В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 97
Текст из файла (страница 97)
+ — с(х,„. ди ды ди дх, дха дх (!2.20) Ха ='ра(аа а ° ° ° аа) ха = сра(1а аа . - 1а) (12,21) хт Ч~м('1 ~а ~ ~а) Мы докажем, что при определенных условиях эта сложная функция является дифференцируемой функцией своих аргументов (ы 1а, -, (ы При этом частные производные указанной сложной функции по аргументам 1ь 1а, ..., 1а выражаются через частные Подчеркнем, что формула (12.20) установлена нами лишь для случая, когда аргументы хь ха,...,х являются независимыми переменными. Однако ниже, в и.
7 этого параграфа, мы докажем, что формула (12.20) остается справедливой и для случая, когда аргументы хь ха, ...,х~ не являются независимыми переменными, а сами представляют собой дифференцируемые функции некоторых новых переменных. 6. Дифференцирование сложной функции. В этом пункте мы рассмотрим вопрос о дифференцировании сложной функции вида и=)(хь ха,...,х ), где $4. Произвозаые и дифференциалы 477 пРоизводные фУнкции и=1(хь хм ..., х ) и чеРез частные пРоизводные функций (12.21) по следующим формулам: ди ди дх« ди дх.
ди дхе« . и дха«дй ди дхе« + — —, дх„ дц дй дх«дй дха дй ди ди дх«ди дхе — = — — + — — + д1а дх«дЕа дхе дЕа ди да дх« ди дха дха д«а ... + — —. (12.22) ди дхе« дхуе д~ь д~а дх, дГ, Докажем следующую основную теорему. Теор ем а 12.11. Пусть функции (12.21) дифференцируемы в некоторой точке М(йе, Геа,...,Га~), а функция и=((кь хм...,х ) дифференцируема в соответствуюгцей точке Л'(х«о, хее, „.,х' ), где хз ер1 ( Г«, ~е, ..., Гд ), 1= 1, 2, ..., т. Тогда сложная функция и = =~(хь хм...,х ), где хь хе,...,х,„определяются соотношениями (12.21), дифференцируема в точке М.
При этом частные производные этой сложной функции в точке М определяются формулади ди ми (12.22), в которых все частные производные —, —,... „ дх, дхе ди дхг берутся в точке У, а все частные производные дх,„ дц функций (12.21) по аргументам 1ь (м, 1„берутся в точке М, Доказательство. Придадим аргументам 1ь (м ..., (а в точке М(Г«о, Г,а,...,гао) произвольные приращения ЬГ~, Ь1е,...,Ь(ы не равные одновременно нулю.
Этим приращениям соответствуют приращения Ьхь Ьхе,...„Ьх функций (12.21) в точке М. Приращениям Ьхь Ьха, ...,Ьх, в свою очередь, соответствует приращение Ьи функции и=7(х«, хм ...,к, ) в точке Л'. Поскольку функция и=1(хь хм...,х,„) предполагается дифференцируемой в точке Лl, указанное приращение Ьи этой функции может быть записано в виде ди ди ди Ьи = — — Ьхт + — Ьх, + ... + — Ьха, + а Ьх, + а,Ьх + ... дх«дха дхе« (12.23) + а Ьх«а ди ди ди где частные производные †, †, ..., — берутся в точке Ь«„ дх«дхе дхи а аь ае,...,а — бесконечно малые при Ьх~ -О, Ьх,— «-О,...,Ьх — «.О функции, равные нулю при Ьх1=Ьхе= ... =Ьх =О.
Подчеркнем,, что в соотношении (12.23) Ьхь Ьхм ..., Ьх представляют собой приращения функций (12.21), отвечающие выбранным приращениям Ь(ь ЬГъ ..., Ьга аргументов этих функций. В силу дифференцируемости функций (12.21) в точке М(1«а, Цео, ..., Га~) указанные приращения Ьх; можно записать в следующей форме: 478 Гл.
12. Функции нескольких переменных Ьх, = — "Ьг, + —" Л1, -1- ... + — !Ьге+ о(р), (12.24) д!! д!е д!ь е=1, 2, ..., т, дх! дх! дх; где частные производные —, —,..., — ' берутся в точке М, де! д!и д!е а р = 1' (Ь(т)'+ (ЬГе)'+ + (Ь(е)' Мы должны убедиться в том, что после подстановки в правую часть (12.23) выражений (12.24) приращение Ьи может быть при- ведено к виду Ли=А!Ь1!+АеЬ1е+ ...
+АьЬ1е+о(р) (12.25) тде А ь, ! .1 — ", (12.26) ди дх! ди дхе ди дхм д!! дхе д!! дхе~ дб тем самым доказательство теоремы будет завершено, ибо форму.ла (12.25) устанавливает факт дифференцируемости сложной -функции, а выражение (12.26) представляет собой частную производную указанной сложной функции по переменной е! (см. тео,рему 12.9).
При подстановке в правую часть (12.23) выражений (12.24) .кроме группы слагаемых А!Ь1!+АеЬее+ ... +АдЬ1е мы получим и другие группы слагаемых. Нам нужно убедиться в .том, что все другие группы слагаемых представляют собой вели. чину о(р). Действительно, подставляя выражения (12.24) в формулу .(12.23), получим Ьи = — е — Ьх, + ~ ~а!Ьх! = ЪЕ ди дхе !=1 !=! ди ~~'~ дх; 1=1 1=! !=1 ~~ ( ~ — — ') И1+ ~)~ ~— о(р) + ~у 'а!Ьх! /=! != ! 1=-1 ! ! = у А,Ь1;+ ~~1~~ — о(р) + ~~)~а!Ьх! 1 1 Е=! ! ! Последние две суммы написанной выше формулы представди .лают собой величину о(р).
В самом деле, величины — берутся дх, 4 4. Производные и дифференциалы 479' !=л казана. 3 а м е ч а н и е. Рассмотрим важный частный случай, когда функции (12.21) зависят от одного аргумента !. Тогда мы имеем. сложную функцию одной переменной й и=)(хь хе, ..., х ), где ди хз=!рз(!). Производная — этой сложной функции определяетсю д! формулой Нн ди дх, ди Нха ди дх,в — = — — — '+ — — + ... + — — (12.27) д! дхе д! дхе д! дх,в д! Применим формулу (12.27) для доказательства теоремы Эйлера об однородных функциях. Функция и=!(х!, хь ...,х ) заданная на множестве (М), называется однородной функцией степени р на этом множестве, если для каждой точки М (хы хм...,х ) множества (М) и для каждого числа г, для которого точка Лг(!х!, !хм...,!х,„) принадлежит множеству М, выполняется равенство 1(гхь !хе, ..., !хзв) =!т((х!, ха, ...,х,„).
(12.28) Теорема 1212 (теорема Эйлера об однородных ф у н к ц и я х), Если и=!(хы хм ..., х ) является в некоторой области (М) дифференцируел!ой однородной функцией степени р, то в каждой точке М(хь хм...,х ) области (М) справедливо равен- ство ди дн ди — х,+ — х,+...+ — х =ри. дх, дхе дхщ Доказательство.
Пусть Мо(х!~, хе~, ...,хо ) — произвольная точка области (М). Рассмотрим сложную функцию и=((хь хе,,..,х„,), где хз=!хзо (з=1, 2,...,т), т. е. ~!ункцию и=((!х!о, !хо,..., !хо,„). Так как при 1=1 функции хз=!х! днфференцируемы и фУнкЦиЯ и=г(хь хе,...,х ) диффеРенциРУема в соответствУющей точке Мо, то согласно теореме 12.11 и замечанию и этой тео-- ло реме мы можем вычислить производную — указанной сложной д! (12.29)е в точке Ж и поэтому представляют собой постоянные не зависяо1 ч ди щие от р числа. Следовательно, ~ — о(р) = о(р).
Далее, велидх! чины Лх! для з=1, 2, ..., т удовлетворяют в силу формулы (12.24) неравенству !Лх!! (сопз1 р, а величины а,=о(!) для з=1, 2,...,т.„ нбо все а; являются бесконечно малыми при ззх!- О, Ьхх — 1-0, ... ...,Ах - О, а из дифференцируемостн и вытекающей из нее непрерывности в точке М функций (12.21) следует, что Лх!, !ххе, ..., Лх стремятся к нулю при р-~0. Поэтому ~а!Лх! =- о(р).
Теорема до-- 480 Гл. 1к. Функция нескольких переменных функции в точке 1=1 по формуле (12,27), Так как — =-х., то дх» .о Ж вЂ” = — хо+ — хо+ ... л- — хо (12 30) Ж и=~ дк, ' дхо о дк,„ ди где производные — берутся в точке Мо. С другой стороны, в д»ч силу (12.28) рассматриваемая сложная функция может быть представлена следующим образом: и=((!х~~, !хо~, ...,!хоп) =Я(х~~, хо~, ...,хо,„). (1231) Из (12.31) вытекает, что — = р1п-'1(хец хо,..., х" ), т. е. — =- р7 (хо, хо ..., хо) = ри. (12.32) й 1с=,— Сравнивая (12.30) и (12.32), мы и получим соотношение (12.29) для точки Мо.
Так как точка Мо — произвольная точка области (М), то теорема доказана. 7. Инвариантность формы первого дифференциала. В п. 5 мы ввели понятие первого дифференциала»!и функции нескольких переменных и установили, что когда аргументы хь хи...,х являются независим ими переменными, то дифференциал »(и можно представить в виде о(и = —" дх, + — о(хо + ... + — о(х,„. (12.20) дх» дх, дхм В этом пункте мы докажем, что формула (12.20) является универсальной и справедлива и в том случае, когда аргументы хь хь...,х сами являются дифференцируемыми функциями некоторых новых переменных ть 1и ..., !», которые мы можем считать :независимыми.
Указанное свойство перво»о дифференциала обыч.но называют свойством и ива риантности его формы. Итак, пусть аргументы хь хь ..., х функции и = 1(хь хе.. х ) представляют собой дифференцируемые в точке А(йо, !к",...,1»о) функции х; =чч (!ь 1и ..., !»), а сама функция и =~(х,, хо, „., х ) диф$еренцируема в точке В(хР, хо', ...,хо ), где хо =Чч(1~~, ...,!» ). В таком случае мы можем рассматривать и как сложную функцию независимых переменных 1ь !ь ..., !», которая в силу теоремы 12.11 является дифференцируемой в точке Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
