В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 95
Текст из файла (страница 95)
В силу теоремы Больцано — Вейерштрасса (см. п. 2 э 2) нз: (Мв) можно выделить сходящуюся подпоследовательность (Мь„), предел М которой в силу замечания к теореме Больцано-Вейерштрасса принадлежит множеству (М). Очевидно, последовательность (1(Мв„)) бесконечно большая. С другой стороны, в силу непрерывности функции в точке М эта последовательность () (Мь ))' должна сходиться к г(М). Полученное противоречие доказывает теорему. 6'.
Достижение функцией, непрерывной нж замкнутом ограниченном множестве, своих точи ых гр аней. Точной верхней гранью функции Г(М) на множестве (М) называется такое число й, которое удовлетворяет двум требованиям: 1) [(М)(й для всех точек М множества (М); 2) для любого е>0 найдется хотя бы одна точка М множест-- ва (М), для которой 1(М) >и — е. Аналогично определяется точная нижняя грань и функции 1(М) на множестве (М).
Для обозначения точных граней функции г(М) на множестве используют следующую символику: и = зпр1(М), и = 1п11(М). (м) (м) Теорема 127 (вторая теорема Вейерштрасса), Если функция и=г(М) непрерывна на замкнутом ограниченном множестве (М), то она достигает на этом множестве своих точнььх верхней и нижней граней. Доказательство этой теоремы почти дословно повторяет доказательство теоремы 4.15 (т, е. второй теоремы Вейерштрасса для функции одной переменной). Читатель без труда проведет это доказательство сам, Гл. 12. Функции нескольких переменных 488 7'. Понятие равномерной непрерывности функции нескольких переменных.
Функция и=((М) называется равномерно непрерывной на множестве (М) * евклидова пространства Ею, если для любого положительного числа в можно указать такое положительное б, зависящее только от и, что для любых двух точек М' и М" множества, удовлетворяющих условию р(М', М') <б, выполняется неравенство (((М') — ((Ми) ( <е. Имеет место следующая теорема. Теорема 128. (теорема о равномерной непрер ы в н о с т и). Непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функция равномерно непрерывна на этом множестве.
Доказательство этой теоремы совершенно аналогично доказательству теоремы 4.16 и получается из него путем замены термина «сегмент (а, Ь!» термином «множество (М)», замены буквы х на букву М и замены выражений типа (х' — х" ( на символ р(М', М"). Замечание. Назовем диаметром ограниченного множества М точную верхнюю грань чисел (М', М"), где М' н О Р М вЂ” всевозможные точки множества (М). Используя понятие диаметра множества, отметим следующее свойство непрерывных на замкнутых ограниченных множествах функций. Пусть функция л=((М) непрерывна на замкнутом ограниченном множестве (М).
Тогда для любого положительного числа е можно указать такое б>0, что на каждом принадлежащем множеству (М) замкнутом подмножестве (У) диаметр которого меньше б, колебание ю*« .функции 1(М) меньше в. Доказательство этого свойства совершенно аналогично доказательству следствия из теоремы 4.16. 3 а м е ч а н и е. Множество (М) т-мерного евклидова пространства называется компактом, если нз любой системы открытых множеств, покрывающих множество (М), можно выделить конечную подсистему, также покрывающую это множество. Точно так же, как и для пространства всех вещественных чисел Е' (см. п.
8 5 7 гл. 4), доказывается, что множество тмерного евклидова пространства Ем является компактом тогда и только тогда, когда оно является замкнутым и ограниченным. Таким образом, первая и вторая теоремы Вейерштрасса и теорема о равномерной непрерывности справедливы для функции, непрерывной на компакте. * При этом предполагается, что множество (М) плотно в себе, т.
е. в любой б-окрестности каждой точки М этого множества имеются отличные от М .точки множества (М). ч" Колебанием ю функции 1(М) на множестве (М) называется раэность между точной верхней и точной нижней гранями функции 1(М) на этом множестве. 4 4. Производные в дифференциалы 4БЭ $4. ПРОИЗВОДНЫЕ . И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Частные производные функции нескольких переменных.
Пусть М(хь хь ...х„) — внутренняя точка области задания функции и=)(х1, хь ...,хе,). Рассмотрим в данной фиксированной точке М(хы хь ...,х„) отношение частного приращения Л,„и (см. п. 1 5 3, формулы (12.8) и (12.9)) к соответствующему приращению Лха аргумента ха1 а и «а 1(хз, ..., хачо хг+ Лхы ха.р„..., х«») — Дхг, хз ° °,, х«»1 Аха Ахх Отношение (12.12) представляет собой функцию от Лхм определенную для всех отличных от нуля значений Лхы для которых точка М(хь хг,...,ха ь ха+Ляг, ха+о...,х ) принадлежит области задания функции и=)(хь хг,...,х ). Определение. Если существует предел отношения (12.12) частного приращения Л„еи функции в точке М(хь хь ...,х ) к соответствующему приращению Лхд аргумента ха при Лха» О, то этот предел называется частной п р о из вод и о й функции и= =1(хь хг, ..., х ~ в точке М по аргументу ха и обозначается одним из следующих символов: ди д( дха ' дха Таким образом ди — = 11т дхе е«„о Ахг Отметим, что частная производная функция и=)(хь хь ...
х„) по аргументу ха представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной ха при фиксированных значениях остальных переменных. Поэтому вычисление частных производных производится по обычным правилам вычисления производных функций одной переменной. Примеры 1) и =- агс1я(ху ), ди уз ди 2ху дх 1 + хзуг ду 1 + х'у» «'+г' «+у» — ди 2х 2) и е «е г дх г «+г «+г* ди 2у — ди х' -(- уг — = — е е *, гф=О. ду г ' дг ге 3 а м е ч а н и е 1. Из существования у функции в данной точке всех частных производных, вообще говоря, не вытекает непре- 470 Гл. 12.
Функции нескольких переменных рывность функции в этой точке. Мы уже убедились, что функции (12.10) при хх + у' ~ О, и= х'+ух 0 при х'+ ул = 0 не является непрерывной в точке 0(0, 0) (см. пример 1' п. 2 $ 3). Однако в этой точке указанная функция имеет частные производные по х и у. Это следует из того, что 1(х, 0) =О, Г(0, у) ==О, и: поэтому За меч ание 2. Подчеркнем, что данное нами определение понятия частных производных всегда пригодно для внутренних точек области задания функции, но для граничных точек этой области, вообще говоря, непригодно. Это связано, в частности„ у с тем, что в граничных точках области задания функции не всегда можно вычислить частус — — — — — ~$(х„у,) ные приращения функции (так, например, обстоит дело с граничной точкой Мо области, изображенной на рис ! 2.2) .
В связи со сказанным принято определять частные производные в граничных точках о ас о как пределы этих производных при стремлении точек к границе. 2. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Напомним, что приращением (или полным приращением) функции и=!(хь хы...,х ) в точке М (хь хх,...,х,„) соответствующим приращениям Лхь Лхь ..., Лх аргументов, называется выражение* >Ли=~(Х1+ЛХЬ ХХ+ЛХ2, нн Хн~+ЛХт) 1(КЬ ХХ, ....|Хм).
Определение. Функция и=)(х1, хм...,х ) называется дифференцируел1ой в данной точке М(хь хм...,х ), если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в. виде Ли =А!Лх!+АлЛхх+,. +А,Лх,.+а1Лх!+ахЛх,+ ... +а Лх„, (12. 14) * См. и. 1 5 3, формулы (12.5) и (12.6). 4?1 й 4. Производные и дифференциалы где Аь Аа, ...,А — некоторые не зависящие от Ьхь Ьхь.,.,Ьх числа, а аь аь „„а„— бесконечно малые при Ьх,— О, Ьхр О,... ..., Ьх — «О функции, равные нулю при Ьх~=Ьх,= ...Ьх =О. Соотношение (12.14) называется у с ло в и е м д и ф ф е р е нцируемости функции в данной точке М. Условие (12.14) дифференцируемости функции можно записать также в иной форме. Для этого рассмотрим бесконечно малую при Ьх1 -О, Ьхз — О, „Ьх . О функцию Р=- !' Ьх1+ ха+ ... +Ьх,„" и отметим, что эта функция обращается в нуль лишь при Ьх|=Ьхз — — ... ...=Ьх =О.
Убедимся теперь, что входящая в правую часть соотношения (12.14) сумма азЬх1+ааЬха+ ... +а Ьхеч представляет собой бесконечно малую более высокого порядка функцию по сравнению с р. Иными словами, убедимся, что эта сумма представляет собой выражение о(р). В самом деле, при РФО справед! Лхг! ливо неравенство — <1, и поэтому Р !азЬх, + ааЬх, + ... + а Лх,„(~~ ~<~)аз! — +)аа! — + ... +(а ! )Р( !Ьх ! !ох ! !ахм! Р Р Р ~(((а„(+ (а )+ ...
+ (ал!)р =о(р). Таким образом, условие (12.14) дифференцируемости функции может быть записано в следующей форме: Ли=А,Ьх,+А,Ьх,+,. +А Ьх +о(р). (12.15) При этом величину о(Р) мы считаем равной нулю при Р=О. Чтобы доказать, что условие (!2.15) эквивалентно условию (12.14), нужно убедиться, что из представления (12.15), в свою чзчередь, вытекает представление (12.14).
Для этой цели, считая, что не все Ьхь Ьха, ..., Ьх„равны нулю '*, представим о(Р) в виде о (Р)— о(р) Ре о(р) ах1 + Лхз+...~+ ахм Р Р Р Р о(р) ах; Полагая — . — =а, и учитывая, что ас является бесконечно Р Р малой при Р- О (а значит, и при Ьх1-«0, Ьхя- О,...,Ьх -О) функцией, мы придем к представлению (12.!4). * Геометрически зта функция представляет собой расстояние между точжами М(х„хз, ..., х ) и М'(х~+ахь хе+ахи ..., хы+Ьхы).
«' Если все ах~ Равны нулю, то все члены в первой части формул (12.14) и ~(12.15) Равны нулю. Гл. !2. функции нескольких переменных Итак, условие дифференцируемости функции можно записать как в виде (12.14), так и в виде (12.15). Если хотя бы одно из чисел Ап Ам...,А отлично от нуля, то сумма А1Ьх~+АеЬхк+ ... +А Ьх представляет собой гл а в ну ю, линейную относительно приращений аргумен- т о в часть приращения дифференцируемой функции. Отметим, что при определении понятия дифференцируемости функции мы не исключали возможности обращения всех чисел Аы Аь...,А в нуль, и поэтому если приращение функции может быть представ- лено в виде (12.14) или (12.15) при А1=0, Аз=О,...,А„,=О, то функция днфференцируема в данной точке. Справедлива следующая теорема.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
