В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 101
Текст из файла (страница 101)
+ Й» — ) х!. дй ' дй '" д!») Но любая частная производная выше первого порядка от линейной функции х; равна нулю. Значит, йзхс=О, сРх,=О, ..., су'хз=О. 496 Гл. 12. Функции нескольких переменных (ат+аг+ ... +а )"=. (ое+ ав+" + ат)! а, аа ам — Х,,'.
"' '* ага, ...а а,+а,+ ... -)а„; — и 0<а!<н (12.49) (Суммирование в правой части этой формулы идет по всем целочисленным индексам аь аг, ..., а, каждый из которых удовлетворяет неравенствам 0<а~<а прн условии, что сумма всех этих индексов а!+аг+ ... +а равна и.) Формулу (12.49) нетрудно установить по индукции. В самом деле, при не=2 и любом целом и эта формула заведомо справедлива, ибо она переходит в известную формулу бинома Ньютона. Предположим, что эта формула справедлива для некоторого номера пт>2 и любого целого и, и проверим, что в таком случае она справедлива и для номера в!+1 и любого целого и.
Представив (а!+ах+ „. +а +а .и)" в виде (а!+аг+ .. +а +!)"=((а!+аг+ ... +а )+а,„+!)", подсчитаем с помощью бинома Ньютона коэффициент при а!'аг ... а"~ а +н!т. В силу равенства а!+аг+ ... +а 4!=и, формулы бинома Йьютона и предположения о справедливости формулы (12.49) для номера пт и любого целого п этот коэффициент равен е Са„„.т (ат+не+" +а~)! ат! ат!... ат! и! е Мы учитываем, что Со —— и потому н И (и и)! ' (а, + ае+ ...+ а„+ам.т)! а~+"т+ "+апнт а ! (а -1-а -1- ... -1-а )! Равенство с(гх;=О (при всех 1= 1, 2, „., и) и представление (12.48) дают право заключить, что т(ги определяется равенством (12.46).
Совершенно аналогично, используя соотношения !)вх;=О, ... ..., днх;=О, мы по индукции докажем, что т(ги, с(4и.... дни определяются равенством (!2.47). 3 а меч ание 3. При проведении вычислений иногда требуется расшифровать равенство (12.47) и, учитывая, что в этом равенстве имеются совпадающие члены, выписать все различные члены этого равенства со стоящими перед ними коэффициентами.
Для этой цели может быть использована фо)гмул а полипом а Ньютона, имеющая вид к б, Производные и дифференциалы высших порядков 49х (сс, + аз+ ° ° . + ам+ амч1)! (а, -1- а, + ... + ам) ! амг д (а, + а, + ... + а,„)1 а 1 а ) ... а„,1 (а, + а, + ... + а,„+ а„„,)! оч( 1аз~ ° ° ° ат1 аач11 Полученное вами выражение для коэффициента прш а",'а,"*...а ма +1 В тОЧНОСтн СОВПаДаЕт С тЕМ ВЫРажЕНИЕМ, КО- торос получится из формулы (12.49), если в этой формуле заменить номер и на пт+1. Индукции завершена, и формула (12.49) доказана.
Формула (12.49) дает нам право переписать выражение.- (12.47) для и-го дифференциала в следующем виде: с(ии(М) = ~~~ д"и (М)(дх а )(с(х )а, (с(х )а дх"'дх'"" ... дха~ 1 2 чч+а,+...+а =ч О-а,<и 3. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ть в интегральной форме. Договоримся обозначать й-й дифференциал функции пс переменных и=)(х1, хь ..., х ) в точке М пространства Е" символом дви(м.
Докажем следующую важную теорему. Теорема 12.15. Пусть п)Π— целое число, функция и= =1(х1, хь ..., х ) задана в некоторой и-окрестности* точки Мо(х1, хз, „,, х ) и и+1 раз дифференцируема в указанной окрестности. Тогдаполное приращение Ли=)(М) — )'(Мо) этой функции в точке М может быть представлено в следующей форме. аи = с(и ~ + — с(зи ~ +... + — д"и ~ + 41"+'и ~ ° (12.50) ~м. 21 ~м, л( (м, (и -)- 1)! (н при этом 111' — некоторая точка указанной окрестности„зависящая, вообще говоря, от М(х1, хя, ..., х ), а дифференциалы с(х1 переменных хь входящие в выражения с(еи(м, и сР+ти(н, равны ах1= =х; — х1о. Формула (12.50) называется формулой Тейлора для функции и=((М) с центром разложения в точке Мо, а последний член формулы (12.50) называется о стого чн ьсм ч л ем ам, записанным в форме Лагранжа.
До к аз а тел ь от в о. Для сокращения записи проведем рас-- суждения для функции и=)'(х, у) двух переменных х и у. Предварительно запишем в специальной форме формулу Тейлора для и+1 раз дифференцируемой в некоторой окрестности точки 1о, функции и=Р(1) одной переменной 1. Напомним, что формула Тей- ь Вместо е-окрестности точки Мо можно взять любую звездную акр еетно сть втой точки (т. е, любое открытое множество, содержащее точку Мь и обладающее следующим свойством: если точка М принадлежит этому множеству, то и весь отрезок прямой МчМ ему принздлежит).
Гл. !2. Функции нескольких переменных .лора с центром разложения в 1о для функции и=Е(1) одной переменной имеет следующий вид: Е«)=Е«)+Е'«)« — 1)+ — 'Е «)(! — 1)к+... 21 + — Е1 (1)«1) + Е «е+0«1о))«1в) л1 (л+ 1)! 0<0<1. (12. 51) Так как аргумент ! является независимой переменной, то приранцение Л1=! — 1о представляет собой дифференциал Ж независимой переменной й Поэтому Еов«в) « — 1в)к=Ем«в) « =~еЕ«в) =~")а 61 (12. 52) Е<"+и (1„+ 8 « — 1е)) « — 1,)"+' =с!и-~'и)ь ьвн ьн Если мы обозначим разность Е(1) — Е(1в) через Ли, то согласно (12.52) формулу Тейлора (12.51) можно записать в следующей специальной форме: Ли=с(и~ + — с(ки~ + ..:+ — д"и~ + й1к+ои!сввп — аь а 2! ~а л! !а (л+ 1)! (12.53) .Рассмотрим теперь в е-окрестности точки Мо(хо, уо) произвольную точку М(хо+Лх, ув+Лу) и соединим точки Мв и М прямой линией.
Очевидно, координаты х и у точек указанной прямой представ.ляют собой следующие линейные функции новой переменной и х=хо+Ых, У=Ус+(ЛУ! (12.54) ;при этом координаты точек отрезка М,М соответствуют значениям переменной ! из сегмента (О, 1]. Отметим, что значению 1=0 отвечает точка Мы а значению 1=1 — точка М. Так как по условию функция и=1(х, у) двух переменных х и у и+1 раз дифференцируема в рассматриваемой окрестности точки Мы то из формул (12.54) вытекает, что на прямой МвМ эта функция является слож.ной функцией переменной ! из сегмента [О, Ц.
Обозначим эту .сложную функцию через Е(1) и запишем для нее формулу Тейлора с центром разложения в точке 1,=0 в специальной форме (12.53) при Ли = Е (1) — Е (О) =1(М) — ! (Мв) . Фигурирующие в формуле (12.53) дифференциалы различных порядков представляют собой дифференциалы сложной функции и= =1(х, у), где х и у являются линейными функциями (12.54). Сог.ласно замечанию 2 предыдущего пункта при этих условиях дифференциалы любого порядка функции и=1(х„у) могут быть запи.саны в форме (12.47). Поэтому $ З, Производные и дифференпиалы высших порядков 499 й'и )„о = (йх — + йУ вЂ” ) и)мих. гл!й и)м„(12.55). д дх др / д д 1л+! й рзи)ьро!! !! ! йх — +йу — ) и1н!х,+оом „+ода!=сР+'и)н дх др ) о о о (хы ха а хщ): 1 (х!а хз > Хл!) + л о д -с р — (х,— х!) — +(х,— хя) — +...
+ (хы — х,„) — )с И дхз дх, дх,л ~ а=! х 7(хз, х„... х )+ 1 ! о д о д [(х,— х!) — + (х,— хз) — + (л+ 1)! ! дх! дхе в д !л+! о ... + (х,л — х ) — ~ 1(х!+ дх„, ) + 0 (хх х!) хз, 0 (ха хя) .. ° а хлз+ В (х!л хлз)) ° (12.57) С л еде т в и е. Если функция и=)(х!, хя, ..., х ) удовлетворяет тем же условиям, что и в теореме 12.15, и, сверх того, все частные производные этой функции порядка и+! непрерьзвны в рассматриваемой е-окрестности точки !з(о, то остаточный член„ т.
е. последний член в формулах (12.50) и (12.57), может быть. записан в виде ! МФ л+1 — ) (1 — 1)л ['~'(х; — х;) — ~ х !о 1=! Х 1(х!+1(х, — х!), ха+1(х,— хо),..., х,„+1(х,„— хы)) й. Такую форму остаточного члена естественно назвать интег р а л ь н о й. Для получения формулы Тейлора с остаточным членом в интегральной форме следует записать в интегральной форме остаточный член в формуле Тейлора для функции одной переменной Е(1), рассмотренной при доказательстве теоремы 12.15, т. е. воспользоваться результатами п.
4 0 4 гл. 9. В рас- причем в формулах (12.55) йх и йу находятся из соотношений. (12,54) при сЫ=Ь1=1 — 0=1. Таким образом, в формулах (12.55) йх=ЖЬх=Ьх и йу=й1Ьу=Ьу. (12.56) Подставляя сРи)1, и й"++и)ь+о!! !,! из (12.55) в формулу (12.53) и учитывая соотношения (!2.56), мы получим формулу Тейлора, (12.50) . Приведем развернутое выражение формулы Тейлора (12.50)! длЯ фУнкции и=7(хь хь ..., х,„): .оОО Гл. 12. Функцнн нескольких переменных ! сматриваемом случае указанный остаточный член имеет вид ! ( Ры+и (1) (1 1)лй( и! 3 о Это и приводит нас к написанному выше выражению остаточного члена для функции и=1(хь хм -., х ).
4. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Те о р ем а 12.15'. Пусть и) 1 — целое число, функция и= =1(М) =1(хь хз, ..., х ) задана и п — 1 раз дифференцируема в :е-окрестности точки Ме(х,е, х,о, ..., х о) и и раз дуфференцируема в самой точке Ме е. Тогда для любой точки М из указанной е-окрестности справед.лива следующая формула: 1(м)=1(ме)+ — йи~ + — йзи~ + ...
+ ! й"и~ +о(р"), (12.58) в которой через р обозначено расстояние р(мо, М), а символ о(р") обозначает бесконечно малую при р- 0 (или при М- Ме) функцию более высокого порядка малости, чем р". Формула (12.58) называется формулой Т ей л о р а (с цент!ром в точке Ма) с остаточным членом в ф о р м е П е а н о. За меча н и е.
В более подробной записи формула Тейлора (12.58) имеет вид 1(хт, х, ° ° °, х ) =1(х! хз, ° ° ° х )+ Ч-Ч! Г о д а д + ~,— ~~(х,— х,) — + ...+(х.— х.) — 1х а=! х 1(хоз, хт, ..., хо)+о(Р"). (12.59) Заметим, что в правой части (12.59) стоит сумма многочлена степени и от т переменных хь хз, ..., х и остаточного члена о(р"). Обозначим через у„(М) разность между 1(М) и указанным !многочленом, т. е.
положим д„(м) =1(м) — 1(м.)— — ~~ — ~(х,— х!) — + ... + (х — х ) — ~ 1(м,). (12.60) А1 'Г дхт дхун ~ а ! Теорема 12.15е будет доказана, если мы установим, что при выполнении условий этой теоремы д (М) =о(р"). ь Прн п=1 следует требовать, чтобы функцнн и=1(М) была только задана а! е-окрестности точки Ме н днфференцнруема в самой точке Мм $5. Производные и дифференциалы высших порядков 501 Доказательству теоремы 12.16* предпошлем две леммы. Л ем ма 1. Если функиия 1(М) =1(х1, хь ..., х ) и раз дифференцируема в точке Ме(х1о, хво, ..., х„'), то как сама функция у„(М), определяемая равенством (12.60), так и все ее частные производные по любым переменным хь хь ..., х до порядка и включительно обра1цаются в нуль в точке М, ,Д о к а з а т е л ь с т в о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
