В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Тогда ««, повторные предела 1пп 1пп1(х, у) и 1пп1!гп1(х, у) существуют «-к«, О-ку, о о. « «, и оба равны Ь. Д о к а з а те л ь с тв о. Так как функция и=р(х, у) имеет в точке Мо(хо, уо) предел Ь, то для любого е>0 можно указать такое б)0, что при )х — хо) <б и !у — уо(<б выполняется нера- венство !1(х, у) — Ь)<е. Таким образом, в прямоугольной ок- рестности !х — хо!<6 и !у — уо! <б точки Мо значение функции 1(х, у) отличается от Ь не больше чем на е.
Но тогда пределы гр(х) и гр(у), указанные в формулировке теоремы при х и у, 460 Гл. 12. Функции нескольких наременнмх удовлетворяющих неравенствам )х — хе) <б и )у — уе) <б, также отличаются от Ь не больше чем на е. Следовательно, и пределы этих функций в точках хз и уе соответственно существуют и равны Ь. Теорема доказана. Можно определить понятие повторного предела для так называемых двойных последовательностей (а „), элементы а „которых определяются двумя индексами и и и. Именно символ !пп 1ппа „означает, что сначала определяетт и а-~м ся последовательность (Ь„), Ь„= 1пп а „, а затем находится предел этой последовательности (Ь ).
Рассмотрим, например, двойную последовательность (а где а „=сов"2пп!х, х — фиксированное число. Докажем, что ~ 1, если х — рациональное число, 1!тп 1!пз соз'" 2тсп!х = ~ ! О, если х — иррациональное число. В самом деле, если х=р/д, где р н д — целые числа, второе из которых положительно, то при пъд имеем сов 2пп!х=1, и поэтому 1пп совм2яп!х=1. Иными словами, если х — рациож он~а нальное число, то !пп1ппсоз" 2пп!х=1. Если же х — ирра- Л ФФ %-+Ф ци он а льна е число, то при любом и справедливо неравенство !соз2яп!х1<1, и поэтому 1!т сов'"2яп!х=О, т. е. 1!гп 1пп соз'"2пп!х=О.
3 а м е ч а н и е. Используя полученный результат, мы можем аналитическим способом задать функцию Дирихле (см. п. ! $4 гл. 3) как повторный предел !пп !пп соз'" 2пп!х. «-~м м ~м й 3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ нт ПЕРЕМЕННЫХ 1. Понятие непрерывности функции т переменных.
Рассмотрим функцию от переменных и=Г(М), заданную на некотором множестве (М) пространства Е'". Пусть А — некоторая точка Е™, принадлежащая множеству (М) и такая, что в любой б-окрестности точки А содержатся точки множества (М), отличные от А. е Формальное определение непрерывности функциии в точке. Функция и=!(М) называется непрерывной в точке А, если предел этой функции в точке А суи!ествует и равен частному значению !'(А), * Это означает, что А является предельной точкой множества !М!. 4 3. Непрерывность функции т переменных 461 Заметим, что поскольку 'А=1пп М, то условие непрерывносм л ти функции !'(М) в точке А можно символически записать в виде 1нп)(М) =1(!'ппМ). м-ьл м л Таким образом, для непрерывной в данной точке А функции символ 1цп предела и символ ! характеристики функции можно менять местами.
Точки пространства Е™, в которых функция и=1(М) не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва этой функции. Используя определение предела функции в точке А по Гейне и по Коши, мы придем к определениям непрерывности функции в данной точке по Гейне и по Коши. Определение 1* (непрерывность функции в данно й точке по Гейне). Функция и=!(М) называется неп рер ыв но й в точке А, если для любой сходящейся к А последовательности (М„) точек множества (М) задания этой функции соответствующая числовая последовательность (1(М„)) значений этой функции сходится к числу 1(А). Определение 1*(непрерывность функции в данной точке по Коши). Функция и=)(М) называется непрерывной в точке А, если для любого положительного числа е найдется отвечающее ему положительное число 6 такое, что для любой точки М из множества (М) задания этой функции, удовлетворяющей условию р(М, А) <б, справедливо неравенство !!(М) — !" (А) ) <е.
3 а м е-чан не. В отличие от определения предела по Гейне, ыы опускаем в определении 1 требование М„ФА. Это можно сделать в силу того, что функция 1(М) определена в точке А и добавление к последовательности (!(М )), сходящейся к числу 1(А), любого количества новых элементов, равных !'(А), не нарушит сходимости этой последовательности к 1(А), Аналогично, в отличие от определения предела по Коши, мы опускаем в определении 1* требование р(М, А)>0 или, что то же самое, М~А. Это можно сделать в силу того, что функция 1(М) определена в точке А и при М=А неравенство 1)(М) — ((А) ~ <е справедливо для любого е>0. Можно сформулировать и еще одно эквивалентное определение непрерывности функции )(М) в данной точке А. Определение 1 "е.
Функция )(М) назьчвается непрерывной й в то ч к е А, если для любой окрестности точки 1'(А) пространства Е' найдется такая окрестность точки А пространства Е, что образ всех точек множества задания функции, лежащих в этой окрестности точки А, при отображении, осуществляемом функцией ), целиком лежит в указанной окрестности точки !(А). 462 Гл. 12. Функции нескольких переменных Пусть теперь (М) — множество точек пространства Е", в любой 6-окрестности каждой точки М которого содержатся другие точки этого множества *.
Такое множество (М) называется ил отным в себе*". Определение 2. Функция и=1(М), определенная на множестве (М), называется непрерывной на этом м нож ест« в е, если она непрерывна в каждой точке М этого множества. Назовем приращением или полным приращением функции и=!(М) в точке А функцию Ли, определяемую формулой Ьи=~(М) — ~(А), (12.5г где М вЂ” любая точка из области задания функции. Пусть точки А и М имеют соответственно координаты аь а,,...,а и хь хг,...,хип Обозначим хг — аз=ахи х,— аг=Лхг, ..., х„,— а =Лх . Используя этгг обозначения, получим для приращения функции Ли, соответствующего приращениям аргументов Ьхг, Лхг, ..., Лх, следующее выражение: сзи=!(аг+Ьхг, аз+саха, - а +бгх ) — ~(аг, аг, ..., а,„).
(12.6)' Очевидно, для непрерпгвности функции и=((М) в точке А необходимо и достаточно, чтобы ее приращение Ли представляло: собой бесконечно малую в точке А функцию, т, е. необходимо и достаточно, чтобьг 11т Ли = ! пп (1(М) — ! (А)) = О, илн ! 1гп Ли = О. (12.7) м л м л лг, о, Лг. О, Зам Условие (12.7)' естественно назвать разности ой формой условия непрерывности функции и=!(М) в точке А. 2, Непрерывность функции гп переменных по одной переменной. Для функции и=!(хь хг, ..., х ) нескольких переменных можно определить понятие непрерывности п о о д н о й и з п е р е м е и н ы х при фиксированных значениях остальных переменных. Для введения этого понятия рассмотрим так называемые ч а с т н ы е п р и- ращения функции и =! (хг, ..., х ) в точке М (хь хг, ..., х ), при.
надлежащей области определения функции. Зафиксируем все аргументы, кроме первого, а первому аргументу придадим произвольное приращение Лхг такое, чтобы точка с координатами хг+Лхп хы .,х находилась в области задания функции, Соответствующее * Это означает, что любая точка М множества (М) является предельной точной этого множества. *' Примером плотного в себе множества могут служить любое иепустоо открытое множество и любая замкнутая область, а также множество вссг точек, содержапГнхся в открытом множестве и таких, что все координаты этик точек являются рациональными числами.
463 $3. Непрерывность функции и переменных приращение функции называется ч а с т н ы м и р и р а щ е н и е м * функции в точке М(хь хг, ...,х ), соответствующим приращению Лх, аргумента хь и обозначается Л,, и. Таким образом, Л„,и=у(ха+ Лх„х, ..., х ) — у(х„х„..., х ). (12.8) Аналогично определяются частные приращения функции, соответствующие приращениям других аргументов: Лх,и=у (хг, хг+ Лхг, хг, ..., хя,) — у (хг, хг,...г х„,), (12.9) Л„и=у(х„х„..., х „х +Лх ) — 1(хг, х„..., х ). Введем теперь понятие непрерывности функции и=)(хг, хг, ...
...,х ) по одной из переменных. Функция и=у(хг, хг, ...,х ) назвгвается непрерывной в точкее М(хь хь ...,х ) по переменной хю если частное прираи4ение Л„„и этой функции в точке М представляет собой бесконечно малую функцию от Лхы т. е. если 1пп Л, и=-О. ах, о При фиксированных значениях всех переменных, кроме пере. иенной хд, функция и=у(хг, хг, ..., х ) представляет собой функцию одной этой переменной. Отметим, что непрерывность функции по переменной ха означает непрерывность указанной функции одной переменной. Очевидно, из условия непрерывности функции и=)(хг, хг,...,х ) в данной точке М вытекает непрерывность этой функции в точке М ло каждой из переменных хь хь , х .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
