В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 99
Текст из файла (страница 99)
дх Иу да / *' Так как все координаты единичного вектора по модулю не превосходят единицы, то для каждой нз этих координат найдется угол а; такой, что соответствуюшая /=я координата равна сов по (при этом можно считать, что 0<а,<п). Таким образом, единичный вектор е можно записать в виде (сов он созпа, .-. ..., соза ). Величины сов по созаа, ..., созе принято называть направляющими косинусами. 485 й 5. Производные и дифференциалы высших порядков чаемый символом пгаб и имеющий координаты (' — '" (М„), ди (М,),..., ~'.(М,)), ( дхх дкэ дх Так как скалярное произведение двух векторов пространства Е" равно сумме произведений одноименных координатэтих векторов, то равенство (12.35") позволяет утверждать, что ди — .=- (е, нгаг) и) .
де . Из неравенства Коши — Буняковского, справедливого для двух любых векторов пространства Е'" ", вытекает, что — "~ ((е! (атаби! = (Егас)и), !" де причем знак ~( переходит в знак = только в случае, когда векторы е и йтас( и коллинеарны. Отсюда следует, что вектор вагаб и и в пространстве Е" обладает теми же двумя свойствами 1) и 2), что и в пространстве Е'. Заметим, что в случае функции и=)(х, у) двух переменных х и д единичный вектор е, определяющий направление в точке Мз, имеет координаты сова и з(па. Поэтому в указанном случае формула (12.35) принимает вид ди ди ди — = — соз а -(- — а(п а. де дх др й 5.
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 1. Частные производные высших порядков. Пусть частная проди изводная — по аргументу х» функции и=)(хь хз,...,хю), опредхг деленной в области (М), сушествует в каждой точке области (М). В этом случае указанная частная производная представляет со- * Для любых двух векторов а и Ь пространства Е справедливо неравенство Коши — Буняковского (а, Ь)э((а, а)(Ь, Ь) или, что то же самое, 1(а, Ь)1<( ( )аПЬ), причем в этом неравенстве знак ( переходит в знак = только в случае, когда векторы а и Ь коллннеарны В самом деле, при любом вещественном Л справедливо неравенство (Ла — Ь, Ла — Ь) =Лз(а, а) — 2Л(а, Ь)+(Ь, Ь))0, причем в этом неравенстве знак ~ )переходит в знак = только в случае, когда вектор Ла — Ь являегся нулевым, т.
е. когда а и Ь коллинеарны. Исключая случай нулевого вектора а, когда доказываемое неравенство заведомо справедливо со знаком =, мы можем утверждать, что дискриминант квадратного трехчлена Л'(а, а) — 2Л(а, Ь) + (Ь, Ь) удовлетворяет неравенству 4((а, Ь)' †(а, а)(Ь, Ь))(0, причем в этом неравенстве знак ~ (переходит в знак = только в случае, когда векторы а и Ь коллниеарны. 4зб Гл. !2. Функции нескольких переменных бой функцию переменных хь хь ..., х, также определенную в области (М). дц Может случиться, что эта функция — имеет частную продх, изводную по аргументу хь в некоторой точке М области (М).
Тогда указанную частную производную по аргументу хк называют второй частной производной или частной производной второго порядка функции и=)(хь хь ..., х ) в точке М сначала по аргументу хь а затем по аргументу хь и обозначают одним из следующих символом: д'и гв рл д „д ' ~ "е"ь' и х х; д'и При этом если 1~й, то частная производная назыдхьдхе вается с м е ш а н н о й частной производной второго порядка. После того как введено понятие второй частной производной, можно последовательно ввести понятие третьей частной производной, затем четвертой и т. д.
Если предположить, что нами уже введено понятие (и — 1)-й частной производной функции и=)(хь хь ...,х ) по аргументам хь хь,...,х~„, (отдельные или даже все номера которых могут совпадать) и что эта (и — 1)-я частная производная имеет в точке М частную производную по аргументу х;„, то указанную частную производную называют л-й ч а с т н о й и р о и з в одно й (или частной производной п-го порядка) функции и= =)(хь хь...,х ) в точке М по аргументам хь, хп, ...,х~„. Таким образом, мы вводим понятие и-й частной производной индуктивно, переходя от первой частной производной к последующим. Соотношение, определяющее п-ю частную производную по аргументам хп, хь,..., х;„,х~„имеет внд д"и д У д" 'и дх дх~ ...
дх, дх дх; ~ дх ... дх. дхь л ель и и Если не все индексы 1ь ьь ..., 1 совпадают между собой, то д'и частная производная д д д называется с м е ш а н н о й дх ... дх;дх; л частной производной и-го порядка. Так как частная производная функции по аргументу х; определяется как обыкновенная производная функции одной переменной х; при фиксированных значениях остальных переменных, то методика вычисления частных производных высших порядков предполагает умение вычислять только обыкновенные производные первого порядка. В качестве примера вычислим частные производные второго порядка функции и = агс1к — . а 5 Проиэводиые и лиффереипиалы высших порядков 487 Имеем у глг х ду хе+ уй дх хе+ уй дги 2ху дйи хй — у' д ду (хе+у )й дх (х' + у')' х — у й й дйи 2ху дудх (х'+ у')' дуй (х'+ у')' ху у при хй + уйФ О, хе+ уй 0 при хй+ у' = 0 в точке (О, 0) существуют, но не равны друг другу.
Действительно, + У ) при хе+уй~О, ( + у')' дх 0 при х'+уй=О Поэтому !. — —. ди .г-о, кгйю дх !х=ю. х=о 1. д'и дх = 1(ш дудх )х=ю.ю=ю у ю дги =1 дхду )х=о, х=ю Проводя аналогичные вычисления, получим д'и д'и Таким образом, в точке (О, 0) — Ф вЂ”. дхду дудх Выясним достаточные условии независимости значений смешанных производных от порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования. Введем важное понятие функции т переменных, и раз дифференцируемой в данной точке.
О п р е д е л е н и е. Функция и=)(хь хы ..., х ) называется и раз дифференцируемой в тачке М,(х1ю, хг', ...„х ю), если все ее частные производные порядка и — 1 являются дифференцируемыми в этой точке функциями. Из этого определения вытекает, что если функция и=)(хь хй, ...
..., х ) и раз дифференцируема в точке Мю, то при п)1 любая ее В рассмотренном примере смешанные частные производные дйц д'и — н — равны друг другу. Вообще говоря, значения смешандхду дудх ных производных зависят от порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования. Убедимся, например, что дйи дйи смешанные частные производные — и — функции дудх дхду Гл.
12. Функции нескольких переменных частная производная первого порядка и — 1 раз дифференцируема в точке Мо, при п)2 любая ее частная производная второго порядка и — 2 раз дифференцируема в точке М, и т. д. Укажем достаточное условие и-кратной дифференцируемости функции в данной точке. Для того чтобы функция и=[(хь хя ..., х ) была и раз дифференцируелюй в точке Мо(х~о, хто, ..., х„„'), достаточно, чтобы все ее частные производные и-го порядка были непрерывными точке Мо. Справедливость этого утверждения вытекает из определения дифференцируемости функции и теоремы 12.10 о достаточных условиях дифференцируемости.
Теорем а 12.13. Пусть функция и=1(х, у) дважды дифференцируема в точке Мо(х,, уо). Тогда в этой точке частные производные „а> и )н а> равны. о к а з а т е л ь с т в о. Так как функция и= 1(к, у) дважды диффеРенциРУема в точке Мо(хо, Уо), то частные пРоизводные 1 ' и 1„' определены в некоторой б-окрестности точки Мо и представляют собой дифференцируемые функции в этой точке. Рассмотрим выражение Ф=((хо+Ь, уо+Ь) — Р(хо+Ь, уо) — )(хо, Уо+Ь)+7(хо, Уо), (1233) гДе Ь вЂ” любое столь малое число, что точка М(хо+Ь, Уо+Ь) находится в указанной у-окрестности точки Мо. Выражение Ф можно РассматРивать как пРиРаЩение Ь~Р=Ф(хо+Ь) — сР(хо) ДиффеРенциРУемой на сегменте[хо, хо+Ь[ фУнкЦии со(х) =[(х, Уо+Ь) — 1(х, Уо) одной переменной к.
Поэтому по формуле Лагранжа, обозначая через О некоторое число из интервала 0<в(1, можно записать: Ф=~1ср= р'(х +ВЬ)Ь= =У. (к,+ОЬ, У,+Ь) — 1„(хо+ВЬ, Уо))Ь= (12.39) =[[1.'(хо+ОЬ, у.+Ь) — ['(ко, уо)) — [[.'(Хо+ВЬ, уо) — 7.'(хо, у.)))Ь. Так как частная производная ),' является дифференцируемой в точке Мо функцией, то [1„'(хо+ОЬ, уо+Ь) — 1*~(хо, уо)1= (ко, Уо) ОЬ+[а1 н(ко, Уо) Ь+а1ВЬ+[11Ь, [1 '(хо+ОЬ, Уо) — 1 '(хо, уо)[=)чм„(хо, уо) ОЬ+аовЬ, где аь ~~ и ао — бесконечно малые при Ь- 0 функции.
Подставляя найденные выражения для [)„'(хо+ОЬ, уо+Ь) — Ь'(хо, уоП [1.,'(хо+ОЬ, уо) — 1~'(ко, уо)1 в формулу (12.39), получим Ф=[)а1нн(хо, уо) +а)Ьо, (12.40) где а=а~в+[11 — аев — бесконечно малая при Ь- 0 функция. Сдру- 4 к, Производные и дифференциалы высших порядков той стороны, выражение Ф, определяемое соотношением (12.38), можно рассматривать как приращение сз<)=ф(уо+й) — ф(уо) дифференцируемой на сегменте [уо, уо+Ь] функции ф (у) =1(хо+Ь, у)— — [(хо, у).
Применяя формулу Лагранжа и учитывая дифференцируемость частной производной 1к' в точке Мо, мы получим совершенно аналогично предыдущему следующее выражение для Ф: Ф=У">ох(хо, Уо)+Р]йз, (12.41) где р — бесконечно малая при Ь-~Офункцня. Приравнивая правые части соотношений (12.40) и (12.41) и сокращая обе части полученного равенства па йз, найдем, что [<з>,о(хо, уо)+а= =1<о>о (хо,уо) +[>, Так как а и р — бесконечно малые при й- 0 функции, то из последнего равенства следует, что 1<з>,о(хо, уо) = :=1<я>о,(хо, уо).
Теорема доказана. Теорема 12.13 утверждает, что в данной точке Мо(хо, у,) имеет место Равенство 1<з>„„=[<я>в„, если в этой точке диффеРенцнРУемы 1„' и 1„'. Из дифференцируемости 1з'ир„'вточке М, вытекает сушествование в этой точке всех частных производных второго порядка. Однако равенство [<з>„о и )<'>„х имеет место и при условии существования лишь производных 1<х>„о и 1<о>„„ио при дополнительном требовании непрерывности этих производных в рассматриваемой точке. Именно справедлива следующая теорема. Т е о р е м а 12.13 . Пусть в некоторой окрестности точки Мо(хо, уо) функция и=>(х, у) имеет чистньсе производные [,', [ ', )<з>хо, ><з>о„.
Пусть, кроме того, производные 1<з> и и [<з>н нелрерыв. ны в точке Мо Тогда в этой точке ><з> о=><з>о . Для доказательства воспользуемся выражением Ф, определенным соотношением (12.38). Из (12.39) вытекает, что Ф представляет собой умноженную иа й разность значений функции 1 '(х, у) в точках (хо+Ой, уо+й) н (хоисОЬ, уо). Применяя к этой разности формулу Лагранжа конечных приращений по переменной у на сегменте [уо, уо+й], получим Ф=><з> „(х +Ой, уо+Осй)йз, где 0(О,<1. В силу непрерывности 1<~>„в в точке Мо(хо, уо) из последнего равенства получаем Ф=[[<з> в(хо Уо) +а(й)]йз где а(й)- 0 при Ь--О. С другой стороны, эта же величина Ф представляет собой умноженную на Ь разность значений функции )о'(х, у) в точках (хо+Ь, уо+Ояй) и (хо, уо+Озй).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
