Главная » Просмотр файлов » В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF)

В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 86

Файл №1108882 В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF)) 86 страницаВ.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882) страница 862019-04-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 86)

Как обычно, определим последовательность (х,) по рекуррентной формуле х„=Р(х„1), п=1, 2, .... Докажем, что последовательность (х„) сходится к искомому корню с. Для этого, в силу утверждения 1 из п. 2, достаточно доказать, что все х„лежат на сегменте [а, Ь] и что последователь. ность (х„) сходится. Применяя метод индукции, докажем, что все х„лежат на сегменте [а, Ь], точнее, на сегменте [а, с], где с — искомый корень.

Так как хс лежит на сегменте [а, с], то для проведения индукции достаточно, предположив, что х„лежит на указанном сегменте, доказать, что х„+1 также лежит на этом сегменте. По- скольку х .т=Р (х„)=х„— (Ь вЂ” х.) 7(х„) 1(Ь) — г(х„) то, учитывая, что 1(с) =О, будем иметь ** (11.8) (Ь вЂ” х„) Г(хп) (Ь вЂ” хл) [Г (с) — Г (х„)] х т х„— Г (Ь) Г (ха) [Г ( Ь) Г (с)] + [г (с) Г (хл)) Применяя к выражениям в квадратных скобках формулу Лагранжа, получим 1 (Ь) ' При атом мы считаем, что г" (Ь) =Ь вЂ” —,. Тогда функция Р(х) Р(Ь) будет непрерывна иа всем сегменте [и, Ь].

*' В дальнейшем мы предполагаем, что х <с, ибо если х„=с, то 1(х„) = =1(с) =0 и, анашгв х„ч1=-х,.=-с, т. с. принадлежность х +г сегменту [с, с] установлена, Гл. 11. Приближенные методы 428 (Ь вЂ” х ) 1' Йл) (е — хл) ( — ) 1'(В.")+ ( — ") Р (5.) (11.0) где х„<$„<с, с<с„е<Ь, т. е. к„<~„е.

В силу неубывания и положительности производной )" (х) можем записать 0<1'Д,) <)'(к„е). Отсюда, так как Ь вЂ” с>0 и с — х„>0, получим (Ь вЂ” с)~'Д„е)+ (с — х ))'(4„)» [(Ь вЂ” с)+ (с — х„)]['Д„) = = (Ь вЂ” х.) Г(4.). Таким образом, из равенства (11.9) найдем хны — х„.<с — х„, мли х„+~<с, т. е. индукция проведена.

Докажем теперь, что последовательность (х„) является неубываюа(ей. Для этого достаточно доказать, что дробь, стоящая в правой части равенства (11.8), является неположительной. Так как производная 1'(х) положительна иа сегменте [а, Ь], то функция 1(х) возрастает на этом сегменте, и поэтому из неравенств х <с<Ь следует, что 1(х„) «~(с) =О, 1(Ь) — 1(х„) >О. Отсюда и вытекает неположительность указанной дроби.' Итак, последовательность ~х„) не убывает и ограничена сверху числом с. По теореме 3.1о эта последовательность сходится. В силу утверждения 1 п.

2 пределом ее является искомый корень. Дадим геометрическую иллюв страцию рассмотренного выше случая 1'. Из формулы (11.8) вытекает, что хны является абсциссой точки пересечения хор. ды, соединяющей точки А„(х„, Ь 1(хн) ) и В(Ь, 1(Ь) ) графика функции у=1(х) с осью Ох (на Ах рис. 11.4 изображены точки А~. Ат н Ан). Как уже указано выше, кро- А =Ар ме рассмотренного выше случая 1' возможны еше следующие три случая: 2' производная 1'(х) не возрастает и отрицательна на сегменте [а, Ь], 3' производная 1'(х) не возрастает и положительна на сегменте [а, Ь], 4' производная не убывает и отрицательна на сегменте [а, Ь]. Эти случаи изображены соответственно на рис.

1!.5, 1 1.6, 1 1.7. В случае 2" уравнение (11.6), так же как и выше, заменяется уравнением (11.7) и в качестве нулевого приближения берется точка хо=а (при этом последовательность (х ) также оказывается неубывающей). В случаях 3" и 4' уравнение (11.6) заменяется ,не уравнением (11.7), а следующим уравнением й 1, Приближенные методы вычисления корней уравнений 429 х=Р(х), Р(х) =-х— 1(а) — 1(х) и в качестве нулевого приближения берется точка хо=Ь (при этом последовательность (х„) оказывается невозрастающей), Рис. 11.5 Рис. 11.6 Приведенная выше геометрическая иллюстрация является источником наименования метода хорд. Перейдем теперь к изложению метода к а с а т е л ь н ы х и л и .метода Ньютона.

Пусть, как и выше, искомый корень с уравнения (11.6) изолирован на сегменте (а, Ь), на котором Дх) имеет непрерывную и монотонную первую производную, сохраняющую определенный знак. При этом возможны те же самые четыре случая, которые от. а мечены при изложении метода хорд. Рис. 11.7 Ради определенности рассмотрим подробно случай 1', т. е. предположим, что производная 1'(х) не убывает и положительна на сегменте (а, Ь]. Заменим уравнение (11.6) эквивалентным ему на сегменте ,(а, Ь) уравнением х=Р(х), где Р(х)=х —, (11.10) Г (х)' и будем решать последнее уравнение методом итераций, приняв .за нулевое приближение хо точку Ь и определив последовательность (х„) рекуррентной формулой х„,=Р(х„) =х„— (11.11) Г (хл) Чтобы доказать, что последовательность (х„) сходится к искомому корню с, достаточно в силу утверждения 1 п. 2, доказать, что все х„лежат на сегменте [а, Ь] и что последовательность (х„) сходится, Применяя метод индукции, докажем, что все х„лежат на сегменте (а, Ь), точнее, на сегменте (с, Ь], где с — искомый корень.

'Так как хо=Ь лежит на сегмгите 1с, Ь], то дли пРоведениЯ ин- Гл. Ы. Приолижеииые методы 430 Применяя к выражению, стоящему в числителе последней дроби, формулу Лагранжа, найдем х — х =(х — с) /' йл) р (хл) где с<5л<х„. В силу неубывання и положительности производной дробь " положительна и не превосходит единицы, т.е. !' (хл) хл — хи+1~к„— с или хл.н=-.-с. Таким образом, индукция проведена. Из положительности производной Г'(х) следует возрастание функции !(х), а поэтому из неравенства с(хл следует, что 0=1(с) с[(х„). Таким образом, [(х„)!)'(х„)»0.

Отсюда в силу формулы (11.11) х„+~~к„, т. е. последовательность (хл) не возрастает. Так как эта последовательность, кроме того, ограничена снизу числом с, то по теореме 3.15 она сходится. В силу утверждения 1 из п. 2 пределом ее является искомый корень с. Дадим геометрическую иллюстрацию рассмотренного нами случая 1'.

Из формулы (11.11) вытекает, что х„е1 является абсциссой точки пересечения с осью Ох касательной к графику функции у=[(х) в точке В„(хл, )(х„)) (на рис. 11.8 изображены точки Вм В, и В.). Приведенная геометрическая иллюстрация является источником наименования метода касательных.

Предлагаем читателю самостоятельно разобрать метод касательных для случаев 2", 3', 4', указанных при изложении метода хорд. 3 а м е ч а н и е 1, Возникает вопрос об оценке погрешности метода хорд и касательных, т. е. об оценке отклонения л-го приближения от точного значения корня с. Применяя к выражению 1(х„) =((х„) — )'(с) формулу Лагранжа, будем иметь 1(х„) = = (х„— с)Г'(~„). Отсюда получим следующую оценку: [х„— с[< т (11.12) где т — минимальное значение [Г'(х) [ на сегменте [а, Ь[. Фор- мула (11.!2) позволяет. оценить отклонение х„от точного значе- ния корня с через значение модуля заданной функции у=)(х) в точке х„.

дукции достаточно, предположив, что х„лежит на сегменте [с, Ь[, доказать, что и хиы также лежит на этом сегменте. Если х„=с, то ('(хи) =-[(с) =О, и из формулы (11.! 1) следует, что х,е1=х„=с, т. е. индукция проведена. Пусть теперь х„)с. Тогда из формулы (11.11), учитывая, что 1(с) =О, получим 1 (хл) — 1 (с) Кл — х,+, —— 1' (ил) й 2, Прнближевные методы вычисления определенных интегралов 431 3 а меч ание 2. На практике часто используют комбинированный метод, заключающийся в поочередном применении метода хорд и метода касательных.

Ради определенности остановимся иа подробно рассмотренном выше случае 1', т. е. предположим, что Г'(х) не убывает и положительна на сегменте (а, Ь] (рис. 1!.9). Определим х~ по методу касательных, взяв за нулевое приближение точку Ь. Пбсле этого определим хы применяя в;-в Рис. 11.8 Рис. 11Л метод хорд, но не к сегменту (а, Ь], а к сегменту [а, хг]. Далее, определим ха по методу касательных, исходя из уже найденного хб а х4 по.

метоДУ хоРД, пРнменЯЯ его к сегментУ [хх, ха]. Указанный процесс иллюстрируется на рис. 11.9. Преимущества комбинированного метода состоят в следую. щем: во-первых, он дает более быструю сходнмость, чем метод хорд, и, во-вторых, поскольку последовательные приближения х„ и х чч комбинированного метода с разных сторон приближается к корню, то разность ~хны — х„] дает оценку погрешности этого метода. Если за приближенное значение корня взять х„*= =(х„+х„+г)/2, то для погрешности получим оценку ]хев — с]< ( ] х„.ьт — х ] 1'2.

й 2. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 1. Вводные замечания. При решении ряда актуальных физических и технических задач встречаются гвпре1(еленные интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Кроме того, в приложениях приходится иметь дело с определенными интегралами, сами подынтегральные функции которых не являются элементарными.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
24,86 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6430
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее