В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Остаточный член в сlюрме Лагранжа наиоминает слее1'ЩИЙ, очередной Ч~lен формулы Теijлорашшь только (n+1)~яПрСШЗВСi шая сlfУНКЦИИ Гlt) вычисляется не в точке а, а в HeKOTO~рой ПРО>,fеЖУТО'fНОЙ ме>f,ДУто'! f,e ~ =+ е(.гторойИf указанны:< BbIfffe частньг< случаев (р = 1) приводит нас к(fстаТОЧНСilVIУ членуRn +6форме Коши_ -,---(,_а--,--)7_'--:-('----1_()'----)n .t(n+l) [а+ е(х _ а)].7)n!ак как формы Лагранл::а и КОffШ f\Твечают разным значениямра е falШСИТ от рто з 1аче 1НЯ еявляются~ воо;)' ,~e говоряфОР\fулах (8.46) и (8.4~)раЗЛИ'l1-tъ! чи.
Дш (fненки некоторьг<фУНКШ1Й форма Кошн ян~шеТСf1 бо.1ее предпочтите~lЬНОЙ, че\форма Лагранжа. Обе формы остаточного члена (Лаграюка иКоши обfГЛЮ ИСПOJЬЗУ''''fСЯтех СЛУ'fаях~ когда требуется f1pHте:.: или иных фиксированных значениях х, отшчных от а, nри~б iижеlf1-Uf 6Ъt'{ислишъ ф1(!!К'I~ИЮ.tЕстественнс} приближенно заменить(х) lVIНОГffчленом 'р(Х,и 'ШСJlе lfЮ оненить сдел анн)'! , , при ло\ ошнбf,у.
НаРfЩУ с этнвстречаются за~ щчи,в которы>:нас интересует не численная Be~ли'шна Yf,afa 1НОЙ ошнбf,И, а iИUfЪ порядок ее оmi!!ОСШ!f' ibl~Ufмалой 6ели'{и1-tыliля этоij цели У.ЮI)на fругая формаfaf1остаТО'fНОГО 'fлена (так называемая фор.NLa Пеа1-t(f 1)) к,становлению которой мы и иере:iОДИМ.Пусrn'h фу1-tКЧИЯ лх) И чееrn nроuз{(од1-t!>!е до порядка6 1-tекшюро'u >Жj >сш1-tосши шо'{киИ nРОИЗ61i f lfJjЮса~чой rnO"fKe а.)бо.fНа'шм каквыше, символомR n'+ l(х) и МНОЛfЧ~lена (8.:35) и ;lокюкем~ чтоpafHoc'l 1,1)-n 6фу 1КЦН{ля Rn+l(X) справелино след)'!' 'щее равенствоRn+l(X) =01(8.48)Это последнее ранеНС'l нона" 'т остато fНf"'шеНО\f,пре.fставленнымфор~че Пеа1-tо.Так как ири С;lе1анньг< нами пре~шоло.ж:ения:< МНОГОЧ~lен(8.35) и его производные до порядка n вк е1,чительно совиадаютв л'чкеМИ,- (], СО('" "'т'тненн,"НЗЯТЫМИ В тон Ж'фу iКЦН' Йл'чке(:г) и ее пт ,"нз (('дН!,i-то 'ПТ !if,едливы)(а ) -инамран' нС'! нао ," R(;;')( ");;.+1,4(849)49) в л е (шет fiР'Д-ОСТ!;," "Яl:татшениеш этого дос; аточ10 с ПО\ЮШЬЮ раненств (8.49) ДО ,азать" чтоliш R n +1(') = О.(,-+о, (х-(8.50)п)nТак как каж ;ая изR o, +1 (х) и (х ;lиlференцируе\! а (n1) раз НСЮДУ некOi ОрОЙ окрестнос; и то f((и а, справе;lШВЫ равенства (8.;19) Иiю(;ая ПРОИЗВО;lная ,!,ункции (х-а)nдо порядка (n - 1) ВКiючительно обращается в нуль т оь к ов т о ч к е а, товой 'fасти (8.;Ю);ля раскрытия несшре;lеленности, стоящей в леМО+'fЮ!nтеорему Лопита ш17.
Н;+1(');'1llП= ;IШ,""а (х-а)1) раз fЮGтrедовательно fip i\'енятьв результате чего мы получимR~+ (х)_- ,,)п-1х-+а n· (хУч п(,шая fiреДfЮG iеднее ранеписат; (S.5в видеliш;",'_;.... -R;,n-1,(x);IШ"(х-+а n; х-п).(8.51 )iC'i но (S.49) , М(,' мо +'ем fiepe(n-1)( )R n+1а1(,-+о,Так как пронз юднаяСООТfюше iНЯ(а) сущеСi нует и(S.49\ равна ну.силу последнегото предел ,ное та fение в праНОЙ частн fЮGiеднего раненс'! на сущеСТНУ8'iравно нуЛii''fTOизавеРfffает ;lоказательство равенства (8.50).Тем самым ВЫВО;l пре;lставления (8.;18) завеРfffен.за((Лi"'fение,аfj(iшем полност ,Ю фОР\fУЛУ Тейлора с остаточным Ч"iеном в форме Пеанолх)2.=j(u,) + .f';;ъ)+ ...
+Другая запись ilюРМУЛЫ Теiiлорн. Часто,а iнсыва~ЮТей" юра (8.:3:3) в HeCKo.iЬKo ином ви,;е. По. южим в(8.33) а = го,а) = ~xнозьмем остаТО'fн(,iЙ ч"формеЛаграюка (8.46). При этом х = ха~x, и мы пол, чим+j(xo+ ~x)(' ) _ .f'(xo) Лх.j 'о- -1-!- u+ .f(')(xo)(Л т 22!,"u,)" + ...'" л... + "",,"n)" (хо) (~г о, + .t,"'n+1)(" ха + 'i6.x,,!)(~J)o,(г+1)!"(S.53)ПСТ~ ~ТОЧН{неlШТОТ;('*'102811ЛЕНА,}и;ю НЗ ИНТ;РБ;Ш О< () <~) Ф(;Р\iУ(8 11)получаетсял,; Т(йлор,; (:<53) ~ЕляеТС;l ;CTecTг;eHНlГ iiбобш;i'Л(8~11)(CM5:5)и;Формула Л,;граюк,;Бастну'ФОР\iУШ,Т;лу'шеМНi"iлорс:на. Пр 1flЯТО;й(8~3;\)центром Б 'l'очю а = O~а.\1ак 1Орена дает пре(lстаБ~lение функ ши1aБ ;жрестн(;сти точки Хпро 1ЗЕОЛ ,ной функцнгра 1жа Кошиj=О.
ЗапИtiiемМаклореначленом Б формеjПеано 2):, (S.54)jгде остато 1Нl,;1);ляа-ЕIЩ:Б Фот меХn+l(;; + 1);j(n+l) (е.г< е < );2) Б Фот ме Коши 3)х3)форме Пеа(О<е1);(8.56)10(S.57)llСIЮlЬЮЕа~форму.1Ы(S.46', (S.47\и(S.48).Перейдем к о leНlie остаТО'lНОГО 'шенаформуле ТейлораJ\Iаклорена к ((Тысканию раЗ.1Ожения поМакш(ренаБюкнейших элементарных функций и к рассмотрению различНl,lX 11p 1ложе 1НЙ этой фОР\iУJЬ1.15.Оценка остаточного члена. РазлоvкениеHei"iOTOpbl элеТv1е 1TapHbIX функций.
Оценка остаточного чле1 для произвольнойции. Оненим для ПРОИЗБольноij функ ши((статочный Ч.1енфОР\iулеакюрена(8.i'A)фор\ е Лагранжа(8.;)5).1) Колин lVIаклор;'н - английский математик (16 )8-1746).,) При этом ;;ре,ц;юлагается, чтоимеет в окрестности точки х= О (;; + 1)-;" ир ;ИЗIЮДII;для остато' юго iЛс;;а В фор".!с П;'а;ю окрестности то'х = О (n - l)-ю ИРОИ;;ЮiIIУЮ, а в са",юй то' Ее х = О n-юпроишо . ;н:ую.З) Ен,; раз ИОД'iСРЕ;то ЗlIa'iСНИЯ () фор .i.\Л;;Х {8.и .56). вообщ!говоря. раЗЛИ'i;'(;].ПР<ДfЮЛОЖИМ,ра ; {м iТРИ уаем iЯ'fTOнамиФун {ЕИ!fj(:T)обл,щает сле.i.ующнСi\,ЙСfвеще i тве1!ное'lrnO для все'уiНii :ени!! iiPi'Y.}VU 1:пиz:гcnpii-и·!iiедш!! iO нера уенство(:г) I(85S)l'vl.ФУНКЕИЮ, о(;ла;lаЮi i.УЮ \казанным сво [ством, ;>Y;leM называть 1>1f'!!K'I~Ui'U, совокуп1lОсm,'ь всехкот !jlOU ограНИ'lена в окрестности тО'lКИ х = О.з неравенС'! ва (S.58) вытекает ,{тоМ.и fЮЭТОМУ нз фор>. уш,i (8.у)5) следуеfIR n1:0171+1 Ij(n+1)+ 1)11ро!!I~{nИтак, .чы nолУ'taем11020 'ч !С1Ш1>1/ !КЧИИ,УНИiiерсал'ЬНУ!{! оченкуocrnarno'l-в окрестности то'Чки х = О:( .г) IНarюмним, что ПРИfюбm.м Ixl n 1 .(n + 1);(8.60)фнксирова ffЮМT{,·+llim I.
!=n--too(n+ )!п.1:0171+1{n+1)1'совок/т/носшь все.Г nроизвоi!1!ытr к nnоОi'раНИ'lена 'Число.!!(см. пример(8.59),{тоО. ОТСЮ;lа вытекает. что выби11, мы можем сделать правую'{аст! (8.60) как угодно ма.ЮЙ. Это дае! нам ВОIМО!! fЮСТЬ ffP+3 §гл.рая достаточно БОfЫfЮЙ н!!мерменять ФОРМУfУ J\Iаклоренафункцнй,реобfадаi!!ЩИХ[ля при;;лил;:енного вычисленияуказанН!,iсвойство>.!,с!,бойHarfe-за;lанной точностью.
Приве.iем примеры функций, совокупность все:<точки х=j(x)О:=Щ оизводньг<еСТ, j(n)(x)=которых ограничена ве/. Совm<упност! всех ffРОИ!ВОДНЫХэтоil функции ограничена наfЮ(;ОМ сегментело>.' М=2) J( х)окрестности[-r, r(Т'О) чис-еГ.= cos х или= sit Х. Совокупность все:! произвоньг! ка.жлоil из этихограничена всюна ;;есконеЧШiйпрямой чнсло>. l'vl = 1.Разложение по формуле IРlаклорена некоторыхэлеме!!тарных функций.А.= е:Г • Поскольку ;(n)= е:Г , j(n) (О) = 1 ;l.iЯfЮ;;О-гоn , f a Маuюрена (8.;А)2~!<ieeT видn+ ... + х + R n+1(.Z)(8.61)пет ,точн{< < 1)(ОН;! люБО\1[-Т.
+Т(ТО)2Ю1ЛЕНА'10в снлуlOri1, чл'<е'.полу !им следующую (Щ1 llКУ для О(Т;l111ЧlЮГО чш lla~гпiIRn+l(X) < (11 + l)!е.Б.1= SillX. ПОСIЮЛЫ<У 1(n)(х) = Sill (г + n~){О1(n) (О) = siп n2форму.S11где(8.1;2)МаlOIOреllа (8.;А)laХ = Хх3-х5х{+ -:::1,-3.~"-1--Т-{.n,n,при нечетном\1ее] вид+ ... + (-1 )-1нечетное чис1Оn -при четномn-lп-l х-;-;т'"2+ Rn2а остаточный член в форме Лаг} анжаравенХn2•, Slll2) .IJиХ+ n-2 + 7г1i< е < 1).ОчеВИ;lНО, ЧТС1 наlЮ iOM сегменте [-Т, +Т] (Тного Ч~lеllа СllраЕеднва следующаilО) для остаточ-онеllка:п2IRn+2 (x) ~ (1)1'n+.,.....В. 1фор ,1У= cos Х.Поскольку 1(n) (Х)(О) =n~ = {о-1)Ма iлореllа (8.;А)laХCOS2:r;le n -cos+Х4!= COS(Х + n 2 )при нечетномn,nпри четномn,\1еет вид6,+...
+6.1)n Хnчетное чис 10, а остаточный ч.leH+(S.65)в сlюрме ЛагранжаравенRn12= (;"+:)1 COSn+ ., . .любом сегменте -Т, +Тчлена (>ненку (8.64).(еХ + n 22 + 7Г)(Т(О < е < 1).О) получаем ;llЯ остаточного(nус(х)1)акл)рttrа:з2~+~(1+х)-х2)3I)_1.];"-+Rn + 1 (x).nОстаточный Ч.iен Ю1 этот раз запишt м и ОЦttrИм Иг} u1-tжа, и G фо} .ме Коши:_фор,ме Ла6(_1)П х П+1R n + (х) - (n+1)(1+8х)п+1 (в фОро1е Л;1граЮЮ1),хR n +1Для оцею;(1 _= -1функцииО ~~О)"1,(1 + х)ш1удоб1(в1)(1+8.];)п+1'3.67)Коши).значени8.66'3.68х.
iiринадлежащихисходить из ОСТ;1 10чtrого члс'trааг)анжа (8.67). Пере>ош в фОРJ\Iуле (8.67) к 'Ю.1.УШiПОЛУЧИ,1 ДШi все"х из сег '.1еНТ;1 О ~ х ~хИз оцею;нп +х---+(8.69) очеви.шо,'jTOОценим Teiiepb фl'ЮЩИЮИСХОДИТi1 + ОХво< 1'lil1l R n + 1n-'tc:o1.ЛЯ всех х из+ х)111 (cel'MeHTa Ох1для оrnри'ЦurnСЛ'Ь1-tЪtх зна-< Т < 1.Для э 1ого бу 1.е\'= -1внимание,'jTOчлен в в iдеС;:];)дляпереходя в'е'Так как ОЧ 108.69+ l'остато'шо) о члена в форме Коши (8.68).хрин iмаяn1та -Т ~ Х ~ О, где' ОПереiiИ "ем )тот остато "Нi'1- 81<_1_П при nХ.чс'trий х из1<-< 1то OЦt 11Ю1рассмат) ·иваемых(870).71)(/3.70)1 + 8.]; .значенихмод;шм, буде;' иметьпозвол 1ет у 1ве'рждать ,О.1) Еще раз отметим, что в формулах (8.67) и (8.68) значениявообще говоря, различными.являются16ыI \1 Iкларf'ПРffЛ:[:)- (1+,веще<твенное[деj(n)(x) _ \v(п - 1)(п-n1)j(n)(O) _(п1),- 1\1 клореН\1- n[А'lиело,оекольку1+1)а-n,И\lеет вид001.00- ) ... (оо-n+ 1.)1'...
+ ---'------'----'----'-'-х+ R n+1 ():[:n;Гl,е ОСТ\11С 1 Ч IЫЙ член(х) -R00(00 -фОР\lе Лагр l11жа р 111ен+ ()х)а-(n+1)хn+11) ... (00 - n)(n+ :)n+1(8.72)(8.73)R n +1(.T) = О, иВ чаСТI1Q\1 случае, юта = n -мы ffOJП 1 Ч [м известн\ ю иНьютонаэлемента!шOl'О }«тса форм\лу iiинома(11 +!!.-+х1! х+цеюс' ЧИСЛСI,(0<()<1).n(n - 1) 2'2:х+ .. . + х.n(8.74)+Если НУЖ110 ПG.fУЧИТЬ Р\IЗЛОЖС'l1ИС'шучЛtl1а (1:[:)12Д11Учлена (u+х)n, то мос}(но вынести 0,11 ;аи ВОСfюльюваТflСЯliюрмулой (8.74).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
