В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 103
Текст из файла (страница 103)
Точки, в которых обращаются в нуль все частные производные первого порядка функции и =1(М), называются с т а ц и о н а р н ьы м и г о ч к а м и этой функции. В каждой стационарной точке у функции и=1(М) возможен локальный экстремум, однако наличие этого экстремума можно установить лишь с помощью достаточных условий локального экс- тремума, выяснению которых посвящен следующий пункт. Нз доказанного выше утверждения вытекает н другая форма необходимых условий локального экстремума: если функция и= =)(М) дифференцируема в точке Мо и имеет в этой точке локаль- ный экстремум, то дифференциал йи)м' этой функции в точке Мо равен нулю тождественно относительно дифференциалов неза- висимых пере.кенных дхь с(хь, дх Гл. !2.
Функции нескольких переменных В с а м о м д е л е, поскольку с(а ! д!а (МО) ха + (Мо) с хз + ° ° + (МО) Йхаг1 дха дхз дхаг то из равенств (12.68) вытекает, что при любых агхг, с(хь ..., с(х справедливо равенство с(и!и,= О. 2. Достаточные условия локального экстремума функции гп переменных. При формулировке достаточных условий локального экстремума функции аг переменных и=у(М) важную роль будет играть второй дифференциал этой функции в обследуемой точке Мо. В п, 2 $ 5 настоящей главы мы убедились в том, что для случая, когда аргументы хь хз, ..., х два раза дифференцируемой функции и=!" (хг, хь ..., х ) являются либо независимыми переменными, либо линейными функциями некоторых независимых переменных, второй дифференциал этой функции в данной точке Мо представляет собой квадратичную форму относительно дифференциалов аргументов агхг, с(ха, ..., с(х следующего вида: м т с(зи'!и,= у" 2 агаг(хгг(х„ 1=! 1=1 (12.69) где о" и 'ам= ам= (Мо).
дх;дха (12.70) Для формулировки достаточных условий локального экстремума нам понадобятся некоторые сведения из теории квадратичных форм, которые мы для удобства читателя приводим ниже*. Квадратичная форма относительно переменных а1, Ьа, ..., й Ф (Ь1, Ь„..., Ьм) = ~~" ~~1~ агааггьа (12.71) 1=1 а=! называется положительно определенной (отрицательь н о о и р е д е л е н н о й), если для любых значений Ьг, й„... ...,й, однорременно не равных нулю, эта форма принимает строго положительные [строго отрицательные) значения. Квадратичная форма (12.71) называется знакоопределеин о й, если она является либо положительно определенной, либо отрицательно определенной. Квадратичная форма (12.71) называется знакопеременн о й, если она принимает как строго положительные, так и строго отрицательные значения.
' Все приводимые здесь определения и утверждения можно найти, например, в книге В. А. Ильина и Э. Г. Позняка «Линейная алгебра», (М., Наука, !974). 507 $ б. Локальный экстремум Квадратичная форма (12.71) называется к в а з и з н а к о оп р ед е л е н н о й, если она принимает либо только неотрицательные, либо только неположительные значения, но при этом обращается в нуль для некоторых значений Ьь йт, ..., )т, одновременно не равных нулю. Сформулируем так называемый к р и т е р и й С и л ь в е с т р а знакоопределенности квадратичной формы '.
Назовем матрицей квадратичной формы (1271) следующую матрицу: ама„... а, — а„а„... а, а,а,„,...а „ (12.72) Если все элементы матрицы А удовлетворяют условию а„= =аег (1=1, 2, ..., пт; )с=1, 2, ..., т), то указанная матрица называется симметричной. Назовем г л а в н ы м и м и н о р а м и симметричной матрицы (12.72) следующие определители: ам а„... азм амаы" аз а,а„,...а„ а,да„атз Ат=атт '4з=~ тт тз~ 4з= а а а, ... А ~азз зз~' и зз зз ам а„азз Критерий Сильвестра формулируется в виде следующих двух утверждений. 1'.
Для того чтобы квадратичная форма (12.71) с симметричной матрицей (12.72) являлась положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы (12.72) были положительньц т. е. чтобы были справедливы неравенства А!>О, Аз>0, ... „А >О. 2'. Для того чтобы квадратичная форма (12.71) с симметричной матрицей (12,72) являлась отрицательно определенной, необходимо и достаточна, чтобы знаки главных миноров матрицы (12.72) чередовались, причем знак А1 был отрицателен, т. е, чтобы были справедливы неравенства А~<0, Аз>0, Аз(0, Аз>0, -. * Дж Сильвестр — английский математик (!8!4 — !897).
Теперь мы подготовлены для того„чтобы сформулировать и доказать теорему, устанавливающую достаточные условия локального экстремума. Теорема 12.16, Пусть функция гп переменных и=!(М)= =)(хь хь ..., х ) один раз дифференцируема в некоторой окрестности точки Мв(х,о, х,о, ..., х ') и два раза дифференцируема в самой точке Мо. Пусть, кроме того, точка Ме является стационар- Гл. 12.
Функции нескольких переыенных ной точкой функции и=((М), т. е. йи)м =О. Тогда если второй дифференциал (12.69), (12.70) представляет собой положительно определенную (отрицательно определенную) квадратичную форму от переменных дх!, йхщ ..., дх, то функция и=((М) имеет в точке Мо локальный минимул! (локальный максимум). Если же второй дифференциал (12.69), (12.70) представляет собой знакоперсменную квадратичную форл!у, то функция и=((М) не имеет локального экстремума в точке Мо. Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем сначала первую часть теоремы, предполагая ради определенности, что второй дифференциал (12.69), (12.70) представляет собой положительно определенную квадратичную форму от переменных йхь йхт, ..., йх . Докажем, что в этом случае функция и=((М) имеет в точке М, локальный минимум.
Разложим функцию и=((М) в окрестности точки Мо по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, беря в этой формуле я=2*. Мы получим при этом, что 1(М) — ((Ме) =да)м,+ — деи) м,+ о(р'), (1273) причем в равенстве (12.73) дифференциалы дх! переменных хь входящие в выражение для с(и)м, и деи)м„равны соответствующим приращениям х! — х!о эти переменных, а величина р равна р = )l (дх!)Я + (дх,)Я+ ... + (дх )' = =У(х! — хо) +(хя — хя) + ... +(Хм — х )'.
(!2.74) По условию теоремы точка Мо является стационарной. Поэтому на основании результатов предыдущего пункта йи~!м,=О. Учитывая это равенство и полагая в выражениях (12.69), (12.70) для второго дифференциала дх;=х; — х!о, мы придадим формуле Тейлора (12.73) следующий вид: Т(М) — 7(М,)= — ~~)~ ~!~а!е(х! — хо)(хе — хо)+о(р'). (12.75) с=! ь=! Достаточно доказать, что для всех достаточно малых р правая часть (12.75) положительна. (Это н будет означать, что в достаточной малой окрестности точки Мо разность ((М) — ((Мр) положительна, т. е. функция и=)(М) имеет в точке Мо локальный минимум.) " Лля функции и=((й() выполнены при п=2 все условия теоремы 12.1о" (сы. и.
4 й Ь настоящей главы). 6 6. Локальный экстремум 6062 Хт — Х, а Положим лт=, где 2=1, 2, .... Тогда из выражении Р (12.74) для р вытекают следующие соотношения: ь22+ь22+ +ь 2 (12.76)' С помощью введенных обозначений равенство (12.75) может быть. переписано в виде 7(М) 7 (Ма) = 5 ~~~~ы а22ьтйа+ о (р ). (12.75аг!' 2=! а=! Отношение о(р2)!р2 представляет собой бесконечно малую при р- 0 (или при М- Ме) функцию, которую мы обозначим через.
и(р). Введение этой функции позволяет нам записать равенство о(рэ) =рэа(р), с помощью которого мы прндаднм соотношению (12.752) вид 7(М) — 1(М)=Р'~ — У' 1) ать)22122+а(Р)1. (12.75"е)2 2=! 2=! Теперь уже нетрудно доказать, что правая часть (!2.75*') является положительной для всех достаточно малых р. Квадратичная форма Ф=~ ~ атаЛ2йа представляет собой функцию, опре2=1 2=! деленную и непрерывную на поверхности единичной сферы (12.76), представляющей собой замкнутое и ограниченное множество. По. второй. теореме Вейерштрасса (см.
теорему 12.7 из п. 3 9 3) эта! функция достигает на указанном множестве своей точной нижней грани р, причем из положительной определенности квадратичной формы (12.71) и из того, что йь йэ, ..., й, удовлетворяющие соотношению (12.76), не равны одновременно нулю, вытекает, что указанная точная нижняя грань 12 строго положительна. Так как бесконечно малая при р- 0 функция а(р) при всех достаточно малых р удовлетворяет неравенству ~а(р) ~ <р, то вс2в правая часть (12.75"*) является положительной при всех достаточно малых р, т. е. прн всех М, достаточно близких к Мэ.
Это и означает, что функция и=1(М) имеет в точке Ма локальный минимум. Совершенно аналогично доказывается, что в случае, когда второй дифференциал (12.69), (12.70) представляет собой отрицательно определенную квадратичную форму, функция и=((М) имеет в точке Ма локальный максимум. Докажем теперь вторую часть теоремы, т. е. докажем, что в случае, когда второй дифференциал (12,69), (12.70) представляет Гл. !2. Функции нескольких переменных 5(0 собой знакопеременную квадратичную форму, функция и=!(М) не имеет локального экстремума в точке Мо.
Прежде всего установим следующее свойство знакопеременной квадратичной формы (12.71): Если квадратичная форма Ф(Ь1, йм „,, Ь ) знакопеременна, :то найдутся две совокупности переменных (й!', Ьг', ..., й ') и (й!', Ьг", ..., Ьнн) такие, что (Ь1 ) +(Ьг )2+ + (й е)2 — ! (й «)2 ! (й н)2 !. ! (/ н)2 (12.77) причехг (Ь! "2 .- й~ ) >О, Ф(й!", Ьг", ..., Ь,вк) <0. (12.78) В с а м о м д ел е, в силу определения знакопеременной квадратичной формы найдутся две совокупности аргументов 11', !2', ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
