В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 105
Текст из файла (страница 105)
Строгой реализации этой простой идеи и посвящено настоящее дополнение, 1. Выпуклые множества н выпуклые функции. Пусть х1= = (Х!~, ХЗ1, ..., Хы ) И Ха= (Х~, Хз, ..., Хна) — дВЕ ТОЧКИ Пт-МЕрного евклидова пространства Е", которые мы можем рассматривать как векторы в Е с соответствующими координатами. Назовем отрезком илн сегментом, соединяющим точки х| и хь множество точек пространства Еж вида х1+1(хз — х1), где 1 — любое число из сегмента 0(1~1, Будем обозначать отрезок, соединяющий точки х, и хж сим- ВОЛОМ Х1Хз.
ОПрЕдЕЛЕНИЕ 1. МНОжЕСтВО Я ТОЧЕК Проетрапетеа Ем называется в ы и у к л ы м, если оно обладает следующим свойством: каковы бы ни были две точки х1 и хз, принадлежащие множеству („), отрезок хатха, их соединяющий, та же принадлежит этому множеству. Примером выпуклого множества в пространстве Ем может служить пз-мерный шар (безразлично, открытый или замкнутый) или полупространство х >О (т. е. Множество всех точек (хь хз, ..., х ) пространства Е, т-я координата которых удовлетворяет условию Х„~О). Примером множества (,), не являющегося выпуклым, может служить дополнение т-мерного шара или лт-мерный открытый шар, из которого удалена хотя бы одна точка. Пусть Я вЂ” некоторое множество точек пространства Е , а х — любая фиксированная точка этого пространства.
Назовем расстоянием от точки х до множества Я точную нижнюю грань расстояний от точки х до всевозможных точек этого множества. Будем обозначать расстояние от точки х до множества Я символом р(х, Я). Итак, по определению р (х, Д) = 1п1 р (х, у). апч Для любого множества (') пространства Е~ и любой точки х этого пространства существует расстояние р(х, Я) *. В частности, если точка х принадлежит множеству Я, то р(х, (е) =О. Однако у множества Я не всегда существует точка у такая, что р(х, у) =р(х, Я). Так, например, если множество Я представляет открытый пт-мерный шар, а х — точка Е'", лежащая вне этого шара, то у такого множества Я не существует точки у такой, что р(х, у) = ' ибо множество р(х, у) длн всевозможных у, принадлежаптнх 1е', всегда отраннчено снизу (например, числом нуль).
17' Гл. 12. Фуикиии нескольких переменных =р(х, Я) (ибо для всех точек у открытого шара справедливо неравенство р(х, у))р(х, 1,))). Если все же у множества Я существует точка у такая, что р(х, у) =р(х, Я), то эта точка у называется п р о е кци ей то чки х н а м нож ество О. Проекцию точки х на множество (;1 будем обозначать символом Ро(х). Подчеркнем, что если точка х принадлежит множеству О то Рч(х) =х, Итак, проекция Ро(х) точки х на множество Я определяется соотношением р'(х, Рч(х)) =р(х, Я) =1п1 р(х, у). ыеч Полезно отметить, что может существовать несколько проекций точки х на множество Я. Так, например, если Я вЂ” т-мерная сфера с центром в точке х, то любая точка Я является проекцией точки х на множество Я.
Справедлива, однако, следующая лемма: Л е м м а 1. Если множество Я пространства Еы является выпуклым и замкнутым, а х — любая точка Е, то существует и притом единственная проекция точки х на множество ьс. Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала докажем существование хотя бы одной проекции точки х на множество Я. Обозначим через р(х, Я) расстояние от точки х до множества Я. По определению р(х, О) как точной нижней грани 1п1 р(х, у) найдется геч последовательность (у ) точек множества О такая, что р(х, у„)- - р(х, О): По определению предела числовой последовательности для любого е)0 все элементы у„, начиная с некоторого номера. удовлетворяют соотношению р(х, ьс) — е<р(х, у„) (р(х, Я)+е. Отсюда следует, что последовательность (у„) точек пространства Е во всяком случае является ограниченной и потому в силу теоремы Вольцано — Вейерштрасса (см.
п. 2 $2 гл. 12) из этой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность уе„, где п=1, 2, 3, ..., Обозначим через у предел подпоследовательности (уе„). В силу замкнутости множества Я точка у.принадлежит этому множеству, Остается доказать„ что р (х, у) = р (х, Я) = 1 пи р (х, уе„). 6 Ф Для доказательства этого заметим, что в силу неравенств тре- угольника 5!т Дополнение ! р (х, у» ) < р (х, у)+ р (у, у» ) и р (х, у) ~< р (х„у» )+р (у»„, у) справедливо соотношение (р(х, у» ) — р(х, у)~ ~р(у, у» ).
р (х, — '' 1 к. р(х„у,) =р(х, у,) 2 (12.1.1) очевидно, Докажем теперь неравенство (12.1.1) в случае, когда Уг+ Уг 2 Используя свойства скалярного произведения двух векторов пространства Е~ (см., например, замечание 2 из п. 1 $1 гл. 12), мы получим соотношение р х, х У'+ У' = 'У'+ У' — х У'+ "* — х — +, + уг — х уг — х уг — х уг — х ) 2 2 2 2 = — [(у» — х, у» — х)+ 2(у» — х, у,— х)+ (у,— х, у,— х)). (12.1.2) 4 Из этого соотношения и их сходимостн подпоследовательности (у» ) ку вытекает, что 1пп р(х, у» ) = р(х, у),т. е. р(х, г») =р(х, у).
и н г Тем самым доказательство суи(ествования хотя бы одной проекции точки х иа множество Я завершено. Докажем теперь, что существует только одна проекция точки х на множество Я. Предположим, что существуют две раз. личные проекции уг и у» точки х на множество Я. Так как множество Я является выпуклым, то весь отрезок угур, соединяющий точки у» и уг, принадлежит множеству Я. В частности, множеству Я принадлежит середина ' * указанного отрезка.
2 Убедимся в том, что расстояние р(х, "' У* ) от точки х до 2 указанной середины отрезка угу» строго меньше расстояния р (х, у1) =р(х, у»). Исключим из рассмотрения тривиальный случай, когда = х. В этом случае р1х, — '') = О, в то время 2 2 как р(х, уг) =р(х, у»))О, ибо в противном случае обе точки у, и у» совпадали бы с х и ие могли бы быть различными.
Итак, в тривиальном случае У' У' = х неравенство 2 51В Гл. 12. Функции нескольких переменных Убедимся теперь в справедливости строгого неравенства ~(у, — х, у, — х)~ ( У(у„ — х, у — х) ]/(у — х, у, — х). (12 1 3) В сноске на с. 485 доказано, что для любых векторов е а и Ь пространства Е, не коллинеарных друг другу (т. е. таких, что а~ХЬ ни для одного вещественного Х), справедливо строгое неоавенство Коши — Буняковского ! (а, Ь) ~ ( 1' (а, а) (Ь, Ь). Это означает, что для доказательства неравенства (12.1.3) нам достаточно убедиться в том, что векторы у,— х н ут — х не коллинеарны, т. е. убедиться в том, что ни для одного вещественного Х не может быть справедливо равенство у,— х=Х(ут — х).
(! 2.1.4) Если бы равенство (12.1.4) было справедливо для такого Х, для которого ~ Ц Ф1, то было бы невозможно равенство р(у, х) =р(у, х). Справедливость равенства (12.1.4) для 1=1 противоречила бы тому, что точки у! и ут являются различными. Наконец, справедливость равенства (12.1.4) для Х= — 1 означала бы, что "' * = х, а этот случай мы исключилн. 2 Итак, равенство (12.1.4) несправедливо ни для одного вещественного ), а потому доказательство неравенства (12.1.3) заверп1ено. Сопоставляя равенство (12.1.2) с неравенством (12.1.3), получим, что р' (х, ' У' ) ( — [(у,— х, у,— х)+ 2 / 4 + с 'ъ — '*.
ь — и Гн.— *, р — *но.— *. ь — *и= = — [)l (у,— х, у,— х)+ ]Г(у — х, у,— х)]'= ! = — [р (х, у,) + р(х, ук)]в = р' (х, у,) = р' (х, у ). 1 Тем самым доказательство неравенства (12.1.1) завершено. Но это неравенство означает, что у множества Я нашлась точка Ус+ Уе более близкая к х, чем точки у, и уы а это проти- 2 воречит тому, что каждая из точек у~ и ут является проекцией точки х на множество Я, т. е.
является точной нижней гранью расстояния р(х, у) для всевозможных у, принадлежащих Я. " Векторы в данном дополнении не будем выделить жирным шрифтом. Дополнение 1 51Я (12.1.8) Дифференцируя функцию (12.1.7) два раза по 1 по правилу дифференцирования сложной функции, получим * См. п. 2 $5 гл. 12. Полученное противоречие показывает, что наше предположение о том, что существуют две различные проекции у, и у» точки х на множество 1г, является ошибочным. Доказательство леммы 1 полностью завершено. Перейдем теперь к определению выпуклой функции.
Определен не 2. Функция [(х), заданная на выпуклом множестве се пространства Е, называется в ып у к лай в низ или просто в ып у к л о й на этом множестве, если для любых двух точек х! и хт множества (г и для любого вещественного числа 1 из сегмента 0«1 « 1 справедливо неравенство [[хс+1(х,— х!)]~[(х!) +1[](х») — [(хс)]. (12.1.5) О п р е д е л е н и е 3. Функция 1(х), заданная на выпуклом множестве с,с пространства Е'", называется строго вьспуклой на этом множестве, если для любых двух точек х! и х» множества ч) и для любого вещественного числа 1 из интервала 0<1<1 справедливо строгое неравенство 1[к!+1(хт — х!) ]< [(х!) + 1[[(хэ) — ~ (х!) ].
(12.1.6) Ясно, что всякая строго выпуклая на множестве 11 функция 1(х) является выпуклой на этом множестве. Легко установить достаточное условие выпуклости [соответственно строгой выпуклости] дважды дифференцируемой на выпуклом множестве 1г функции )(х). Лемм а 2. Лусть функция 1(х) задана и два раза дифференцируема на выпуклом множестве Сг. Тогда, для того чтобы эта функция являлась выпуклой [строго вьспуклой] на множестве сг достаточно, чтобьс второй дифференциал й»[ этой функции во всех точках »С являлся квазиположительно определенной [строго положительно определенной] квадратичной формой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
