В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Обобщением этих понятий и является т-мерное координатное пространство А'". Понятия координатной плоскости и трехмерного координатного пространства являются источниками удобной геометрической терминологии, употребляемой при изучении т-мерного координатного пространства А' . Заметим теперь, что для наших целей оказывается недостаточно понятия и-мерного координатного пространства А".
Мы не обойдемся без измерения расстояний между точками этого пространства. Для введения понятия расстоянкя между точками координатного пространства А'" естественно отправляться от понятия расстояния между двумя точками координатной плоскости и двумя точками трехмерного координатного пространства (соответствую- ' Напомним, что линейным пространством называется совокупность векторов х, у, х, ...любой природы при условии, что лля элементов этой совокупности определены операция сложения векторов и операция умножения вектора на ве. щественное число, причем эти операции удовлетворяют восьми аксиомам: 1) х+ +у=у+я; 2) (х+у)+г=х+(у+а); 3) существует нулевой вектор О такой, что х+О=х для любого вектора х; 4) лля любого вектора х существует противоположный ему вектор х' такой, что х+х'=О; 5) э(х+у) =)гх+Лу1 б) ().+1г)х= =йх+их; 7) Х(рх) = (Хр)х; 8) 1 х=х. Легко проверить, что координатное пространство Ам с определениями операции сложения векторов и операции умножения вектора на число, данными в замечании 1, удовлетворяет восьми указанным аксиомам и, значит, является линейным пространством.
444 Га. 12. Функпии нескольких переменных щие формулы хорошо известны читателю из курса аналитической геометрии). О п р е д е л е н и е. Координатное пространство Аж называется птмерным евклидовоам п рост ранстволс если между двумя любыми точками М'(хс', ха', ..., х ') и М" (х"ь х.", ..., х ") пространства А'" определено расстояние, обозначаемое символом р(М', М") и выражающееся соотношением р (М', М ) = )Г(х, — х,)' + (х — х")' + ...
+ (х — х")'. (12.1) Будем обозначать т-мерное евклидово пространство символом Е'". Введенное нами понятие пт-мерного евклидова пространства Е~ является естественным обобщением понятий евклидовой плоскости и трехмерного евклидова пространства, изученных в курсе аналитической геометрии. 3 а м е ч а н и е 2. В курсе линейной алгебры дается общее определение евклидова пространства как такого линейного пространства, для которого указано правило, ставящее в соответствии любым двум элементам х и у этого пространства вещественное число, называемое с к а л я р н ы м и р о и з в ед е н и е м этих элементов и обозначаемое символом (х, у), прн условии, что это правило удовлетворяет четырем аксиомам: 1) (х, у)=(у, х); 2) (х+у, х)=(х, 2)+(у, х); 3) (Хх, у)= =г.(х, у); 4) (х, х) ~0, причем (х, х) =0 только для нулевого элемента х=о. Легко проверить, что если в пространстве А, элементы которого рассматриваются как векторы х с координатами (х„х„... ..., х ), определить скалярное произведение двух элементов х= = (хь ха, ..., х ) и у= (уь уа, ..., у ) соотношением (х, У) =хаУс+хаУа+ ...
+х у,„ (12.2) то будут выполнены четыре указанные аксиомы и пространство Аж превратится в евклндово пространство (с'точки зрения общего определения евклидова пространства). Напомним, что линейное пространство называется н о р м ир о в а н н ы м, если указано правило, ставящее в соответствие каждому элементу х вещественное число, называемое н о р м о й этого элемента н обозначаемое символом )!х)!, причем указанное правило удовлетворяет трем аксиомам: 1) ))х+у(! ())х!)+!)у)); 2) )!)х))= !Х! )(х)); 3) )!х()~0, причем ))х!! =0 только для нулево-, го элемента х *. * В аксиоме 3) можно опустить требование !!к!!)О.
В самом деле, это требование является логическим следствием аксиом 1) и 2) и предположения о том. что 1!к1=0 только для нулевого элемента к (достаточно в аксиоме 1) положить у=- — к). $ 1. Понятие функции т переменных В курсе линейной алгебры доказывается, что всякое евклидово пространство является нормированным: достаточно определить норму любого элемента х соотношением йх)) =- )'(х, х) *. Нормированное пространство всегда является так называемым м е тр и чес ки м пространством, т.
е. таким пространством, в котором указано правило, ставящее в соответствие любым двум элементам х' и х" вещественное число, называемое р а с с т о я н и е м между этими элементами и обозначаемое символом р(х', х"), при условии, что это правило удовлетворяет трем аксиомам: 1) р(х, у) =р(у, х); 2) р(х, у) ~р(х, х) +р(х, х); 3) р(х, у)ъО, причем р(х, у) =О, только когда х=у*"'. Достаточно определить расстояние р(х', х") соотношением р(х', х").— -- ()х' — х")) =)' (х' — х", х' — х"). Если учесть, что координатное пространство Ам является евклидовым пространством со скалярным произведением, определяемым соотношением (12.2), то мы придем к следугощему выражению для расстояния р(х', х") между двумя элементами х'= (хг', х'г,, х',„) и х"= (хг", хг", ..., хм") пространства А р(х', х")=-)у(х' — х", х' — х")=- = — )/(х,' — х",)'+ (х' — х,",)'+...
+ (х' — х" )'. Полученное выражение в точности совпадает с величиной,. стоящей в правой части (12.1). 2. Множества точек гп-мерного евклидова пространства. Если у функции у=)(х) одной независимой переменной х, областью определения которой является некоторое множество (х) точек од. номерного евклидова пространства Е', заменить это множество (х) некоторым множеством (М) точек и-мерйого евклидова пространства Е™, то мы естественно придем к понятию функции лт независимых переменных. Отсюда ясно, что введению функции лт переменных должно предшествовать описание важнейших типов множеств точек т-мерного евклидова пространства Е'". Перейдем к описанию таких множеств. 1'.
Множество (М) всевозможных точек М пространства Е'" координаты хь хж..., хм которых удовлетворяют неравенству (хз — х,)г+(хг — хг)'+ . +(х — х,„)г()сг .называется открытым т-мерным шаром радиуса Й с центром В точке МО(хь хг, .", хаг) . " См., например; В, Л Ильин, Э. Г. Позняк, Линейная алгебра. '* В аксиоме 3) можно опустить требование р(х, у) ъб. В самом деле, это требование является логняегким следствием аксиом 1) н 2) и предположения о Гл. 12. Функции нескольких переменных Иными словами, открытый пт-мерный шар радиуса )т с центром в точке М, — это множество всех точек М, для каждой из которых расстояние от фиксированной точки М, удовлетворяет неравенству р(М, М») ()(. 2'. Множество (М) всевозможных точек М пространства Е'", координаты хь хз, ..., х которых удовлетворяют неравенству (х» — х~)з+ ...
+(х — х )'(г(з, называется вам кн у ты м тмерным шаром радиуса )г с центром в М». 3'. Множество (М) всевозможных точек М пространства Е"", координаты х„хз, ..., х которых удовлетворяют равенству (х,— х,)'+(хз — хз)'+ ... +(х — х )з=ттз, называется т-м ер ной сферой радиуса )с с центром в точке М,. 3 а м е ч а н и е 1. Отметим, что если к открытому т-мерному ,шару радиуса )с с центром в точке М, присоединить и-мерную сферу радиуса Р с центром в точке М,, то получится замкнутый ,т-мерный шар радиуса Я с центром в точке М».
4'. Открытый т-мерный шар радиуса е>0 с центром в точке М, будем называть е-о к р е с т н о с т ь ю точки М». 5'. Множество (М) всех точек М, координаты хь хз, ..., х„которых удовлетворяют неравенствам ) хг — хг ) (А, ! хз — хз ~ (дз, -, ~ хзч — хт ) ( д»о тде А, А, ..., д — некоторые положительные числа, называется открытым тмерным координатным параллелепипедом с центром в точке М»(хы хж..„х,) нли прямоуголь.
но й он реет ность|о точки М». Справедливо следующее элементарное утверждение: любая е-окрестность точки М» содержит некоторую прямоугольную окрестность этой гочки; агюбая прямоугольная окрестность точки М», содержит некоторую е-окрестность точки Мо *. 6', Точка М множества (М) точек пространства Е'" называется в н у т р е н н е й т о ч к о й этого множества, если существует некоторая в-окрестность точки М, все точки которой принадлежат мно. жеству (М). 7'. Точка М пространства Ег» называется в не ш ней точкой множества (М), если существует некоторая н-окрестность точки Л, все точки которой не принадлежат множеству (М).
том, что р(х, у) =О, только когда х=у (достаточно в аксиоме 2) положить у=х). " В самом деле, если для фиксированного е>0 положить А=Н»=...=й =.»9ль то прямоугольная окрестность точки М» с указанными А, аз, ..., з будет содержаться в а-окрестности точки М». Если для фиксированных Д>0, ог>0, ..., о >О положить е=пбп(г(ь г(з, ..., г( ), то е-окрестность точки М» будет содержаться в прямоугольной окрестности точки М» с указанными А, А..., , о' й Е Понятие функнии ш переменных 8 . Точка М пространства Е'" называется г р а н и ч н о й т о ч к о й множества (М), если эта точка не является ни внутренней, ни внешнеи ~очной указанного множества *. 3 а м еч ание 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
