В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 61
Текст из файла (страница 61)
юЙ.(х"(х')-неравенствуЭТОГО не может быть; поскштьку все Э.'fемеНТf.·l) нказа(xf'){нойюсле1l,0Rателыюсти У1l,0RлеТRОР;·!";Т-Таким образом, предполож:е-? .)ние о том, что непрерывная на сегментеетсянепреРf . шноЙ.paBHoMepHf;юказана.С.Лif,дсmвuе.]. Т02да дл;!затъ таnое] 'f.штU'l'НО./;;>r.:олеба'Нuе w 1] фннкция не являпротиворечию. ТЕ:оремаBe1l,eTIПустъ Фу1tni, ;г.яНСnр;р'Ы6Н,; Н,! СС2.Aitсшn'люб;Ро f;,;ложuтелъ'Н;;ц) 'lUiла G .МОЖ'НО ух:аО. 'ЧЛЮ 'На паждом ltjnmадлежаще.Ait се,;меюnусе; ;";ieHrne [с d] длu'На d - с ];оm, ;Р02'; ;";iе'Нъше д.фУ'Н];'ЦUUО К аз а т ел(х) ;";iе'Нъше С.TOJIj·f'O ЧТОЮf,а (анной тео] функция I (х) равномернос т в О.ремы непрерывная на сегментенепрерf.шна на этом сегменте.ТЛЯ любог; с>Омшкноуказать д > О такое, ;тотля Лf' ;бых х' и х"Cer\ieHTa [а, Ь ]юВ'fетворяющих условию< Вf·lПштняется неравенствоIx" -лх')]II(x")с. 1о;,а.,жем.
что на f,ажюм прина1l,лежащемсе!мент\ [а, Ь частично,;' сег\ е пе [с, d], 'улина d - с которо!омеш·ше указанногоКО'fебание w <lfУНКЦИИмеш·ше с.самомуеле, посколькн фннкция(х) непрерывна на сегментеIIIc, dl,. ;тото на этом сегменте мож:но(x f )= т, аверхняя граниIX'f - х' < д- I(x') I(х") = l'v1,Iс. НоYf,a(aTbm ина сегменте,1]fl,JПfна се! ;;ента [с,I(x") - I(x') -3 а м е ч а н и е.миточные нижня;·! Итеорему 8.8). Так;;ень пе д), то II(x")d]m - w.с.wl\'Iножество {:г} точек числовой прямой называетсязам'I{;НУrnым, сеfИ ОН;;CO.!f; РЖ;j"Ш'" спои ПР;'.!f;'l{;олебанш;м(.<J.ff.HbleТОЧffИф;'нкции лх) наТОЧНОЙ Ш'рхнсйфункциитаf,ие ТОЧf,ИТОЧНОЙ2).Снр;mе.
f.fИ·d]назы{р fНЯf;fИна,;том сегменте.2) Определение предельной точки множества дано в п. 6 § 4 гл. 3.1Ю,1Й 1ШТElТifen! '']Iъи;нар на ,;aM'I{;HyтnM ;;;рани н'ннпмpai;HOMi;PH;; неу реръи;на на 'том МНО'"ств!;,-lока;ательствоэтогоутвержденияаналогично дока:~ательству1)етеор:,'ое,Щiка,iатеJii;iТiJi тсорсу;уыХ множествасе iИ отта ттритп{:1'};;'Ж;;"Пi'K;;TOP;;Mi' иттт;'р Щ,1\',{ х }, l'vl Т1ОжсствосяOт'l{;! ытым,М;,;i'СЛИ пссОна;ывается ('ну ('Р:п У1 З ,шаст-ТОЧ;JИ Э'; ;;г;; МН;;Жi'ства ПНi'ТРСННШ'.говорил" что данное MHO:JICeCтBO {х} iiO'l{;PblтO сиi темойLOт'l{;PblтblX MHO:JICeCтB 2), сеJИ ка",' щя ТОЧ;Ji; Х этого iП1ОЖССТВJ1 приттаll,JСжит по крайней мере одному множеству системыL.Докажем следующуюлемму.Ле,м,ма Ге"Й:н,е-Вореля 3). Еu!и сегметn [о, Ь] nO'l{;pblт беС'l{;оне'Ч,нойiистемойOт'l{;PblтblX MHO:JICeCтB, то из этой СИiтемы МО'" но выдеLлить 'l{;оне'Ч,нуlО nодiистему I: MHO:JICeCтB, 'l{;отОIЮя, тa'l{;:JICe nO'l{;pblBaeт сег-].Д о к а з а т е л ь с т в о 4).Пусть {:1'} -множество таких точек[о, Ь], что ССiИ Х приттаllЛС ;,'ит Э'; ;;мупокрывается некоторой конечной подсистемой;Ji1ЖСМ.iiПОЖССТВОтоу']"множеств системыСОШЩlli1i'"L.[о, Ь].
Т"к ЮLiJ Тii'iЮL Опокрыта некоторым множеством системыLи ,сто множество открытое, то;;тто ПiiiJpblB"i'"ПСiJОТ;;Р;,;i' сс;мптт [о,т], Ш'i' ТОЧiJИ суот;;рого, cor,iacно вышеска,;анному принадлежат множеству {х}. l\'Iножество {:1'}, очевидно, ограничено. Пусть 7sup {х}. Убедимся, что х принадлежит множеству7 = Ь. вIlелс, х тт iiJрт,пi' ТН'К iTOPT,!i; iП1ОЖ;'СТВОi;=И, следовательно, этим же множеством покрыты все точки неко-TOP;;ii'итт ;СРВi1Ламножества{:1'},(7 -,ХЕ).
Тас,у сУ"К ХприттаniС ;"i1щаявытекает, что сегмент !п,ПОiн:истемой= supj,как угодно бли,;кие к х, и поэтому найдется точка :г' ,стогоМН;;Ж i " тп СИСТi'МЫL.- Е. Х Е). ИЗ ;;ПР<Л i ,iСТТИЯпокрывается некоторой конечнойПрис;;еllИНЯЯ кваюшее точку Х, мы получим конечную подсистемуко i;;Р"Я ПОКРi,шаст ссгм: нтIlОТТУГППЪ, что Х< Ь,сегмента [а, х''], где Х:.10[0,7].LМНiiЖi"'Тii;;, ПОКРi,rмножеств системыСлеllОВ П<;; п,н;;, Х принаllЛСЖИТL<ттокр:,ша,jii б:,;L,. ЕешТОЧ:JИ пеЮ:ТОР;;;i'и ПО,'iТОМУ точка х" принадлежала быэтогоможстта:у Ка:Умножества {х }.
Таким образом, множество{:1'}7 -Тi;'ПЩЯ ш'рхттяя :р нтт,совпадает с сегментом [а, Ь.ЛСМiЩ Ilоказатп.1) Определение ограниченного множества дано в п. 6 § 4 гл. 3.2) Если множество {:1'} состоит и:~ одной точки, а системасодержитОiП1О О': : JРТ,п ;;С iiПОЖССТВО. то11БУlli'"говор ПЪ,этi'i'l{;Р'blвшi'П! ука:~анную точку.3) Э. Гейне (1821-1881)немецкий математик. Эмиль Борель (1871-- фРiНТЦУЗСJИЙ iЩТi4) Э':;; IlоказаТi ,ibl:TBOматематику Анриi;iюснов"н;;;;Тi'l'рИрiiiЩiiИЯ.интеграла Лебега.lебегуiЩТИiJ.сйпс-l ;;;рi'ЛЯ ПрИП i ;(1875-1941).;;'Жi;" Фраm:узск;;муОтметим, что Лебегом был указан и,rй в этQi: г, "1Вс'.
ПОiiХОii КттопятИi' ИТТТСiр"ла ттоситПi1иметт iiЩТТИСН<ЦffЙИf [ТЕГ; '[[ГУЕМЬГ;аеМож ю елеllС "'ЩИМ обра:~ом341,1еМС1УейпеБореЛЯ1ал,n'/-l,У'" ,е 1) ''''pa'/-l,'U, '1е1 'Ное М1 O:Jf{;i:C"'rJn {;1'} nm:рыто'/-I,(;'Г'/-l,Ой системойLотnр'ыт'ых M'/-I,O," "ств, то из этой систг:мъMO:Jf{;'/-I,ОПО'" 'рал ,,'ar:,:Jf{;e nm:рывае'"I:Ilока:зат:'лы:тпо ТСОР'оппосропрПРОДОЛЖИМ ((С,) па всю прямую, ПОЛОЖИП1'ераппой I(Ь) ПРИ;1'и равной /(n) ЩШ Х <' (~, Так как /(:1') ~епрерывна в каждой ;очке сегмента, ], то для любой точки;1' ,:того сегмента и любого ,;аданного Е > О можно> з:mисяс u "" вообщс говоря, от х,11ЛЯ n;'1,иудовлетворяющих условию- ;1' 1 < /,i, выполняется неравенство- /(х)1Е/2, Та1ГИМ образом, сс;мпт'г [а, Ь] п 11ГрТ,п ',СС1гопс ню"указат' та1ГО:' б'<ИПТ:'р,га,юв (Т-бi/2, х + б' /:г),изПОiН:И i тсм;"],-б'I:бLможпо ПЫiН\1И'; ;" в С 1,1У ,1СМ ,1ЫГейне-Бореля, конечную подсистемуСС1мепт [а, Ь], Пстт,1/ iинтервалов, также покрывающую/2зпа'1епие б i-И ПСРВ:1Л 11",," -удовлетворяющие условию11ЛЯ Э'; :1Й к 1печпоил ",'Ы:' ТОЧ1ГИ сс; Ш'ПТ:1и ;1' -центр того интервалас+б' /2), (У /2, системы I:, который покрывает точку :1", Так как< б' < б' и IT" - < б'.
то /(Т') - /(Т) Е/2 и I/(T")- Лх)1 < Е/2/2-р- /(;1')1+- /(;1')1< Ej2 + Е/2>= Е,>Итак, для любого;аданного ЕО мы ука:~али такоеО, что для лю',ЫХ ТОЧС1Г Х,," i'i'ГС1СП' а [о"Ь]. у ,m';;'Т1ГОРЯЮЩ11'С С'СЮВИ", ;х" б,выполняется неравенство 1/ хр:шн 1М:'РНО непреР;,IВН:1 Н:1') - /(;1")1<Е, Следовательно функция лх)i'i'rMeHTe [а, Ь], Т:'ОРСМ:1 ЮК:1З:1на,ИнтегриртеМОСIЪ непрерывных фу НКЦlltl,г;!н, ;{сную1uHme,ipupye 'iia3.теорему.(х)Непрерывна,;! на сег 'iieHmeна это,м!е!,'iieHme,о к а з а т е л ь с т в о.,JJ,аНО'fЮ(iоеfG>О.силуравномерной непрерывности фуш;; ;иина (егменте [а, Ь ]шя1Олог;сительно;о ;исла /(Ь - а) мог;сно указать такое 6О, ч!опри ра;биении Т сегмента [а, Ь] на ча(тичные (егменты [:Ci-l'шины6.X'iкоторых \;ень тте6">колебание W'i фУНКЦffИКЮК,JJ,ом та ;ом частичном (егменте бутут меш,шеСfе,JJ,СТRиетео;ie\ibI 10,2;.=nLw;6.x:< Ь-о, L6.
X ii=lс fe,JJ,ORaTe fЫ1О.f( !) Вf,ШG. шенынаПОЭТО>ifУ ,JJ,.Ш; таких разбffе iifЙ11S -f(x)G/ (Ь - а) (см.=i=l,JJ,.Ш; HeffpepbIR 1011 на се; \;енте [а, Ь] ф\ НКЦifИДОл таТОЧШ"lе у(ловия интегрируемости.1) См, З:1" '''1:1пие в Прi' 1Ыi1УЩ;'М ПУПКТi2; Мы берем интервалы (х /2, х +удобства дальнейших рассуждений,/2) вместо;1'+дляlН"lЙ lШТElТ,Интеl"рируеМОСТR, некоторых раьрывных4.IbТ будем ГО;(iР;Лточкащу,!"1,.;ТО ТО' ка хПРИН;]ДЛi'ЖИТу iа;аНШiМУщй.юкрыт;]ИНТfOрвалудую-TfOOPi"uТу;оре.муl.
10.;сиа02j)(Lji!{'ЧJ"u;!f;ЛОЖUПJелъ'Н';?о ;!uсла G.MOiJfCHO ук;азатnъ !;;OHC'iiHOC '!'UСЛО 'U'нmерваЛО;i, nОК;1J'ываюuj,'UХ всето'чхuэтойu.ЛМЮЩfiХ общую с J.MM!J д'!",fiе'Нъше ,m f ; (х) u'Нmегрuруе,Аiа 'На !e?/;ieHme [а, Ь].'Насег,Аiе'Нmедк аа т е л ь с т в о.ем то';ки разрьша ФУНКЦ1ШПустьI(x)тано любоеконечнымсумма длин !клторых меш·ше 2(М Е_ ш;О. Покро-G;ис юм интеРf;а;юн;Г,те М и т -ТОЧШ·lеверхняя и нижняя грани I(x) на сегменте [а, Ь] (случай М = тMO(!fHO 1[СК;[ЮЧ1ПЪ., так как тог;а (х == сconst). 'ТО';ки Cer\ieHта;, не прина1l,лежащие указанным интервалам; образуют мншкеСТГ;О.COCTo'"iiieeизконе' ногочислаCer\ieHне[[ересекаютfТ'"Iтов. На кюк1I,0м из них <I;ункциянепрерывна и поэтомуl !авномерно непрерывна.
Разо; ,ьем ка)К1I,!:'IЙ такой сегмент так,чтобы ко;[ебание Wi <I;ункциина люоом частичном сегменте, l)азбиени''.;,,!f!f;'2(b_a)'"'"е" ъ 'реО", ,е П1, [1' ,iЯ эти т, ;аз4"шения и, ' ;БЫ)10.интервалы, покрывающие точки разрыва функциилучим ра;биение Т всего сегментаnслагаеМ!,·lе суммы ~(равной10., Ь .s)S(х) мы по1ля этого разбиенияразделяются на две'i=lгруппы ~! Wi6.Xi и ~!! Wi6.Xi причем вперву" ; группу входятвсе слагаемые; отвечающие частям разбиения Т, ;;бра;; ;ваНШ·lМиз1[нтернаЛОJ;,юкрьша,;оОО"'то';киразрьша,ано[;тору,!";;стальные слагаемые. Так как колебания Wi = Mi - ffii 1I,ля слааемых пеРJ;оij[ы'ТО J;лет f торя,!" , нераг;е [ст;у W'iМ - т,тоWi6.Ci ~ (МIля сла,ае\ъIX-(М - т) __Е__ш-,-)т)[ЫШ;<2(ЬЕ2ПоэтомуТаким о; ,разом,S-sЕ.Ита <;, 1I,ля у!ка ;анной в условии теорем!.! <I;ункции лх) выполненыт;;статочные ус;; ;вия интегрируемости. ТЕ:орема 1I,0казана.343С,ледст,{}гРШJ-m '!СН ЕЛ,;! ?ЕЛiue,сег,ме'НmеI (х),фу'Нr.:цuлI{,мсющалr.;ОНСЧЕЮ;1'!{'/11,;,р!!,;р'Ын{}"г-------;'Ч:llCiЮfj,н,mегрfjру('! и'?ЕЛ,;rnо,м ссг,МСНfi!' ) В 'чдсrnносrmiх:у(> !!!'Н!''НеnреРЪUi'НШЕсег,ме'Нmе'Нада'Н'Н!,!'и'Нmе;;рируе,мана "то,м ссг,мснтс,а м е ч а н и е,,то есш функцияОчевитН!!iiнте;риI(x)1"41зруема на сегменте], а функция g(x) ,Iтличается ,IT фУН!ЩИИГ(х) литттьконе',ном числе то1~х,21чек, то функция g (х также интегрируема на (егментеЬ, приьчемьJIdx=аJ g (х)аРа; (мотримпримеринтегрир 11',руе\юй функции, име;, !тттей бе, и)НСЧ1Ю,числофННКЦiiточек(х)рис,1(х)-11у ка, :аннаяках х nнанаiолусег\ ентахiолусег\ ен [ах=1]:атана=С1n 2n ~ 1]Сn+2' - ,71,= 1,71,= 1,О.ФУН!;, ;ия имеет71,на сегменте [О,ра :рыва,10,\\в точке= 1/71"О,ра :рывы3,.
..- гоФИКСiiрне\рода вовсехлюбое>точ-Покроем точ;у= о (в любой m;ре(тно(ти этой точ;;и находит;я беп;онечное число точе;; ра:рыва <I;ункции) интервалом(-с/4, /4). Вне этого интеРiта!;а нахо,Jl,И;С'; литтть коне' ное ч;;сло р 2крое\'точек разрьша фу iКЦИИ, кажi;нтернало\',JI,,'шны\!ень тте2риз кото; ,ЫХ мыумма,JI";i;H;о[;н ;ернаЛОI;,по;;рываю ттих в(е точ;;и ра :рыва рапматриваемой <I;ункции,меН!,ше ~1)2наЕ_Е. еле ;овател;,но, ФУН!;!!lIЯ; :егменте1);',СIИ Р -ЧИ!'Л!!разр ,ша, тора,]!ыва интервалом длины/2!2) Это число р,ависит, конечно, от Е,I(x) интегрируемамок отонныО; РННИЧ4'НIIЫХ'е.I.елеI [HOCТi'М','УНЮIПИ Г(:г)с,; ирои:~вольным ио. южите.'IЬНЫМ числом[ и ра:~обьем сегментна равные части,. длины которых меньше f(b) ~ f(a) (слу-чай Ла) =) можно исключить, так как тогда (:г) = COl1st .nОценю) д'IЯ ЭI ого 'азбнею ,я раЗНОСI" S - s =ШiL:::.Хi.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
