В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Поэтому днффсренциал е(и этой сложной функции можно представить в виде ь(и = — »Ы + — д! +... + — Ж», (12.33) дй д1» д1» ди ди где — определяются из соотношений (12.22). Подставляя дб дб 481 э 4. Производные и дифференциалы из (12.22) в (!2.33) и собирая коэффициенты при ди/дхь получим с(и = — ~ — с(11 + — 'Йа+ ... + — й») + ... ди / дхз дх,, дхг дхз ~ дзз д1з дс» ... + — ~ — (1, + — (!в+ ... + — Ш»~.
ди Г дх,„ дхм дх,„ дхт (, дй дГз дс» Остается заметить, что в последнем соотношении коэффициент при ди/дхг равен дифференциалу с(хг функции хг= р;(рь 1з, ..., г»). Мы получим для дифференциала с(и сложной функции формулу (12.20), в которой дифференциалы с(хе будут дифференциалами функций хг=ср,(1ь 1в ..., 1»), Инвариантность формы первого дифференциала установлена. Свойство инвариантности формы первого дифференциала позволяет установить следующие правила дифференцирования. Пусть и и о — дифференцируемые функции каких-либо переменных.
Тогда г((с-и) =с с(и (с=сонэ!), с((ич-в) =с(и+-сЬ, с! (ио) = ис1о+ос(и, / и '! они — идз о / оз Докажем, например, справедливость третьей из указанных формул. Рассмотрим функцию си=ив двух переменных и и в. Дифференциал этой функции с(га равен Йг = — с(и + — с(в. дгв дге ди до дгв двг Так как — =о н — =и, то с!за=из(о+ода. В силу инвариди дв антности формы первого дифференциала выражение ис(в+ос(и будет дифференциалом функции ио и в случае, когда и и о сами являются дифференцируемыми функциями каких-либо пере. менных. 8. Производная по направлению.
Градиент. Начнем с рассмотрения функции трех независимых переменных и=!(х, у, г), Предположим, что эта функция определена в некоторой окрестности точки Мо(хо, уо, хо) пространства Ез и дифференцируема в точке Мо. Рассмотрим всевозможные лучи, выходящие нз точки Мо. Каждый такой луч задается единичным вектором е с координатами (сова, совр, сову) * и определяет некоторое направление. * Из курса аналитической геометрии известно, что если единичный вектор е составляет с осями координат углы, соответственно равные а, р, т, то коор. 18 Ззк.
тз 482 Гл. 12. Функции несколькик переменных Фиксируем некоторый луч, выходящий из точки Ме и определяемый единичным вектором е с координатами соя а, совр, соя у. Взяв на прямой, содержащей этот луч, произвольную отличную от Ме точку М, рассмотрим вектор или направленный отрезок МоМ и обозначим через 1 величину этого направленного отрезка на оси, определяемой единичным вектором е= (соя а, соя р, сояу) *. Ясно, что вектор МеМ имеет координаты (1соя а, 1соя р, 1соя у).
С другой стороны, если координаты точки М равны (х, у, г), то вектор МеМ имеет координаты, равные (х — хо, у — уе, г — г'), Сопоставляя два полученных нами соотношения для координат вектора МеМ, мы приходим к равенствам х=хе+1соза, у=уо+1созр, г=го+1сояу. '1234) Равенства (12.34) показывают, что на прямой, проходящей через точку Мо и определяемой единичным вектором е= (соя а, сояр, сояу), функция и=у(х, у, г) представляет собой сложную функцию одной независимой переменной 1 вида и=у(хо+1сояа, у'+1соя р, го+1соя у). Определение 1. Производную указанной сложной функции по переменной 1, взятую в точке 1=0, назовем производной функции и=у(х, у, г) в точке Мо по направлению, определяемому единичньгм вектором е, и будем обозначать символом ди/де. Итак, по определению — = — (М,) соя а + — (М,) соя р + — (М,) соя у.
(12.35) де дхт ду дх Введем понятие градиента дифференцируемой в данной точке Мо(хе, уо, го) функции и=)(х, у, г). Определение 2. Градиентом функции и=у(х, у, г) в данной точке Мо(ха, уо, го) называется вектор, координаты которого имеют вид (Мэ) (Мэ) (Ме) дх ду дх Для обозначения градиента функции и=у(х, у, г) обычно используют символ атас( и. динаты этого вектора равны сова, совр, сову. Указанные три косинуса принято называть направляющими косинусами вектора е. * Величиной Г направленного отрезка М«М оси, определяемой единичным вентором е, называется число, равное длине отрезка М«М, взятой со знаком «плюс>„если векторы М«М и е направлены в одну сторону, и со знаном «минусгч если эти векторы направлены в разные стороны. 4аз й 4.
Производные и дифференциалы Итак, по определению атаби (М,) = ~ — (М,), — "(Мз), —" (М,)) (12.3б) 'г дх ду з' дх Так как скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений одноименных координат этих векторов, то выражение (12.35) длЯ пРоизводной по напРавлению, опРеделЯемомУ вектором е, можно рассматривать как скалярное произведение вектора (!2.36) и е= (сова, соз р, соз р). Итак, мы получаем, что ди — = (е, атаби). де (12,37) где ср — угол между векторами е и пгаб и. Учитывая, что 1е~ =1, мы получим, что ди — == )нгас)и!сон гр.
де Из последнего равенства вытекают оба утверждения 1) и 2). ди В самом деле, максимальное значение производной — полуде чится при созср= 1, т. е. при совпадении направления е с направлением пгаб и, причем производная ди/де в этом направлении равна !йтаб и!. Доказанные два утверждения позволяют утверждать, что градиент не зависит от выбора системьи координат (ибо и направле- ' Этот факт устанавливается в аналитической геометрии.
се* С помощью равенства (12.37) убедимся, что градиент функции и=((х, у, г) в точке Мв характеризует направление и величину максимального роста этой функции в точке Ме. Точнее, докажем два утверждения: 1) производная функции и=((х, у, г) в точке Ме по направлению, определяемому градиентом этой функции в указанной точке, имеет максимальное значение по сравнению с производной и этой точке по любому другому направлению: 2) значение производной функции и=((х, у, г) по направлению, определенному градиентом этой функции в данной точке, равно ~йгаб и~, т. е.
равно длине вектора пгаб и в данной точке. Для доказательства указанных двух утверждений заметим, что скалярное произведение двух векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними*. Поэтому выражение (12.37) можно переписать в виде — = !е! !атаби! соз~р, ди де Гл. 12. Функции нескольких переменных ние, и длина вектора нгаг(и в каждой данной точке инвариантны относительно выбора системы координат).
Для выяснения геометрического смысла вектора дгао(и целесообразно ввести понятие п о в е р х н о с т е й у р о в н я функции и=/(х, у, г), понимая под этим термином те поверхности, на которых функция и=/(х, у, г) сохраняет постоянное значение, т. е удовлетворяет соотношению 1(х, би, г) =с=сопи(. Если в каждой точке Мо(хо, у, го) поверхности уровня /(х, у„ г) =с построить касательную плоскость, то легко убедиться в том, что нормальным вектором такой плоскости будет являться вектор (12.36), т.
е. йтас)и". Отсюда следует, что вектор атаби в каждой точке М повсрхности уровня 1(х, у, г) =с ортогонален к этой поверхности. Совершенно аналогично определяются производная по направлению и гб1тадиент для дифференцируемой в данной точке Мо(х1о, хто,...,х,„) функции т переменных. ди Для такой функции производная — в данной точке де Мо(х1', хз', ...,хо„) по направлению, определяемому единичным вектором е=(созаь совах,...,сова ) оч, вводится как обычная производная по переменной 1 сложной функции и=/(х~о+ +1созаь хто+1созаз, ...,хо +1соза ) взятая в точке 1=0.
Для любой дифференцируемой в данной точке Мо(х,о, ХР, ... ...,х' ) функции и=/(хь хж ...,х ) производная в этой точке по направлению, определяемому вектором е= (сов аь соз аь ..., ..., соз а ), равна — = — (М,) соз а, + — (М,) соз ах +... + — (М,) соа сс . ди ди ди ди до дх, ' ' дх, дх,„ (12.35о) Градиентом дифференцируемой в данной точке Мо(хго, хзо,.- ...,хо ) функции и=Дхь хз,...,х ) называется вектор, обозна- * Напомним, что нормальным вектором плоскости называется ненулевой вектор, перпендикулярный к этой плоскости. В п. 3 настояшего параграфа было установлено, что для поверхности, определяемой уравнением /(х, у) =2, нормальный вектор касательной плоскости в каждой точке этой поверхности имеет вид ( д/ д/ — — , — 1), Аналогично устанавливается, что для поверхности, опредедх ду ляемой уравнением Ях, у, 2) -с, нормальный вектор касательной плоскости в / д/ д/ д/ каждой точке этой поверхности равен ~ — ° — ° — = агади.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
