< .Х < и< О при х > 1.
iоэтому фУНЮiJIЯ имеетх = 1, при (ем ее !'iаксимальное зна'1ение I(l) = 1 1J\lаксимум в точке1.р'Итак, для всехх.Х1РР--~-По.! iЖШi В ЮС.!' Дii' М ! ,'раве (ствеHepaBeНi тва на Е;= АР ЕР'2) И!юживполу'iИМ неравенство (Ш.261) Оп. "тим, '1 при .. Кii:~iШШiМ !iывд'' 'iCTai"i'1Hii! '1.!,'на в форме ЛаrpaHiiia на произвоДную (71 + 1 )- го iюрядка накладываются несколько большие iiграЮi''''НИС. ''''М в § 148.
О.'i!ii.шО. ес,!" ИС!Ю'!Ьi'iiiii'lЪ Дii'iазаННУ!iiконце гл. 9 теорему Дарбу (о прохождеНШi производной '1ерез все про межуточные значения); то получим остаточный член в форме Лагранжа лишьпри условии существования и интегрируемости ICn+1)(x).2) 3д'сь м!;!И!;!' iрИ ЕCi!pii! .... . !ИВОСiЪ iiepii "!'Нс(10.2С) "е вы361'ёльдераНеравенствокакиеугодноСУ','М. Пyr ть а1неотрицательныечисла,ааn и,1[2,иимеюттотlо;д;[ снравеДJlИi;; с,;с ду;с;щее нс'раве;;ствоl'рnакоторое называется '!;ер ;в,'НС пв;;м Гё [,[,дер;; д,;;я,iокаже;; с;;а ;;ша,С'СJlИ'1,А 2 ",: В1 ,-;;ак;;е уго;-но неотри;дтельные числа, удовлетворяющие неравенствамnnL~ 1ДJlЯ этихCHl',,;се,;(10,28)~ 1,=11,::::::::::1авеДJlИi"нс'равенствоL~(10,29)1,=1са;;ом;исьшая ДJlЯТе;·;;сс'х Н;;;'раве;;ства 110 ;;сс'мсум;са; ;ьнн; раве;;ство(1{),29)iо'1ИСС.'Jl1инер;.[";;с(10,2С)ю 71, Н ШУ'1ИМд н;аза;;По'; ;жим ;'е;;ерьА,а=[nLВ,;JIP'а,i=lь,[;Ln ь;'.] 1/Р=1Ле; ко ви';е;ъ, ,;то ';ИСJ!а А,В, у'юв ;етвор;;;;ст ;;ераве;;ства;,поэтому для этих чисел ;'праведливо неравенствос';'.;·;ож;;с;заш·;са;ъ),(10,28),(1; ;,29)с которое в ;анноы;'а;сnLа ь;i=l[.
Ln а; ] 1 I Р [nL ьР. ,] 1 I р'1,=1,=1Изюс,;с' ;ш"3м е '1 анер;.[ '.С';;Сивытек [С'Т ш'раве;;ство Гё.;ь';ер;.[В '!аС ;·но;.(1{),27),СЛУ'!ае р = р' = 2 н;'раве;;ство Гё ;Ь ..';ер;[переходит в ;'ледующее неравенс; во:(10,3{))1) Гёш,дер (1:;59-19:17) - немец;;и" ;.;ате;.;атик,2) Мы считаем, что хотя бы одно из чис ели хотя бы одно из чис ел0;'JlИ'1Нbl отне' ;·ребус.'т,;;бощю;;.;в юм с';'.ФОРМУJlа(10,27)щн;а;а;'СШ,СlН,,1 И1lНTK Т.на' (ыва('тсяlepaB('HCTBO/(у'uл((: "'C'h;()('()Нераввн, ((ВО Мин::((ов ((кого 2,ь nС111 авеДJlИi:;д.((}! сум.(((сумм. Пуст,: al, а2,какие угодно неотрицательные числа, а числослед; ющ:'"",а nТОГ.':.ан:'раве;:ствоj(а, + Ь,рр( 03 )называе,,:ое'::равсnсп;вО.АА A1un'J{; ;вС'J{;ого д.(/}! сумм.зуем сумму, стоящую в левой частиnlрежде все; о преобраМожно записать0.11).nn+ Lb,(a,. +1,::::::::::1к:ШЖДОЙ"зс: '··:м.стоящ (Хlри этом: так как (рl·ёль .
;ера.n(ра,!!'/:':;;сти.11риме,:,,"'!!'раве,:створ-- 1)1" = р ир'= - - , получим.р'.]l/PnL a;[ ..+nЬ;] l/p [ n~(a,{Ln+ Ь,)(Р] l/p+a;l)p'] l/p'""'Г'}p-l/p(а:lоделив обе части последнего неравенства на [;~ (о + Ь,)Р ]+ Ь,):р-/р:.юлучиынеравенство Минковского (Ш.314, . И..нтегрир,:емость произвольной поло~ительной степени мо-дуляфункции, Док;.;же,след; ющ; ю :"';ре,Теорема 1i!iУn'J{;;\ил Л.х );;n/псгрnрусма 'ua ссг.А;п~т/' [о Ь],то и фУН'J{;чи.i!!. где r - любое поло '/!ителъное вещественное число,n;:;'J{;:JКc 1JiU ii ':'гриру/'.м,а, на Cr'гмсn/пс [о Ь].Доказатибо если rльство. Д;;стато фунюшю1/(x)ITд;:шза(ъIT-[T] Г.:.е [г] - ,,,елая часть Т, а r - [Т]f(x)1 ,ште; р"р:н:.; се;f(x)I[T] ,ште; р"р:1/(x)I[T]1 f11. 1 ~ 6то; О жеС,,:т<1,мО!\,;но пре.':.ставить в ви:е произведенияВ силу замечания 2< 1.ЬIШЭТО!\:·';м се;в СИJlУН;; то; д:.;И "нте; Р':.р;е,':;;СТИ фУ;:КЦИ" f(x)IT-[Т], ФУНЮ:',и:.:.так:.:.:.е интегрируеыа на сегыенте [а.
Ь]. Итак: докажеы теореыу для<1.П;;JlОЖ,.:'··r =l/р И за,,:,'ТИМ. ':то рр:.;руе,:а на се; ,··:енте [а,]:то(1804-188;)) ') Герма;: Минк ;,:.с:шii (1864-1909) -1.любо; о ЕТак к:,;:·! ФУНЮ:',и:.:.>О най :ется :..а:шер: сск :'Й ма:.' ма:.
"к.;:е, "ЦЮ;Й ма:.' ма:. :';к И фи.; ;к.363ра:~биение''того о гмента, для которогоn1-3дес" 'iep":~ А1, и,',)'шые граш) функциисегыенте [.hi 1, х,] Достаточно доказать, что сумыа,,;,сти'ш)мn5-в(10.33)меньше Е.О,н'"им эту С' ;"му Снем а,= (M,l/;)мощы'; Ш ране ,стна Гё",ь,;ер;"11(1{).27),IШJra) ая. Получим=(m 1 /;(10.14)(М; -т;).(10.3;,)10следнее неравенство посредством ;еления на М, 1) приводится К след;ющ"му:мв справедливости :юсле,,';него неравенства легко убедиться. учитывая, что::;;ш" ::;; 1, ар> 1. И, :юльзуя HepaBeНi тво (Ш.35) и учитывая, чтоL~Xi =а,1,=1мы получим из HepaBeНi тва5 -( )':.31в::;; ~? lf i [о :'с", ';а, ,:С11ШI"ЗУ): нер;, "'''с;'ледующее HepaBeНi тво:;".~"",]~ml/p:ъшая, 'по l/р(10.32)+ l/р'1,на;)дем5-8<Теоремаюказана.5, НераВiiНСТiiОДЛЯf(x)gлюбые ,,'ше интегрируемые на, егменте [оа и / - любые дваоба 11реносх)) :ящ :еснязанш,н' СОО: ,юш' "ю'м l/рl/р'+справедливо ;'ледующее неравенство:l/p [bIP d.h ]d.h ::;; [/~1)С'iита ъ.
'по М;(Ш.35) С11ранеДJlЮ').>!ие;; "СJlИ МЬIg(10.16)тоО.нер;, "'''сигриру\'мы\' на,,е{)т Ч"i!Jтел\ииii'\'HK,1ible.J k'(\)d\ ~ 1. jdx ~ 1,(10.37)A(,r)E(,r) dx ~ 1.iюбойв само,' деле.ин, е-удовлетворя i\щие Нi'р,шенств дм(10.38)'1'0'1 \е х сегмента [о, Ь] спра \еДiИ1Ю,ераi\енст,ю(10,26)"(х!П(х)тс [;(а" В силу О (енкии,30ь§6~lP(x-р(,)+ --ор'и формул(10.3';)ьA(,r)E(,r) dx ~ -1/' АР(х) dx.' ; (х) dx+ р'-1. /ЕР''аНеиане ,стно (10.3ГПолагаяA(,r)1~ -+ -р'1= 1.а,'Ю1«1за, Ю.Е (,r)= _----"'--1/-'--('-'-'.)1-----,--,---[l1/(Xприде;,следует, чтоьнеиане_-----"1),-,--1-----;-;;--g,,--,''----,'ьl'[ Ig(x Ipl dxIp d, ] l/p'к сле, (ующе,;"=] l/p,с, ну:I/t ,)llgТак как в силу замечания2.п.1 §6ььJ(x)dxJ~d,rаоДiЯ,е"аненс, но3 'а м е ч а н и е.,те;а ю\\(10.36) дш, ин, егралон .';станон,ено.частном случае р = р' = 2 Нi'paBeHCTBO Гёльдера,\еuеХОДiiТсле, (УЮ'iiее,ера\\е ,ст,ю:JьJ(х) dx ~lI(x)12называ\'м ,е неравенством Кошu-БУНЯ'h!овсn!!г!! для uнтегралов.(10.39)'я люб,,;х"'отри-g(Xц"лед, 1\,щ,л"р/1(,)[! ""(х "хрd;g(xdxназываемое 'Неjюве'НствО',i, Jlv1и'Нr,овс''i?iiдшнерав' нстводля и'Нте;iралов.р'япо 'ученияэтого неравенства н' жно исходить ИЗ формулыььjU! ;)g(xdxаьj f! ;) и! ;)g(Xi]P-1 dxj g(xааи применить неиавенство Гё ,ьдера к интегралам стоящим в правой частиэтой 1\jюрм"ЛЫ.
Детали расс,'ждений предоставляем читатеЛ;ii.Поi.\I'i;ЦНИ нз iel'aHeHC; на ! lО.40! мо";; ю по;у' шть с;едующееBi'HCTBO для n фунющй f1(X), f2(X), ...иуе', i,;X ia се' ','е; i'e [а, Ь]:fn(,r).iepa-неотрИ!,ательных и интеiРИ1/{/1f,(X) + [,+ ... + fnd,r~ []1.0110ЛНЕНИЕДОКАЗАТЕЛЬСТВО УТВЕРЖДЕIIИЯ ИЗ П,4 § 6Для удобства сфОРМУЛИl'уем еще l'аз утверждение из п.§ 6.Если 'На сег.ме'НтеЬ фу'Нnция g(x) АtО'НОто'Н'На, а f(x) и'Нтегрируемато 'На это,," се;' ',i,е'Нте суи~еств /етmar,oejt; .числоьчтоьg(o)dxg(b jl(i)d;~1реднарител;,;ю дока)ке'; с;едующее нс;ю\ огател ,ное предю;;;е;ше.Лемма Абеля 2). ПУС7J Рлюбые числа. Если C1JM',iibl S,.ме:ж;ду А и В, то су.мма '1'1 и1А;,1.'1;?'1'2111112;? ...
;? '1'п ;? О и и1 и2, ... ,и п+ ... + и, nj'U любо ',i, i за;;люче'Н'Ы,+ '1'2 + ... + '1'п и пза'h~mi' 'е'На ме:ж;ду "шсламии П;'l.Д О К а з а т е л ь с т в о.Имеем и1;'lSl= Slt'l -V2)= Sl, и, =!S2 Sl + .. .- VЗ) + ... ++ S2(t"2;. По-.\ТОМ'!Sn S,,-l =(Vn -1 - Vn ) + Sn '1'п .1) Для удобства мы "охраняем н,'мераци ii ПРИВi'денной фОРМ\'ЛЫ.2) Нильс.
Генрих AIi' ль (1802-1829) - НОl'веж;кий математик.lЮ ,1И llНTK ТТак к;д~ О и v~ О,(:на'1а;а ;а А . а еЮ; ;;м наAI(t"l -t'2) + (t"2 -t'З) +;'00;Ш;(:.;; днр"S,,;ше;ю,,;е;;и;;++ (t'n-;'['1и; +'и;,и2+ (t"n-; -t'n) +t.\::;; Ви ;t·'2 ) ( V2к;])кд;;ен;]'t.,з)+'t'nUn::;;-'[.'п)+ '[.'п];;адра;'НЫХ; ;;обк дХ р ш;;ы V;. ПОЛУ'1;;'Лемма доказана.3а м е ч а н и е.При доказательстве леммы А(;еля мы использовалиnпрео(;разование; ;'ммы't'kUk которое обычно называ";т nре; ;;раз;;ванuе.мLk=lАбеля.
Б;;ле;' полные све.';рния о пр;'о(;uаз;;вании А(;рля и важные прим; нения этого преобuазования можно найти в п.§5гл.13.Д о к а з а т е л ь с т в от в е р ж Д е н и я и з п. 46.Допус;о фу;;кци;; g'(x не но;рас;ает ;а [аЬ]Heo'l" ;щател,на на;том сегменте. Имеем.
в силу интегрируем ости f(;r)g(x) ;),ь/П;,сть;eo'l"d;1\,1,и т,точные грани-щ;.ател ,;;а.гдеспра;;ед;ИН;,;f(x)нашахL::.;".L::.1,х;]. Тогда, поскольку(х);е; ,аненс; на(10.41)-1~_!Так какне в; ;зра; тает2:= M,gЬ]нато разн ;сть'-1)L::.;,=1n;е ;;1 ен ,;шает;ис;аg(a) L("-ТП·iL::.х;. Поско ;ьку Фуню;и;;nU туе;,;а, су;,;маинте-nL ( ,.LсттемитсяU)iL::.;";улюi=lСЮ.'(а и ;;з неиане; ;с; н (10.'1 ) Н,;; е;;ае;тв ;ряющих нерав; нствамm ::;;р,::;;;'0дiЯ люб'Ь/,х 'Ч,uсел р", у. ю;шеМ", каждая из сумм2:=p;g'(x- 1 }L::.xi,'=1ьимеесно;;'· предею\';;нсгегuалL::. --+J fi !)g(xdx.Со; лас ю Фор,;уале i 10.12) числа.ПI1\,1;,можно выбрать так, чтоf(x)X~i.
Так ка! Фую;ц;;яF(x.га1)См. ; войство 30§dt-1непuерьш;;а на сегме ;те [а, Ь]367ЮП()iН;;,м;"ыниеН;"; МР;;;ДУ т;; ;н;;F(;r) на '~PгыeHTejj12: g(x--+i17).то '1Н; Л;,н;;;;с; ;;·й.Ь;ьюdtР"Т;,заК;Ю'1ефун;;цнит;; ;Н;;"и;, заключены l\Iежд;; )jj;!;:,.;r,"/SП;;ЛОЖИl\I 'и; = g=,2:ЫЫп"3(;r n 1).;;ак~И М. то. в силу леl\Il\IЫ Абеля.и СУМ';'l\Il\J;Jзаключена l\Iежд; ПII' [а) И А1l' [а). Но тог"';а И предел прио этой су;, МЫ за;;лю';е;mg(a);;'еждуMg(a)т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
