В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 107

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 107)

е. когда речь идет о внутреннем локальном минимуме, в формулировке леммы 3 знак ~ в неравенстве (12.1.15) можно заменить на знак =. 3 а м е ч а н и е 2. При доказательстве необходимости леммы 3 мы не использовали требования выпуклости функции [(х). Поэтому доказательство необходимости проходит без требования выпуклости функции [(х). Иными словами, справедливо следующее У т в е р ж д е н и е. Если функция 1(х) дифференцируема на выпуклом множестве (,) и имеет локальный минимум во внутренней [в граничной) точке хо этого множества, то для любого вектора Лх для которого точка хо+Лх.принадлежит Я, справедливо неравенство (пгай [(хо), Лх) =0 [(пгад)(хо), Лх) ) 0).

Перейдем к вопросу об единственности и о существовании точки локального минимума. Теорема (об единственности локального минимума у строго выпуклой функции). Если функция [(х) дифференцируема и строго выпукла на выпуклом множестве Я, то она может иметь локальный минимум только в одной точке этого множества. Гл. !2. Функции нескольких переменных Д о к а з а т е л ь с т в о.. Предположим, что функция 1(х) имеет локальный минимум в двух р а з л и ч ны х точка х1 и хе множества 9. Тогда условие выпуклости (!2.1.5) для точек хй и хе можно записать в виде [[х, + г(х,— х,!! — [(х,! (12.1.18)~ (здесь ( — любое число из интервала 0<(<1).

Меняя в соотношении (12.1.8) точки х~ и хе ролями, мы получим неравенство ~(х,) — [(х ) >[[ ' ( ' [( ' . (12.1.19) В пределе при (- О+О правая часть (12.1.18) [соответственно правая часть (12.1.19)] дает производную функции [(х) яо направлени1о вектора хе — х~ [соотвстственно вектора х~ — хе], взятую в точке х~ [соответственно в точке х,], умноженную на !хе — х|[. Так как обе точки х1 и хе являются точками локального минимума, то обе указанные производные по направлению неотрицательны, т. е. пределы правых частей (12.1.18) и (12.1.19) при (- О+О оба неотрицательны. Таким образом, из неравенств (12.1,18) и (12.1.19) в пределе при (- О+О мы получим 1(хе) — ! (х,) ~0, [(х,) — [(хе) ~0.

Сопоставление двух последних неравенств приводит к заключе. нию о том, что ( (х~) =( (хз). Используя равенство !(х~) =!(хз), мы получим из условия строгой выпуклости (12.1,6), что [[х~+!(хе — х1)]<[(х~) (12.1.20) для всех ( из интервала 0<(<1.

Неравенство (12.1.20) противоречит тому, что функция 1(х) имеет локальный минимум в точке х1 (в точке х,+1(хе — х1), как угодно близкой при малом ( к точке хь функция ((х) имеет значение, меньшее значения !(х~)). Полученное противоречие доказывает, что наше предположение о том, что функция ((х) имеет локальный минимум в двух различных точках множества Я, является ошибочным. Теорема доказана. Существование локального минимума докажем при более сильных ограничениях, чем единственность. Теорема (о существовании локального минимума у сильно выпуклой функции). Если функция [(х) сильно выпукла на замкнутом выпуклом множестве (,[, то 525 Дополнение 1 у этой функции существует на множестве (г точка хс локального минимума *.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала отметим, что<b>Текст обрезан, так как является слишком большим</b>.

Характеристики

Список файлов книги