В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Применяя к этой разности формулу Лагранжа конечных приращений по переменной х на сегменте [хо, хо+й] и учитывая непрерывность 1<з>,о в точке Мо(хо, уо), получим Ф=У<з>ох(хо, Уо)+Р(й)]йз, где р(й) 0 при Ь О. 490 Гл. !2. Функции неенолькнх переменных Приравнивая последние два выражения для Ф и рассуждая так же, как и в конце доказательства теоремы 12.13, мы убедимся в справедливости нужного нам равенства )а~хн(хе, уь) =Як (Ха, уе). Докажем теперь теорему о независимости значения любой смешанной частной производной и-го порядка от порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования.
Теорема 12.14. Лусть функция и=((хь хь ..., х ) п раз дифференцируема в точке Ме(х~~, хне, ...,х е). Тогда в этой точке значение любой смешанной частной производной и-го порядка не зависит от порядка, в котором производятся послебовательнсче дифференцирования. Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, достаточно доказать независимость значения любой и-й смешанной производной от порядка проведения двух последовательных дифференцирований. Иными словами, достаточно доказать равенство (12.42) дх; ...дхе дх,,...дх,, дхе ...
дх; дх; ...дх,. дь 'и Рассмотрим функцию Эта функция представляет содхг„... дх; бой дважды дифференцируемую функцию переменных х; и х;„„ Поэтому в силу теоремы 12.13 дх ыи де ыи дх~„.дх;„дх~„...дх дх,,дх; „дх; ...дх~ Отсюда и вытекает справедливость равенства (12.42). Теорема доказана. Отметим, что в случае и раз дифференцируемой в точке Ме функции и=1(хь хь ..., х„) любую ее частную производную и-го порядка можно записать в виде д"и дх»'дхе»... дх~~ 1 е '' ~» где аь аь ..., а — целые числа, удовлетворяющие условиям: 0<а;<п, а1+ан+ ...
+а =и. 2. Дифференциалы высших порядков. Выше мы испольэовали для обозначения дифференциалов аргументов функции и= =1(хь хь ..., х ) и для обозначения дифференциала самой этой функции символы ахь йхь ..., йх и йи соответственно. Теперь нам придется использовать для обозначения дифференциалов аргументов указанной функции и дифференциала самой этой функции и другие символы. В частности, мы будем обозна- й 5 Производные и дифференциалы высших порндиов 491 чать дифференциалы аргументов функции и=1(х!, хь ..., х ) н дифференциал самой этой функции символами бх!, бхт, ..., бх и би соответственно.
В этих обозначениях инвариантное по форме выражение для первого дифференциала этой функции (12.20) (см. п. 7, 9 3), будет иметь вид ди до ди би= — бх,+ — бх,+... + — бх . дх! дха дхт Возвращаясь к прежним обозначениям, рассмотрим выражение (12.20) для первого дифференциала дифференцируемой в данной точке М(хь хт, ..., х ) функции и=1(х!, хь -., х ): ди ди 1 ди (12.20) дх! дхв дхм Предположим, что величина, стоящая в правой части (12.20), представляет собой функцию аргументов х!, хь ..., х, дифференцируемую в данной точке М(х,, хт, ..., х ). Для этого достаточно потребовать, чтобы функция и=)(х!, хы, х ) была два раза дифференцнруема в данной точке М(х!, хт, ..., х ), а аргументы хь хт, ..., х являлись либо независимыми переменными, либо два раза дифференцируемыми функциями некоторых независимых переменных 1ь 1т, -, гм При этих предположениях мы можем рассмотреть дифференциал б(йи)=б ~~~1~ ~д йхз| дха в=! от величины (12.20).
О п р еде л е н и е 1. Значение 6(йи) дифференциала от первого дифференциала (12.20), взятое при бх! — — йх!, бхз=йхт, ..., бх =йх, называется в то р ы м д и ф ф е р е н ц и а л о м функции и = =1(х!, хт, ..., х ) (в данной точке М(хь хт, ..., х ) и обозначается символом йзи.
Итак, по определению е йзи = б(йи) в»с=а»,. в»и=а»» в» й» Дифференциал дни любого порядка и введем по индукции. ' Символ( ) обозначает, что в выражении, заключенном в физ»,=г»„ щ =и»„ В» 4И» »урвне скобки, следует положить бхз=вхо бхз=охз, ..., бх =ох Гл. 12. Функции нескольких переменных 492 Предположим, что уже введен дифференциал д"-'и порядка.
и — 1 и что функция и=1(х1, хь ..., х ) а раз дифференцируема в данной точке М(х!, хь ..., х ), а ее аргументы х!, хь ..., х являются либо независимыми переменными, либо а раз дифференцируемымн функциями некоторых независимых переменных 1ь 1ь ... -, 1ь Определение 2, Значение 6(й" — 'и) дифференциала от (а — 1)сго дифференциала д"-!и, взятое при бх!=дхь бх«=дхь ... ..., бх =Ых называется и-м дифференциалом функции и= * )(х1, хь ..., х ) (в данной точке М(х„хь...,х )) и обозначается символом а"и. Итак, по определению й"и=6(й" !и) бх,=бх„ бх =4х Прн вычислении второго н последующих дифференциалов йи приходится сушественно различать два случая: 1) случай, когда аргументы х1, хь ..., х являются независимыми переменными, 2) случай, когда аргументы х!, хь ..., х являются соответствуюгдее число раз дифференцируемыми функциями некоторых независимых переменных гь 1ь ..., 1,.
Рассмотрим сначала первый случай. Если х!, хь ..., х являются независимыми переменными, то мы имеем право считать, что дхь дхь -, йх не зависят от хь хь "., х . Каждый дифференциал йх«мы можем взять равным одному и тому же приращению Лх«для всех точек М(х!, хь ..., х ). Нрн этом мы получим, что 1~1 (~а) б 4,ф' дх! 1=! Последнее соотношение и правила дифференцирования, установленные в конце п. 7 $ 3, позволяют нам записать для два раза дифференцируемой в данной точке М функции и=1(х!, хь ..., х ), следующую цепочку равенства: «ь=к!«!„, „, =!~7, ~ «*.)(„ а~ дх« б -'бх' м м «!' бх Лх т т х«~ 1бх ых ~~и~~ «б ! ) + б( ) ~ бх ~х Ь ! 1бх дх «=! * бхщ Их„ а 5, Производные и дифференииалы высших порядков 493 = ~~~ (!(хе ~ ! — ( — ~ бх! ! и=! !=1 ех -)х и с» ш и = ~~ ~Р " бхсс(ха~ ах=а.
е=! с=! ах =йх — с(хсс(ха. (12. 43) дхсдха е= — ! ~! (ббы воспользовались еще и тем, что для два раза дифференцируемой функции смешанные производные второго порядка не зависят от того, в какой последовательности производится дифференцирование). Итак, мы получаем, что в случае, когда аргументы х!, х„ ..., х„ являются независимыми переменными, для второго дифференциала ,ава раза дифференцируемой в данной точке функции и= =)(х!, хм ..., х ) справедливо представление е Симметричность втой квадратичной формы вытекает из равенства д'и дви (М) = — (М). Зх дхе дхадх и!аи = ~~~ ~~1 ! — с(хсс(хе.
(12.44) дхтдху, т=! ь=! Замечание 1. Функция пт переменных 1!, (я, .;., (е вида а))=-'~, з'пи!!се, где асв — постоянные вещественные числа, нам с=! е=! зывается квадратичной формой от переменных 1!, (т, ..., 1ы .а числа ам — ее коэффициентами. Квадратичная форма называется симметричной, если ее коэффициенты удовлетворяют условию ам=ам (для всех с= =1,2, ...,т;й=!,2,...,тп).
Полученное нами выражение (12.44) позволяет утверждать, что „для случая, когда аргументы х!, хм ..., х являются независимыми переменными, второй дифференциал два раза дифференцируемой .в данной точке М функции и=)(х!, хь ..., х ) представляет собой .симметричную', квадратичную форму от переменных с(х!, с(хт, ... ..., Нх, коэффициенты которой равны соответствующим частным :производным второго порядка функции и=) (х!, хя, ..., х ), взятмм ,в данной точке М, Отметим, что полученное нами выражение для дифференциала второго порядка (!2.44) можно переписать и в другом виде, ис- .пользуя формальный символ с( = с(х! — + с1х, — + ... + с(х,а —.
д д д (12.45) ' дхд дха дхм й 5, Производные н дифференциалы высших норндков 495 Учитывая зто соотношение, мы приходим к следующему представлению для второго дифференциала; !и ги »з йзи= ~) ~ — йхейх»4 ~ — сРх», дк;дх» дх» »=!с=! »=! нли (с использованием символа (12.48)) йзи= (с(хх — +йхе — + ... +41хм — ~ и+ д д д дх! дхе н дкм,) + ( — с1 х, + — й х, + ... + — с(зх,„) . 7 дн з дн з ди дх! дхз дхы (12.48) Сравнивая полученное нами представление (12.48) с представлением (12.46), мы убедимся в том, что (в отличие от первого дифференциала) второй дифференциал уже не обладает свойством ннвариантности формы.
Тем более не обладают свойством инвариантиости формы все последующие дифференциалы. 3 а меча н ие 2. Укажем важный частный случай„когда второй н последующие дифференциалы функции и переменных и= =1'(х!, хь ..., х ) все же обладают инвариантностью формы и определяются той самой формулой (12.47), что и для случая независимых переменных х!, хь ..., х . Будем говорить, что переменные х!, хы ..., х„являются л и н е йи ы м и ф у н к ц и я м и независимых переменных 1с, бм ..., 1ы если онн определяются равенствами к!=а!о+а;!1!+а!з1е+ ... +аы1» (с=1, 2, ..., пз)„ в которых через а:о„ап, ..., ас» обозначены некоторые постоянные.
Заметим, что если функция и=1(х!, хз, ..., х ) является и раз дифференцируемой в данной точке М(х!, хз, ..., х ), а ее аргументы хь хы ..., х являются линейными функциями независимых переменных 1с, 1ы „,, 1м то и-й дифференциал функции и=7(хс, хь ... ..., х ) определяется той же самой формулой (12,47), что и для случая независимых переменных хь хз, ..., х . Для того чтобы убедиться в атом, заметим, что поскольку 1!, 1„..., 1» являются независимыми переменными, то и-й дифференциал х! как функции аргументов 1!, гз, ..., 1» определяется равенством типа (12.47) „а точнее, равенством д д д !н а"х! = ( аг! — + Жн — +...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
