В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 88
Текст из файла (страница 88)
... + [Г (х„,) + 7" (хД) + Й = е — 1 =- — ~1 (а) +1 (Ь) + 2 ~~~~~ 7" (хд) ~ + )с, (11.26) где )Р Я 1 1:;( . ! Я 1 (ео) +1 (ет) т ° ° +1 (ел-т) (Ь п)е 12пе — (Ь вЂ” а), а ~<~<Ь. 1" а) !2ие (11.27) с 7 ( †'1 + лг (о) + 1(') 2, + )( 2 + Х где )с — подлежащий определению остаточный член.
Для оценки остаточного члена обозначим, как и выше, через Р(х) первооб- (Мы воспользовались формулой усреднения (11.11).) Формула (11.26) называется формулой трапеций. Геометрический смысл этой формулы ясен из рис. 11.15: площадь криволинейной трапеции, лежащей под графиком функции Г(х) на сегменте [а, Ь[ приближенно заменяется суммой площадей, указанных на этом чертеже прямолинейных трапеций.
Сравнение остаточного члена (11.27) с остаточным членом (11.23) показывает, что метод трапеций нс дает увеличения точности по сравнению с методом прямоугольников. 4, Метод парабол. На этот раз предположим, что функция имеет на рассматриваемом сегменте непрерывную четвертую про! изводную, и снова начнем с вычисления интеграла ) 7" (х) е(х. — с Как и выше, будем исходить из формул (11.!5) и (11.16), но при этом положим в этих формулах п=3, а= — с, Ь=с, Х!= =де=1, ле=Х (числом й распорядимся в дальнейшем!), х1= — с, хе=О, хе=с. Тогда $ 2.
Приолижеиные методы вычисления определенных интегралов 439 разную функции 1(х) и учтем, что ) ~(х)т(х=-Е(с) — Е( — с). По-с лучим, что Й=Е(с) Е( с) ) ' 1( )+1(') 2с (11 23 2+Л Пусть, как и выше, ф(х) =Г(х) — Е( — х). Разложим функции ф(х) и ф'(х) по формуле Маклорена с остаточным членом в интегральной форме. Подставляя в эти разложения значения ф(0), ф'(О), три(0), вычисленные в п. 2, и учитывая, что ф)4)(0) =О, будем иметь ф(с)=- Р(с) — Г( — ) = =2~(О)с+ — са+ ~ тРа(х)(с — х)4Дх, (11 29) 2!" (О) 1 г 3! 414 о с Чг'(с) = )'(с)+1( — с)=2~(0)+ ( — (0) се+ 1 ~тр1е1(х) (с — х)адх о Из последней формулы вытекает, что 1( — ); Л! (0) + 1(г) 2с=— 2+Л с = 2!" (0) с+ 2с'+ — — Г ф!а) (х) (с — х)а с(х. (11.30) 2+Л 2+), 31,! о Из формулы (11.28) видно, что остаточный член 14 равен разности выражений (! 1.29) и (11.30).
Чтобы сделать этот остаточный член более высоким по порядку малости, выберем значение Л так, чтобы вторые члены в правых частях формул (11.29) и 2 2 (11.30) совпадали, т. е. положим —,=- —, т, е, Л=4. При таком значении разность формул (11.29) и (11.30) дает г 1 с 11 =~ фи)(х) ~ — (с — х)' — — (с — х)' ~ с(х= 24 13 о = — — ~ф)а)(х) ~(с — х)'( — +х)~ с(х. о Имея в виду, что функция ~(с — х)' ( — +х~ ! неотрицательна 440 Гл. П. Приближенные методы на сегменте [О, с], применим к последнему интегралу первую формулу среднего значения.
Учитывая, что 4)1м(х) =[(4>(х)+ +[14>( — х), и обозначая через й' некоторое значение аргумента из сегмента [О, с], получим Я=- — + ~(С вЂ” Х)г( — + Х) 4(Х= а 1141а)+1'41( — й) ~ (2) 2 2880 Применяя к выражению в квадратных скобках формулу усреднения (11.14) при п=2, )е=.),г=1 и обозначая через ~ некоторое значение аргумента из сегмента [ — с, с], окончательно получим я= — 1 (и) (2с)4. 2880 Для вычисления интеграла ]1(х)4(х разделим сегмент [а, Ь] на а и Равных частей точками а=хо<хг<х4«...хг =Ь и положииг х„„=- "+ ы'е . Получим 2 о л — 1 ге+2 '] г (х) 4(х = ~ ~ г (х) 4(х = о и=о х, о — 1 1(хее)+41(хилы)+У(хил+4) и ) [(хге+г хге) =Х [( б +-"л ~] = о — ! о-1 = — ~~(а)+Г'(Ь)+ 2 ~~ ~(хгл)+ 4 ~~)~ )'(х „,) ~+)4, (11.31) е 1 4=о где — )и~ йд) )и~ йд + " + ~~~%--~) (Ь .)4= 2 880не )4 и — (Ь вЂ” а)4, 2880лх а<$<Ь.
(11.32) (Здесь мы применим формулу усреднения (11.14).) Формула (11.3!) называется формулой Симпсона или форм улой пара бол. Геометрический смысл этой формулы а 2, Приближенные методы вычисления определениык интегралов 441 ясен из рис. 11.16: площадь криволинейной трапеции„лежащей под графиком функции !"(х) на сегменте [а, (г) приближенно заменяется суммой площадей, заштрихованных на этом чертеже фигур, лежащих под прраболами. Для того, чтобы убедиться в этом достаточно заметить, что выражение, стоящее в фигурных скобках в формуле (11 31), численно равно площади фигуры, лежащей на сегменте [дол, хзетт) под параболой у=-Ахэ+Вх+С, совпадающей с [(х) в точках хзю хты г, х1,+з (см. пример 2 и.
4 9 2 гл. 10)., Сравнивая остаточный член (11.32) с остаточными членами (11.23) и (1!.27), мы убеждаемся в том, что Рис. 11.16 формула Симпсона дает б ол ь ш у ю то ч н о с т ь, чем формулы прямоугольников и трапеций. В качестве иллюстрации применения формулы Симпсона об- к, ратимся к вычислению интеграла У(хо) =- ~ е-'дх', ограничиваясь о для простоты значениями хо из сегмента О~хо (1. Полагая ~(х) =с †"' и вычисляя производную [!0(х) =4(4хч — 12х'+3)е †'* без труда убедимся в том, что для всех х из сегмента 0(х~ 1 во всяком случае ![!е(х) ~ <20. Исходя из оценки (11.32), можем 1 утверждать, что го< .
Значит, разбив сегмент [О, хо] всего !44пч на 5 равных частей и заменив рассматриваемый интеграл суммой, стоящей в правой части формулы Симпсона, мы вычислим 1 ! этот интеграл с точностью до к.— !44 бч 90000 * Рассматриваемый интеграл, как уже неоднократно отмечалось, не выражается через элементарные функции, но имеет большое значение в статистической физике, теории теплопроводности и диффузии. ** На ручном электронном калькуляторе, вычисляющеи значения элемеятарнык функций, авторы вычислили за несколько минут указанный интеграл для хо=1, п=б и получили результат 1(!) =0,7466261, который, в силу сказанного выше, содержит пять верных десятичных знаков после запятой. Глава 12 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Многие вопросы естествознания приводят к рассмотрению такой зависимости между несколькими переменными величинами, при которой значения одной нз переменных величин полностью определяются значениями остальных переменных.
Так, например, при рассмотрении каких-либо физических характеристик тела (например, его плотности р илн температуры Т) нам приходится учитывать изменение этих характеристик при переходе от одной точки тела к другой. Поскольку каждая точка тела определяется тремя декартовыми координатами х, и и я, то рассматриваемые характеристики (плотность р или температура Т) определяются значениями трех переменных х, у и я. При рассмотрении физических процессов, меняющихся во времени, значения физических характеристик определяются значениями четырех переменных, трех координат точки х, и, я и времени Е Например, при изучении звуковых колебаний газа плотность р этого газа и его давление р определяются значениями четырех переменных х, у, г и Е Для изучения такого рода зависимостей в этой главе вводится понятие функции нескольких переменных и развивается аппарат для исследования таких функций.
Первая часть настоящей главы посвящена построению дифференциального исчисления функций нескольких переменных. На случай функции нескольких переменных будут распространены понятия и утверждения, установленные нами .в гл. 3 — 7 для функции одной переменной. В одном из дополнений к настоящей главе изучаются элементы дифференциального исчисления для абстрактных функций, представляющих собой результат отображения одного нормированного пространства в другое. Частным случаем такого отображения является довольно часто встречающееся отображение евклидова пространства размерности т в другое евклндово пространство размерности и. 5 е понятие Функции е пеРеменных Е Понятие гп-мерного координатного и т-мерного евклидова пространств.
При изложении теории функций т переменных удобно использовать геометрическую терминологию, обобщающую и 443 4 !. Понятие функции эг переменных формализующую наши представления о плоскости и о реальном (трехмерном) геометрическом пространстве. Назовем пт-мерным координатным пространством множество всевозможных упорядоченных совокупностей (хг, хь ... ..., х ) вещественных чисел хь х,, ..., х . Будем обозначать и-мерное координатное пространство символом А'". Каждую упорядоченную совокупность (хь хж ...,х ) мы будем называть точкой лт-мерного координатного пространства и обозначать одной буквой М. При этом числа хь ха, ..., х мы будем называть ко о рднната м и точки М.
Запись М(хь хж,х ) означает, что точка М имеет координаты хг, ха, ... х 3 а м е ч а н и е 1. Если рассматривать координатное пространство А" как множество всех векторов х с координатами (хь хг, ., х ) и назвать сум мой векторов х= (хг, хь ..., х ) и у=(у~, у, „, у ) векторскоординатамн (х~+ггь хе+уз,...,х + +у ), а произведением вектора х=(хг, хз,...,х ) на вещественное число л — вектор с координатами (лхь Ххз, ..., лх ), то координатное пространство А'" превращается в линейное пространство "'. Из курса аналитической геометрии читатель хорошо знаком с понятиями координатной плоскости и трехмерного координатного пространства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
