В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 49
Текст из файла (страница 49)
ЬслиiейО всю;ту на интеРВGt,-те (а. Ьна этом интсрвалето всюдуiУЧ касательной, лежащий в всрхней ПОiУiЛОСi<ОСТil, состав, ~ieT с Ох острый УIОЛ, ста,ю БЫТi,у= J(x)идет вверх ВСiUДУ напом интерва,iе (рис.i<ривая8.12 .3, Отсутствие производной точек разрывы l-го родаи устранимого разрыва.
Применим теорему Лагранжа дляilbI~iCiiei iШ ОДiЮl'О ЗЮ,lе'iатеШ,НОIО Сiюikтва iPOil iВОЛДОЙ. Прежде всего докажем следующее утверждение. ПустьJ СТимеет '/\,mj, "l'НУЮ 17орпизвоi!'Ную всюду в(Лf!вm'1) 1700,u;or.;pecrnHocrnu то'!х!! с и правую (леи'!!!!)) щюизuод'Нуюса.моЙ'nfO"l!, e,'(ли(х) имеетn в rrUi"l'/\"17орпвое(леuое) 'Преде ,!,'ь'Ное ,IHa'f,eHne, то это 'Преде ,!,'ь'Ное "IHa'f,eHne !ЮU'НО17орпвой17ороизвпдifQЙ в 'nfO"l!,e с.Дш доказательства Iпого утверждения рассмотрим л uбуюЮCiiеловате,юсть {х n }iа'iеiiИЙ apIY'leiiTa, СХОЛЯЩУЮCiiсправа CiieBa). Учитывая" что, начиная с достаточно большогоНО!lера 17"функциявсе х nJ(x)ipiliaiieiEaTTOriЮiУОi<реСТНОСТii, в которойимеет конечную первyru производную, применимi'eopeM) ЛаlраНiЕафу; i<циихЮ cel'MeHi'Y 1При этом получимf(x n )--f(c)с[/1, х n ]= .f'(~n),,([х n , /rЛ.(8.1,)где через ~" обозначена некоторая точка, лежю щя между с и х"П,fСТi, i'еперь в равенстве,)) 17, --t 00.
ТОlла., О'iеВii!ЩО.--t.1'(справа (слева). Поскольку по условюрг) имеет в точке с конечное [равое (.iеiюе)юе значеШlе, iравая iaCTb (8.1,))ю определеiiИЮ iрелеЛЫЮl'О значеШlо;iЯiаiiа ipil 17, --t 00 CTpe~миться к указанному преде,iЬНОМУ значению. Стало быть, су! !,e~cTBfeT iреле, при 17, --t 00 и левой чаСТil,)). По ОiiрелеiеШlЮправой (левой производной этот предел равен l' (сО) и' (с О)). Итаi< в[е17, --t 00 равениво (8.1,)) лаетJ'(/,+ О)liш,1:--+С+ОJ' СТ U'( -liшО),1:--+ с-оJ'(x) .1) В, е УСЛОВИЯ теоремы Лагранжа выполнены, ибо фУНКЦИЯ f(:r) диф(а СТ;,быть, и Ш'ПР"l!ЬШ'!!;);ением ТОЧКИ;Ю '"й точке о,'гмент;' [с, Х n ]Непрерывность(с+О) и'(с-f(x)в то';ке С i/праваЕ( Лff д' ,"('лниi{( +fTe«fbHi'<ущеси,1:--+ Сследок ть непрерывн, ,стьj' (:г)в точкеПРff' еfШif i<iШfЖ() что ДОКii<Зiiiкенекотр"утвсржлснню:Юi'iBi рЖiii Шfi'Ti' i-fштерваЛi i (а, Ь), Mi,i приде,<Р('ии}, ФУ'Н'Х:ЧИЯ(х )UJ~lррrп ~,i()'Неч'Ну'Юf'Нij'Ю 6ClOaij 'На и'Нтер iале (а, Ь) тоГ (Х) 'Не .MO;JfCern иА!ет'Ь 'На:JTiiO.M и'Нтервале j!И Тiiо'Че!, устрп'Нимого разръ!вп, 'Ни Тiiо'Че!, роз{iъtва 1го lюда.са'<ом деfе,< ееief-:отороiiji'очке сiTepf,a<faа, Ье![<еСтву!ит конечные правое и левое предельные значения j'(x),i'O j'(x) шnрерЫ61f ii в rrUi'Ч'Х:i! с (в СИЛУiОf-:а«fаННОfО выше YTf,epждения).
Ес.fИ же хотя бы одного из указанных двух преде<ъныхзначеШf не существует, то j' (х имеет в rrUi'Ч'Х:i! с разрыв 2-гоlюда. Приведем пример функции, производная которой существует и конечна вС!иДУ наHeKoTopoIllинтервале и имеет в некоi'ОРОЙ то' [-:е ЭТОfО fштервала раз} ыв 2~1'O рода.интервале(-1+ 1)люБОf о Хi=ПРОffЗfЩifiаii этойСУ! [ествует и определяется формулойl' (х)2х COi, ~=Существование производнойj'(O)f,bltef-:аетfредеЛi,НОf о значеШfffЗ е! щеСТfЮf,аШf!+~x)-f(i!)"--'-----'--"--'---'- =го предельного значения. ибо уi'ln -l'1cos л=1тL.x--+OзначеЮf=в f-:ОfщеefaraeMOrO§8О.О ни правого. ни лево~12хcos -СУ! [<ествуетХО равное НУ<fЮ прел,е<ъное(см.i,in ~.L>.friначение, а е [агаемоеш' имеет в <пой точке ни правого.
нихНКЦffв точке х = О непосредственноПроизводная {(:г) не имi ('Т в точке хВ точке хна{х 2 с;е ~ 'Р" : ~ ~:f(x)Очеf!ИДfЮ, чтоPaCCMOTpffMфункцию[евого преде<fЬНОГО.4 .ВЫВОД некоторых !ераве! !С·!В. В заключение покажем.как с помощью теоремы Лагранжа могут; (ыть получены HeKO~4.торые весьма ПО<fезные неравенства. В качестве примера YCTa~HOВffMс.fед! ющие Дf,аiepar,efiCTf,a:I siПХlI arctg XlsiПХ21 ~ IXlarctg Х21 ~ IXlХ21,Х21·{Здесь под xl и Х'! можно понимать л!uбые значения аргумента.Для устаНОВ<fения неравенства (8.16) применим теорему Лагран~i1I:ОБl ШНl1\Я ФОГlllИ / (:[;) -фytSlПs1П[:[;1,::inx'2(~)lT,i"'р"Х" lЯC(:S ~(8. 8)=!'2)/' (~)(хИ Чlf\ 1COS ,(1(TiiH()B·l' Шi н' рав,10 ce:"ellT\рем! Ла:ран; ·;ачеСll" что(~)=:~(8.
8)1НКЦliе ~Обоб, i.енння формула конечных11.26:)l.EниИ:lY'l;риращений(формула Коши)в это:м параГi ,афе :мы л,окаже:м теорем! , принадлежащую КоlllИ И О/Ю(iщающую устаНОВlенную llblllle l'eopeM\ Лютаllжа.Теорема 8.16 (теорема Коши). I'сли '/\,п;ждая из ,f6YXфУ'Н'/\,'ЦUЙ лх)g(x) 'Не iре/iъt6'На 'На сег !!еюпе [а, Ь]дu,ффе~р,:'Нцируе.ллп 60 6/,:Х 6Jiyrnpej1JiUX ТiiО'Ч,f,·а;r лnого сег.лм:'Нrnа и если,'/\,Iюме того .
щюиЗ60д'Ная g' (х) отли'Ч'На от 'НУЛЯ 6сюду 6'Нутрисе~.лле'Нта], тоэтого сег.М.е'Нта 'Найдется rnO''lr.;a ~'Ч'П 10 (nРП6' дли60 1lJ()·Н.!~/,/J.!/,U'f(o) _ f' (~)f(b)Формулу,шаютКоши.со. ПреJf:!деД о(8.g'(~)'g(!:) - g(o)ФОРМУЛО!'! !,{!'Не'Ч Iы1x nри-#а з аеBcel'O л,Оl<аже". lTOав само:м деле, если бы:iТО было не так. то для функции,;(х) (;Ы.lИ бы выполнены на сеГ).1енте [а, Ь] все условия теореIlIЫ8.11 Рокш) и по этой теореме внутри сегмента'наШ.lась быточка ~ такая, что g'(()Последнее противоречитс.1ОВИЮтеоремы. Итак. g(a)g ) и мы имеем право рассмотреть# g (!, ).#следующую llспомо:ател ,llУЮ ФУНКЦliЮ:Р(х)/(;Т -ла- ;~~) =;~:))13 Cli,на.1Ожеl:иянепрерывна на сегменте [а,ЫХla(х) НКЦli](а)].f lX(8.20)Х.HK~и диффереш:ируема вовсех вн! тренних точках этого сегмента.
Кроме того, очевил,но,.что Рl ") = Р( ) = О. Таким образом, ДШ Р(х) выполнены всеСЛОВliтеоре:1Ы 8.1(Ролля). (о:лас.1О этой теореме внутрисегмента [а, Ь] найдется точка ~ такая. что(~)Име,l в l1ИДУ,lTO(х)"..f (х(8.:;1х.liСlЮч ПЪШ',f..ffЗКоши (819)3 а мрав, нстваЧffМд',каЗiшаф'м Л Л'l Р HJEaины' СЛУ'fаем фОРМ'ЛЫ i\~~ff'\8{.' <, {а м е ч а н и есч паТf •.
ч ,'О Ьа.§ 12.В формуле2.>Раскрытие(.8.'g(x) =19)ЯfШЯ'"х.вовсе не обязате. !ЬНО*еопределею ОСIей(правило Лопиталя)1.Раскрытие неопределенно~ти вида Ор ПЪ, что о! fЮfffеffиех---+а неопредеfеfНКЦff :~~~ предстюшяет coi;o['[ приЮСfu"в fiЩ о' ес.Шf(хlimхf;аШlюе fa'fe fие lim(х) =г--+аРаскрыть 'пу неопределенностьлеБулем гово-f(:r)'ПО значит вычислить пре--(при ус.ло ;ИИ.
что это fреле.юе зна,);--+0 g(x)чеНffе существует).Следующая теорема дает правило для раскрытия неопредеО-.ленности вида17 (nрйвu.JЮ Лоnum.а,л.я )). Пустъ двео JределеJ-tъtBClOafjJ-ter.;o!/'niU ТiiО'Ч!,U а, за U/'КЛlО'ЧеI1uе,лл, бъtrnъ ,ЛЛОJfCеrn.са .. юU то'Ч'Кu а. Пf стъ, далее,limХ--+"U nроuзвОi i'Нляm,реСТnI!Остиf (х)=lim g (х) = о,);--+0(х) отлu'Ч'Нл от J-tуля в/1Оау в у,·азпJ-t 1011, вышет !'Ч'КU а.еслuбес!,лJ-tе'ЧI!Ое)зJ-tа'Че 1иесуществуетuлu:2(:r),);--+0 ~'1) Гильом[е Л ЩИТj;.'атематик (1661-1704).2) Отметим, чт ,преде jьное;Нj; jение (8.23) м;;жет не существ 'вать, Тf!r'j;;liш f((;r) сущест,,;е"тш!шени,jвз,j0= О.
/(;) =. 1Sll1 -хx-+ag х)g= sil1x..Таким обра; ,м,;j1jяви ю Ло,ш аЛ,jf,fE'\СКГЬП22ТТi'УЩi i"!f!/iY/"!" U nри)епр PU~,Mсnра"вiiд швп ФОР,МУЛПliш лх) = liшg(x)Теорем/!817Оности вил,а О(8.gД/ ет н/!м пр/шило дляf!/iСКрЫТИЯ нi i/пределенсводящее ВЫЧИСfение предеЛЬНОГО.шачения отно-ffЯНКЦfiКfыIfiс·fеfffiЮпредеЪНОIОзначеНiiОТ-ношения их производных,Д О К аа т еь с т в о.Пусть {;У П }прои.ШО. ъная-ПОСfi'довате.ЪНОСТЬ значений аргумента. сходЯ! fДяся к а и состоящаifиffисел.следовательность.отли'[ых ОТ а.'НШ'lUНДЯсраСС'lатриваТf, эт\того 'Но.мера,сr.;оторогоювсе х пnри'На; iШiJ/CП'l" m,рестmfOсти TiiO"lI,U а, УI,аЗП'НI101'1 в фор,мулuровnе теоliелfыl.
Доопредели:м функции f(x) и g(x) в точке а,. положив их раВНЬВIИ НУЮ/i в [пой точке. Тогда. очевидно. f(x) и(х) будут 'неnрi:ры1'нъl [а [/се,' cel'MeHTe [а, х п ] и ДИI];фереfЩИpyeIlIbIво всех внутренних точках [пого сегмента. Кроме того,./;'(х от fiчна от [у.f/СЮл,\fYTPfi ЭТОIО cel'MeHTa. Taf!0(1разом. ДfЯ f(x) И g(x) на сегменте [а,х n ] ВЫПО.шены все условиятеоремы[а[ х n(Коши. Согласно этой теореме внутри сегмента8.16найдется точка ~n такая, чтоf(x n ) f(o) _ f'(~n)g(,i n ) - g(o)g'(~n)'(8.:;.5Учитывая. что.
по нашему доопреде.fению. f(a) = g fi) = О мыслеДУЮЩfiМ о"разо, переписать ФОРМi лу (8.:;.5):MOiEeMf(x n ) _ f' (~n)g(x n )g'(~n)'П/СТf, те;в[е(8.)6)17,(8.26)ТОl'да, очеf/fЩfЮ,--+ 00.--+а.Так как мы предположили су! l,ествование предельного значения,правая часть(8.:;6)при17,оБЯiана стремиться к--+ 00'пому предельному значению, Стало быть, существует пределfpfi 17, --+ 00 и левой чаСТfi. По ОffределеffИЮ fредеfЫЮl'Означения функ lИипот предел равен liш.Таким образом.,с-+!в пределе при--+00равенство(8.26)переходит в равенство(У;.24).
Теорема доказаffа.а м е ч а н и е1.Если к условиям теоремы.f'8.17добавитьтребование непрерывности ПРОИ.шол,ныхСУ) ИВ точке а,то при условии g'(о форму.fа (8.24) может быть переписана'#в вил,е· f(:r)1lШ-х-+а(х)f' (о)g'(a) .(8.3 м е чиЕ(про fЗfЮДfГ(!gf(:г) Д(Нfеf'ВОр!fЮТ тем же fребоваffИЯМ, [тоса ! и фyr fiЦИИ J(x)(х),то ПрiШИЛО Лопиталя I11ОЖНff применять ПОВТОРНif (тпредельное значеНilf' ffтношеНilff'л!ыIx ПРОflЗfЮДf ых фyr :ций J(:г)g (:г) можно Зi!менить преДi льным значением отно!! ения 6торы:г nРОИ36однъtХ этих фyr fiЦИЙ)"( ,limJf)(х)Х-+О3.а м е ч а н и е= ЕтХ-+О'Георемаl\1ы полyriИ""'( )JX'(х)8.17при Эi'llМf'/!( ,= lim ~.,);-+0. g/!(x)[егко переносится на с fучай,КOl'да apIY'le iT х стреМfПCfi iefiOf ie' ЮМ>, абfJк;mj, 'Чномупределу а =00 или= -00.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
