В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 65
Текст из файла (страница 65)
с;;uане"'!Л ;;;ынеравенстваь[а)т:О::;фунюiЯЯd;r:O::;/ f(x)l'f(t) d/,F(;r)(а)А1.ПРИНИl\Iает люiюе знач;'НИ;' А, за-аключенн)е l\Iеж"';; ее ТОЧНЫl\IИ гuаНЯl\IИm И А1, т. е. найдется такая точкачтоь.г f(x)l'f(t) dt =А= .:;....а----,---,--g(o)аПО";ТОl\I;ь/f(; )g(x dx = g(a)d;.(10.12)аЕсли нево;раста;;;;;;ая функ ;ИЯИl\Iеет И отрицательные значенияфун;;цня h(;)g (х - g" (Ь ;енозрас аю;;шячения. По"п )Ы;;', В 'ИЛ;;' (10.42)[g(xg(b!] dxто;"",'еет ;ео ;"рица; ельн;,;е знаfi ;;) dx.[g(a)-g(b)]а)тсюда путеl\I нес южных преобuазований ЫЫ и ПОЛУЧИl\I фОUl\IУ 'уг лв А1ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕПГИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГГАЛА§ 1.Длина дуги кривой1. Понятие ПJIОСКОЙ КРИllОЙ.
Наиболее естественно расСNIЮ ривать КJИВУЮ как Сfед д!шжущейся точки. В этом ПУffкте\fbI прида,'Ш\' \TO\fY fредстаВfенИ!.' о кривой матемаТИ'fеский,fbIC и вве,юн fтие так наЗf,rвае\юй: nростои ';i;PU60U.сп\стfУLф\нкциинепрерьmныrp(t)а[о:, р] (аргсмснт этих фую,ци!ifДЛЫfейшем будемY-\jI(t)И ф(t)сегментеазыватьпараметром). ЕСfИ раСС\fатриf'ЮЪ параметрtкак время, то\ка,анные ф\ ню ,,ии опреде.m\ют закон fяижеНШf TO'I \и lvl ск '(\рдинатамиохх=Рис.(11.1)11.по П, fоскости (! шс. 11). l\Iножество {М} точекщих всево,можнымша'fеНШfпараметраt, от! ечаюIП сегмента[0:, р]естествешю рассматривать как след точки М, ДВИЖГ!iейся по:шкон\(11.1).
Отметим 'ITO множество {lvl}fре.f,стаВЛЯf'i!!iеесобой следто' fки. может не соответствовать нашима; fЯДffЫNI предстаВfеНИЯNI о кривой. l\IОЖfЮ, fапример, ука-1) Здесь и в ,',альнейшем мы будем называть nЛОС'h~осmЪ!(' совок\'пность\\се\ю:у,ю)кН\"х У!Юl"'ДО'lе,ш!"х !Шl' (х, Ушсемы будем называть точкой пло.кости). Числах,rуа!\ую паруи у называ!(\т!:я координатами ТО'l!\И (,Дл"l'аегкоссгибудем ,а!!"'е обо:3\ ,а'!аeгO'l!\Y (, у)одной буквой М. Запи!:ь M(,r. у) означа('т, что точка А1 имеет координаты,rиу.fЛИlз!Кие]\'Нуf(;Ш, рЫВffые36')fЮНI>УНКЦШftp(!.)и1j!(t) , З;Jдаf(ые на <е!], чт~) <л( Д ТОЧЮf М, движущеЙi'Я по закону х - tp(!.)('удет ';а tРлнять-выд(;лить таки(;наГЛЯДШ,1Мi,еЮ,1Н t'вадр;JТ ПО!ТОi'tу е<теств(;нш,]\'1 tРЖ(;СТВ;J {}, КОТО! ,ые <ОРfвеТСТЕУЮТ нашимаким обра:юм, Mt,1 при[р( ,'tJ:тавл(;ниям о кривой,'ОДftМ к ПОttятию nростои ';i;ривоuivlJ-toжесrnво {j\;j} все:г точ,е';i; М, ';i;oopau1-tamcы ;Г и у ';i;OmO()nj" ,lеЛЛ1Отсл урш!1-ti1-tuл,л,t'i! (11.1), бу!ем 'Нлзывптъ nростуn! nЛОС';i;(i'L'i ';i;PUiiOU L, если разли'i1-ti,i", з1-tа f.e1-tU,iiМ параметра t02,л,tе1-tm,(J [а, р] оm,в' ЧП1Оm, jю,ЗЛ'i!Ч1-ti,!! т, iЧ},'i! эm,о20 ,л,t'Н/).жества.,1б;деi i«УРШi'Н/'Нii!Лтю;(11.1уtютреБЛitтtслед; ti!iit.уЮ терминологию:оnред' ,!Л1Оm nj"н'ту1О nШН'},у1О }'lmву1О<i nроста,н nЛОС';i;аii ';i;ривалLL»иnараЛiетризова1-tа при nо,м,()'Щи урав-1-tеifUU 11.1»>.Каж,t,ую точку мtюжеСfва {М}, фигурирующеtо в опре,t,е,tении простонt'ривой,юской t'ривонпри'tеми р параметраt,ТО'tки,Mt,1б;деi i на;t,шатtотве'IaЮiiiяеграни'tШ,1то'л,он этойзна'tеНИitабудем Ha:~ЫBaTЬ 2рШ!!'i!Ч1-tы,л,ш то'л'ами ПрОСТi!!!КjШfЮЙ.ПРИitером tростой кривой может сл;житt графикHettpepbIB-юй на CetMeHTe [а,фуttкции у = f(x).
В са1\ЮМ 't,ete, ЭТОТ график можно рассматривать как след то'л'и М, шижущейся ю:шкон; х = t У = {(t) а ~ t ~ р, ПРИ'ti'М. i!'1евидно ра:~tИ'IНЫМзttачеtШям параметра3аеточечttыха н и емtюжеств,t1.отвечают различные точкираil;ика.Простые кривые не ИС'1ерttЬшан;т всехзасtУЖfшаЮiiШitаимеtювания«крш;аЯi.О,'шако ДЛit наших це,дocTaTo'IНo понятия tростой t'ривон.а м еа н и е 2. Одна и та же простаit криваit L iЮJtiетбt,rтtарамеТРИ;i!вана ра:~ли'IНЫМИ сtюсобаiШ. _\1t,1 будем рассматрш;ать f'сеfюзможные парамеТРftзации простой кривой L,U!ЛУ'Iat'iiiшеСit и:~ данной параметри:~аi iиипараметрадругогоt[утем[ре, t,ставлениянепрерывны' CfPOtO моtютонны'I>УНКЦftйпараметра .5.е '1 а н и е 3.!ажным U!Нitтием яв,tяеТСit понятиеBKt,e3 аnростуn! заМ';i;1-tутоu ';i;PUiiOU. Такая кривая образуется Сtе,t,уЮщим обраю .
П;стt L 1 и L 2 ше [ростые t'ривt,1е, при'tем:1) граничttые точки кривой L 1 совпадают с граничttыми точками t'ривон L 2 ' 2) любt,1е не грани'шt,1е ТО'tки кривых L 1 и L 2разли'шt,1. Кривая L, ПОЛУ'tенная объе,'tянениеii t'ривt,!, L и L,и на; ,шается простой :~амкн;той кривой.2. араметрическое задание кривой. В математическоманали:~е иtРИЛi!Jtiенияхюбно рассматривать t'ривt,1е :~a[,аваемые парамеТРftчески.
Нагля, tЫМf,t истоками TaKOtO сп 0соба;а, t,анюt t'ривон СЛУJtiИТ nре !!'тавлеifUе о ';i;jiUвоu ';i;(JX о2' ()Мim,Р'i!чеi },о,л,t Micm,l rюс,!, '!овпm,l ,!b1-tbl.l по U)if{'е'Нii!'Йпгию; ,<ЕЮ!n!n"{.';i;U,[ыхтриче(коеNl(СТОШ (л< д< ;са'! (ль~КОО!!Дiшатам!;ПО, юж<движущей;'я:~; ,кон!(1 ,2)IXJ,llреЩ;lатшяеl С(JLЮЙ крипую, Нd:3ышtемую сmроgшu,доu (рис.За ,';етим,'1T!; ДВИ/i<11.2 .строфок [,е т!;' [ка М ПОi адает вО,ЮитожеДВа!iiДi.1 припо,южеiшеt=iiaCCMaTpiiEaeMмы-1иtх=-=1.акПОСiе.'ЮЕатеъ [ыеЮ/iiения движущейся ТО'I!!ИОкакпо~то eCTeCTBeH~но с'штаТi ра"ЛИ'Шi.1\'Ш ТО'I!!И СТРОфОИДi.1,отвечающиеметрахраЗШЧiiЫМЗi ачеiШЯМпара~t.Строфоида не i!В.miется iРОСТОЙ кри~вой.
Нетрудно, о,ако, убед!!'!ъся, чтообласть ИЗNlеiiе шя пара1\Iетра t можнора',БИТi на iасти таiiИ\", '1TO C!;!;T~веТСТВУЮЩiiе части СТрО'[,ы БУ'i.УТ про~СТi.1\Ш кривыми. И .ieHHO, ра юбi.е\' 'IИс.ло~прямуюIXJIXJ [а cerMeiiTbI[n - 1, nl, r.'i.e n ,(>бое целое 'IИс.ло, O'ie~видно, ес.ли \ibI будем рассматривать па! .a~вую\'ieTpРис. 11.2на TaiiOM с!тм!'нте, то соответств! 1о>щаi! 'шсть строфои, iЬ1tБУi.ет простой КРЮ!ОЙ.Мы ВОС i Н .ль, ,е \! С!! ЭТОЙ Кра,биения наi асти !)IЯ MaTe~матического определею!Я понятия Крi!ВОП, задаваемом параметРИ'1еСiiИ.Будем считать, что Мi!ОжеСТi!О{t}представляет собой либоcer\ieHT. либо пол! сегмент, либо интерва,\iУЮ, либо ОТiiрЫТУЮ или замкнутуюiибо 'IИс.лов! ю пря~ЮiУi Рi!\iУЮ.BBe,'i,eM ПОi!Я'iие разбiiею!Я множества {t}.
Будем'1TO коне'шая И,iИ беСiiоне'шаi! систе\iа cer\ieHTOB {Iti-lti] pa,~бивает множество {t , ес.ли: 1) объе.'шнение всех!тих сегментовпре,'i,СТа!!,!Я8'i собой все множество {t} иоб;;шми точками iЮбi.1Х !,В!Х сегментов систеМi.1 \юГ\т быть iЮН ИХ ;iОНЦЫ.Расс\ютрим примерi.1 ра:~бш!ний некот, .р! .1X и:~ у iа:~аню .1X BЫ~ше множест;' {t}.1, Система сеГ\iент<ш [О, 1/3], [1/3, 2/3] [2/3,разбивает сеiмею].2. Система сегментов [О 1/2], 1/2, 3/4], 3/4,...
, [2'2<3.1,2n+~ 1],. ..Систе.iа cer\ieHTOBразБЮiа8'i по, iyceiMeHT[n -1 n]iевк'шо, ра',бивает всю '1Ис.лов!10,,гдеn-прям! Н!.[евк шо,7/8],).iюбое целое iИСЮ,371fЛИlП( f)(ЙД(:\'1 теш рь к zюределеЮfЮ ш нятия КjИВОЙ, задаш1Z :\'юйпара]\IеТРffче( ЮfПу( ть фУffКЦИИ rp(t) и/,(t) непрерьшны на множе(теговорить,чт/f{f} 1)у/ю,т!/ 'J-шя1,3)заdают !'i!/ю,метрu'Че!'!,u !,]Juвуюстелю, се/! А/ент!ю8'J-tш'{.еНiij./'!/рав'J-tе'J-tuяuз !,!!,')fC/I020 дПННО20 Ci2,Meffm(] эmml ПLст!J\-tыопределяют простую nрuвую,(1Приmо'ч,!,'U х;ривойnорядnеJ'vl1с/с/стветств!ет :~на'Iению параметраЗf ачеfIИЮ-рш'!',',!!!тр'u!!шются в оnj!! !!еле'J-t'J-tОJ\-tcoom!!emcm!!Uu с во /растание,м nара,метра t.если т/с П\ДМ:.tе!'лu существует mю'JИЯ си{[t'j-l t,J}, разбuвающuх i!J'J-tожестJЮ {f}, 'Что< t2.t:.,ме!Ю,tlа то'п!ато М! считается предшествующейес.IИОТ!fетим, !то то'Ч!,u отве'Ч(]'Ющuе /ю,злu'чffыlм з'J-tа'Чеf/UЯ,i!! nараJl1етра, !!се2да с'Чuтаются ра,/лu'Ч'J-t!!/,i!/U,tlИными словами.!!рив!ю, :~aдaBae!!y!!' ара!!етри !ески.
можно расс ,!атриват! как объединение РОСТЫХ!!РИВ!,IРИ'Iе!! эти!росты(' кривы(' ш!с!едоват/' ,н/с !Р/fбегаются TO'I!!/!JJ J'vl, коор!,И! аты которой определяются соотношениямирамстр t !ЮН<!ТОНН<! пробегает !ш(»!!ество {t .(1ко! !.а паа м е ч аи е 1.Iростую кривую можно рассмаТрfШa-IЪ!!а!! кривую, ';аданн! е!! парамеТРИ'Iес!!и. В/тосл! '!ае системасегме! !тов, разбю!ающи,\ сегме!!т, СВО,'!,ИтсяК од! юму Э'f омусегмент!.!!а'!/'стве примсра расс!ютри!! кривуюL;a,'!,aBaeM!!'!араМСТРIРIес!и уравнениямихгДi't=IПМСИl!ется на сегмент/'],то!''Ie!![7Г 27Г] ,[2/{,3/{], [3/{,!я :~на'Iени!!системы ураf!!!е!IИЯtи:~(1у =cost,(11.4)sin t,О, 47Г], О, !/'видно, система сегмен] разбю!ае-f сегме!!т47Г], ЩН!-кю/к,!ка';анног/ссег!!ента!.анно!!определяют простую КрfШУЮ (по,!уокр!жность).
Нагю!дно ясно, !то в рассматриваемо!ри!!ерекривая L представ,!яет собой дважды об,\ОДf!МУЮ окруж!юсть.3 а м е а н и е 2. Рассмотренный !ри!!ер и !ример строфои!,ы по!!азывают,и!!ет!ТО'I!И!то крива!!, задавае!!а!!саМ/;f!ересе'Iенияи!.ал(/'ара!!етри'!ески,,Ie!ю!!!ет!астки сам/,на,!е-га!IИЯ.3 а м 'I а н и е 3, В слу'raе КРИВОЙ,;а,'!,аваемо!! !араметричесю! при помО!!!'и уравнений (11,мы будем также говорит!оара!!етри;ации у!!а:шнной кривой!риюмощи/тихурав!!е IИЙ,!ата же кривая L може-f быть параметри:ювана ра:~ли'IНЫМИ способами.
Мы будем рассматривать все1)j\1ноже;:тво {t} пр/'дставляет ;:ОfЮЙ одно из !'казанных выше множе;:тв,, и lTlTPAЮГ,ПГИ Ю,<ЕНlllАВОЗNЮЖНЬН пщ <].Me'l ризац ш крИl рй L, ш .lучаю ,Шz:СЯлюбой даl lРЙ пщ <],мет)изаЦllпутеNI представлеюlЯ парамеl ра tв вид, ю"р' рывных, строп' во:~ра(тающих ф\.ню,ийГР пщ <].мег"ОТ]\Н1ТИМ, ЧТi' ЛИШЬ при таки':ванияхкривой3.,ара ,нтрасохран l(Т(ЯЮРЯДО1,следованиято"кнаLliонятисCTpallCTEe1пространстненнойllliнятие,ро-юи КРИlюй вводfПСЯ В полнойием1ЛliСЮ>Й. ПеРВliна',а.lЬЮ> ВВ:"шТСЯ ЮНl1ТШ' прост:'" ,роCTpallCTEe1 юй КРllВОЙ как М1южеСТЕа {М} точек ПрОСI ранс ,ва,1iоор.'шнаты Х, у их =z,соторых ОllредеЛЯ1iiТСll уравнениямиtp(t),а ~z = X(t),t~(11(3,1рИ ус.ювии непрер"IВНОСТИ фую.циii tp(t), ф(t) x(t) и УСЛliВИИ1еСOlшадеюlЯ точек М1южества {\1}, отвечаЮЩI1Х различным:~на'Iениям параметраt.Понятие ,ростой ,ространственно!! кривой и понятие рюбие-t}ния ,'ШО>l<естваслучае, ПрИlЮ,'lЯIIпменеНИll 1apa:1eTpa: Ta1:к ПОНЯТI1Ю простраllСТЕе1как и в ПЛОС1iОюи KpllВO'1,за,'l,ава~е,юй ара"етри"ески \равнеНИl1'lИ (11 ..5) 1рИ \.GТIOВИИ ,юнотон~101 О Ilзме 1ения параметра,а м южеСТЕе {f}.}тмети",,точ:(ti-1) _____ ~?==~"\jI( ti)пре,'l,ЫДУ lш'тествеНЮ.Iюс lТСЯвсяTep~BBe.'l,eHHall'НIНОЮГИll,упу"ктахвec~:'бра:юм пi pe~а пространс, BeH~ные кривые.4,ПОНЯТИСдуз.'УЮiте1ИНЫM1.IвведемU'НllТШ''l,уГИ 1iривон,аданной па)iамеТ)Ш'IеС1iИ.ПУСТЬ КРИl:ая<p(to)<p(ti),Ра!II!!Рис.11.3хс"Lзадает~'ара"етри 1ески \.paBHe~шямих(1 .\)- tp(t),угде парамеТJ:tна сегменте [а,ПУСТЬ Т-- ф(t),из ,1еняеТСll(3] .,Рi'И,ВliЛЬ~юе разбl1еЮ1е ce1MeHTa [iJ,;5] точками- t;itlt2t n = (3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
