В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 57
Текст из файла (страница 57)
,{ТО 1j!УНКЦИ;1у:';ывает в точкеТак 1<а1<(;:) =в(tзрастает, либоО, то и в то;,Идру;о;,Gтrучае найдется такая окрестность точки с, в пре,lелах которойр2) (:;;) имеет разilыc зн.u'Ки снсвасправаl'.. Но то;да попре,lыдущей теореме график функт~ий у =х имеет перегиб вTO'{KeII(;, (с).3 а м е ч а н и е. Конечно. теорема ij.8 имеет более узкуюсфе]действия, чем теореJ\Ш 9.7. Так,. теорема 9.8 не решаетвопроса о на. ШЧИИ перегиба для Gлучая, KOr,l.a у Фуню ;ии у =не сушеств\ет коне'{но!:!ДШ Gл\чая..(с) =т]:е;ъе!:! ПР01;:ВОДНОЙ.а такжеВ пос;еднем Gл\чае ДШ;ешениявопроса о наличии перегиба нужно изучить ПОВ:',lение В точ~ке с ПР01;:ВОДНЫf'ысших 1ЮlJЯДКОf' ,{ТО б\дет сделано {аш в§ этой Г.;авы.Позв]:аТ1.;;je];асс ,10; ]:енно;,'в f1]:едыдуше;,пункте, и покажем" что вопрос о на. ;ИЧИИ перегиба у графи~ка фуню jии У=х 3 - 3х 1-может быть решен и при помощитеоремы 9.S.
В самом деле, 1'(3; (х) =M(I,6)=/:: О, стало быть, точка9.8.являетс;; то {1<ОЙ пере;и(:а, со;ласно теореме'10шруемости "!}ункции},ЛИ!!'окрестности слева и с"рава от сдл>'точек,",)кит" сун ('с, '''''''''!ие коне',ю>й пр,>ишоД!юй Г[о"азательство теоре>,ы,а,,'}ает с доказательством,9,7,е)ка''',,''н"'''}'тор'При этом следует дополнительно пре", Ю~с у"аза"ю,r"(")измене ,ия" июсло "но COB~приведенным выше.да",ее, м(')кю> договор'" ",'я пр" ОПl"'дею'ю,ипе "'гиб,,ипс,ю~Ч;IТ;, ,'лу'й", когд"ГР;lфику В ,}ассм ,тр ша,'М('Й т}, ще парал-л}лън,а }",и Оу 1).таю,ii д!>Г}Ш('l"'ННОСТИ в т,'орем(' 9.7 :\н>жю, },тю, ",ть-ся даже от требования о,шократной ;юj,Ференпируемости функции f(x) всамой точке с и счюрмулировать эту теорему следу;"ншм обраюм.Пуст'I' Фун,>чия= f(x) шлсст l;;Он,с'Чн,ую вторую производн,ую всюдубы''''', MO;)fCem,то",>иПуст}" дал", Фун,nчия у = .f(x) н,спрсрывн,а в т,; 'n' с и графиn этой фун,nu,ии иЛI' 'т nасатСЛ/I'н,ую 2) в то"21;[(, .f(')), Тогда, 'слив пр}д}лах уnазан,н,ой о",рсстн,ости вторая производн,ая ,tC2) (х) иЛlсст разв "еnоторой ол~рес "nос'''''',о'Чл~и С, ,;ан,ыс зн,аnи сл}ва и справа ,;т то'Чnи С, то графиn Фун,nчии у= .f(им' 'т';ыПри М е р.Наiiти точки перегиijа гра,,!шка функции у.
Эта "!}ункция имеет вторую ПlЮИ ""'дную всюду ю, бе};коне',ю}й пря}юй,за исключением точки х = О. в точке х = О рассматриваемая функция не; 'рерывна, но уже перваяПlЮИ "'" ';юля },б,}аТТ~;lетС/, в бе};коне 'н' "'т,,. ОДЮIКОгр;}фик фу" (цю; У = х 1}3 "';еет В;ею,ную, паР;lл"ею,ную оси 0}1как втораях,(е (О, О)9.11 i. Т,к3)'роизводная29Рис.19.---ии,,('т С ,ев"и };пр;ш', от Т' ,чки хУ = х /3 "';еет Ш ре; ,,;б§ 4.Оазны(' ЗН;IКИ. т}, ГР;lфик функцииТретьеТеоремау ==точю' (О, О).;5}3jиба9.Пует'ьn~1 -'Ц} лое 'Ч,U} лОnует'ь фЛ-{,n'ЦUЯ(х) имеет npOUJBodHYi n ТЮРЯ" !na n в HenomopO'il опреет-+еnрnuзводну1Оnв еа,мuu mо'Ч,nеПуст'ь, "fалее, справедливы сле,,)Уi пцие соотношения:j(2)(c) = j(3)(c) = ...
= {п) е) = О,С/'УЧ;IЙ соо; ,,,етс; '''у(''j(n+l) е);начениюi= О..f'2 Х,>т>, б"r п 'l,а"ю' 'ы'ую0!1.') Это вытекает, например, из того, что график о!jратной функцииимеет в этоii точке касательн,\'ю=О.(9.S)= уЗг !бМ.являетсяувлОi;;'Нее . U.!;!ее!у;ЛО!iUЛ'h'Нъzilс,pnl) (i) >ипри Рn+l) (с)1/Д о к а з а т еь с т вч е т н ы м чис!Ом. При n =дает сnр/;С лm;а.н'Ь'Н'Ы·L'i2Пусть снача. [а n являетсядоказываемая теорема совпа9.8. Taii}i'Je дсжаза;;н )й теоре .!i)ЙНУЖ[Н)i'ести.!Оказательство только .iЛЯ ч е т н о г о nПусть четное n у.!Овлетворяет условию4.Из условияnj(i l)(c)"# о и из теоремы (3.9, примененной к функции jH(x),вытекает.
что,;та Функт~ия j(n)(x) шбо возрастает. либо убывает в точке с. Поскольку кроме того. j(ii)(C) = О. то и в том.и в ДРУГОJ\of слi чаедосm.umдо!'Н!! .на.нал оnресm.ргосm:ьто'Чnu с. в nреi)елах nornopO'il j(n) (х) справа u слева от с нм.еетПi !з'Н'Ые3аметив,;то, разложим Функ;[ию j(2)(x) в окрестности точки с Ш) Фс)рмуле Те(шс)ра с остатс)чным ч·[еном в Фс)рме Лагранжа. l\1ы получим.
что. ля всех х из достаточно малой окрестности тс) [ки С i[еi+JДУи х найдется тс) [ка ~ та iая,(i)+ /(З),(с) (х _+ ...1./(n-l)(c)(п _ 3)1Соотношения(9.S)+(х -iг(n) ((:)<,(п-2)!(х_с)п-2.позво. [яют придать последнему равенствуслеДiЮЩИЙ вид:j(2)(x)=,(n) (с)!' . <, (х(п-2)1'_с.1п - 2/.Так как в пре, е. [ах достаточно малой окрестности точкиЦИ!i(:t:)и.[еет iаЗНi;iезнаiiрсегда лежит i[еЖДi с и Х, тс)п]шсип]шЫсилу четности n. и вся правая частьпри х<си при х>pn)(~) (а, в,)функ-итаiiкак~имеет разные знакис. Но ТОГ.i.а и ;!'вая часть (9.9) т. е. j(i)(X)в пре.i.е. [ах достаточно ма.!ОИ окрестности с имеет разные знакиприс и при>график функт~ии у =Дс.
В СИЛi теоремыj9.7это охим! !'Т перегиб в точк;')[0 n теоре\[а ДOiiа;ана.CTii теперii n ~ яв·;яеТС!i неi[етным;ачает. что1\.1 (с с jс),и,[етн!тельно предполагается. чтоj'Чi[С!Оiiс) = О. Так как приДСШО.[ниn = 1 .!Оказываемая нами теорема совпадает с уже .!ОказанноЙ выше тео-Иl Ар' мой9,2,т(! Д(iстато (н(! ПlJOВi стН О Г оп?о ДT~3,Пусть нечет 10,'леННОi ти,i ДOfiаiiiтел iCTi317TI,уДовлеТВОРЯ i т УСIlОВИЮ3г(n+1) (")прOf ("демi;н:суждеiШЯ для iЛУ'iая",ДiЛУ'iая) (с)OНi! провод пся ;шал )iИ'iНО,И, условия {(n i l)(r) > О и lП TenpCI,lbl 8.ПРЮ,lСНСННОЙ Кф, НiiЦiШ гл),в ,iieKaeT.эта ФУНКЦИiiв()зрастаетв ТОЧiiеiiСЮШЬКУ, К]1О\iе тог(), гл)(с) = О, то эт() iI:значает,что 1-tайдетс,я достато'Ч1-tо .;\Л,ала,я o'X:pecrтmoc777/b 77Ю'Ч'Х:'U С, в npeдe~ла:т(:::) 0777,р'U"ЦU777,елыга ('лiва 0777, 'U ПилО ij{"'Umiл'b'l-Щ.Заметив '-)то, разложим Функт~ию j'(x) в окрестности точки ссправаотпо{е] 'еЙ,1О]'а с остат() {Нi,!l\lbI{еНО\1 в фО]1 ,ie ЛаiраiПОiУЧИМ, что ,шя всех х из ,юстаточно малой окрестностит()чки с \iеЖДiи(+ -'{(2)(с)-,х 1.'"'( )f х =TaKaii.
'iTOнайдется т()чкаjс)+ ...(n-l) "')f(n):...,-------,-:-,-' (х - с)n-2(n 2)!.(n(1 )'- (х - cl n - 11)'',ютношеНИii (9.8) и ДОШi ште,УС1ОiшеiЯЮТ переписать равенство (9.10) в ви. еj'Хf (n) (1)= . - (х\)!(n-(9.10),1'j'(c) =ii 1 iЗВ()-с)n-1.11)Так как ~ всегдаiежит меж, (У их., то iЯ всех х из , OCTa~т' )чно ма.ШiЙ о iрестности ТОЧiiИ ПРОИii'одная гл) и,) 1iТ]1iща> .<тельна при хи положите,iЬна при хПри нечетном10 nЯВ,iЯеТCii чеТНi,i . а ПОЭТО\1' BCii правая (а, ста.Шinчис~иieBaii) чаСТi (9. 1) дрсехиз достат()чно \iа.ШiЙ (iКpeCTH )CTiiотрит~ательна c.TleBa от с и положительна справа от с.На осн шании Te()peMi,i 9.это о ia'iaeT., 'iTO фi iiЦИЯj(x) имеет лока,iЬНЫЙ минимум в точке . Итак" для случаяj(1' 1) с) > О вторая часть теоремы доказана. Так как случайj(n+1) с) < О рассматривается совершенно ана1ОГИЧНО, то Teo~рема полностью доказана.Прие1.ИСCiiеДОЕЮiна ЭiiСТ]т~ию ЛХ) =иiеГЩ1 Функ-х - c)n+l.
Легко BlI.r.eTb, что j'(\j(2)(\= О j(n+1) (с) = (n1)! > О. Согласно Teope~9.9 при 'Чет/го,,,,' (n + 1) фi iiЦИЯ И\iеет iiНiiв ТОЧiiех = с (рис.12) а при 1-tе'Чет1-tо.;\Л, (n 1) график ФУНКiiИИ имеет... =j(n)(c)перегиб в точке М(с, О) (рис.9.13).ххРис.Оnреде.ле'/-luе'u 1(;1.а л 'Ь Н О й а сГш')рят, чт,) nрл."mл'Uбы одн{!М.КШliIll'!fi!O +ООUЛ'U=вр-f (х )liIllх-+а-О00.1При м е р.рафик функ ши у =асимптоту ;Т= ао rn о й граФ'U1(;а ФУН1(; !:Шl У =Щ ед, л'Ьных знu'Ч,е !U'{in rnx-+а+Ор9.13Асиг,штоты графигеа функции§ 5.rnРис.9.12ю ,) liш .!.х-+О+О х= +00,имеет вертикальнуюliш .!.ПреДПОЛОЖИМiалее .
что ФУНЮiИЯ УЛХ)=определенадля сколь уго. шо больших зна'{енr.iЙ арг\ 'ieHTa. Ради определенности бу.iем рассматриватьу~-оо,ис. 9.=х-+О-ОCi;O.г,!Д!1'10.i;шие;начеi {ияnоло;ж;urnелы-(.ого знака.Оnреде.ле'/-l иеГово] шт,2.что nрлм.алух= kx+Ь(9.12)а1(;о йа с u м. n rn о rn о 'tl;рафuл !ллет.СЛФУН1(;'ЦUU У =00; еслu ФУН1(; !,UЛ1(;!!f---+хnредст, !!!Н,МU в !!иде(9.J(x)=k!+Рис.9.1.4гдеliшХ-++ООО{Т)=Тнорнма31')IИН\ГИ' 'ПТ(}ТЫ,{,Л того9, 1---+пр!'+00 'н li'ЛU'Н'НУЮ;юстато'Ч'Но., 'Чтоб!!! существовали два1i111хд о кз с1 тл hграфик Фуню щи У =т. е. ДfЯ.1 СТ)i)Т В n.fе n f) х ои 1\Т nт ь. ПУСТhимеет при х =00 асимптоту12)х1im kx + Ь + аС!) =х00х-++оосправедливо представление1iIll _f_(x_,) =х-+1i111 Iл!и= 1,;'+"хlim [Jх1ilp [1,;х!' +00х(9.1:1).
Т,iгда+ !!.. + а(х)]х-+ ! 00Хlim [Ь + а(х)] = Ь.- I,;x] =:'+::ю00Д о с т а т о ч н о с т Ь.2)Пуст;Второеде,из:лих1ij=2x-l I x+lупреде, fЬHыe зна~чения= 1,;,Х1пре~1х=-iа!iеЮiЙ дает}кдаТI,,!азность(:!)ЯВ,iяется бесконечно малой при х---+00. Ог !iзначив эт\ :\еСЮiнечномалую через а(х! получимiЯх+fпредстаВiение('еоре\1а дш!а~(9.хзана.а м е ч а н и е.Ана.ШiГИЧно опр! ,1е,iяется накюнная асимпто~та и д,жазывается теоре\1аслучая х00 .9.1011Д1I---+ -пи м еГрафик ф\+х+1при хтптi10.,iT\12!наI'iЛ'iННУН'aCIi+ _1_х+1'!П1 о 1У У = 2:1'и при х00,(имеет-00ве! !тика,1IЩЮi111И\1еет1111111/ /\1И, KPO~ю1аСИ\1~1ca,iiiM!I1C.
9. 5).Рис.,1е,1е,1iIll2х 2 +1imf(x) -х-+±оох9.15х,Ь::ю х(х + 1)lim [1х-+Ь::ю""lim f1 +{)х-+х=х-+Наря 'У с линейной асимптотоi,,Ы бi!Лi'i' Сlim00(9.12)1fх= -00.рассматривают также и асим !то!i!)KH!!!'i! BK'i.a.Говорят, что парабола и-гОу=юрядка, о!!ределяемая многочленом(9.>'В,iЯетс>' a;UAlnmm' ой ;'раф;n а фун,nu,UU у = "(ци>'ПР'.д;;т;ши ;а В !:иде "(Х)гдеа(х)О.пnх n+а[е1 КО';Оi>азат;, следу;' ,;"ее ут ;ер>;·;дею;е."'0,'0 'l,тобыу="'ел>'то "~У (912*). nеоб:од1-++"'''>М-"абы' "",е, твоваЛ1'+хЛХ)liш--+ се·1, ...... ,liш{(х) - (оп; n+ On_l XnО ;2)-'---'----'-----'----------------'-- =Х--++СХ)01,ХП n _1х n - 1+а,Х)]==ПQ....в :-ПОJ\.f параграфе мы изложим схему по которой целесооб>апроводитьИСС1едование1рафикаФункции,и>fшедемпример, иллюстрирующий '-fТУ схему.Для качеСТВ1'ННОГО исследования графика функт~ии у =це.>азно>е}f·;де1.BcefoпровеСТffслед\ющиеf·fCCfхfедо;аю ш:обfаСТ1;адаюш Функции.z,ыяснить вешрос о сушеСf ">)Вании асимпт,)трерт! ;fШЛf>ных и наклонных).30.Найти области возрастания и убывания Фуню ши и точкиэкстремума.40.НаiНи »:\ласти сох],а;;еНiШ напраВ.;еНИ!fВl>1ff.П')СТf·;ите) ;ки flереГf;ба.50.НаЙТf.; те) ;кишш; ';ею>есе ;еюшданны; рафикафункции с осы>, О;)ле;ю) СТ]" ШТС!f эскиз; рафикаФунк-ши.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
