В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Граничная точка М множества (М) может как принадлежать, так и не принадлежать этому множеству. Так любая точка т-мерной сферы радиуса Р с центром в точке Ма является граничной как для открытого т-мерного шара радиуса Р' с центром в точке М„так и для замкнутого т-мерного шара радиуса Я с центром в точке Ме.
Но любая точка указанной сферы не принадлежит открытому шару радиуса й с центром в Ма и принадлежит замкнутому шару радиуса Я с центром в Мо. 9' Произвольное множество М точек пространства Е" называется о т к р ы т ы м, если любая точка этого множества является его внутренней точкой **. !О'. Произвольное открытое множество, содержащее ланнунг точку Ма, принято называть окрестностью точки Ма. 11'. Произвольное множество (М) точек пространства Егл называется з а м к н у т ы м, если это множество содержит все свои тра ничные точки.
Чтобы сформулировать другое эквивалентное определение замкнутого множества, введем понятие предельной точки произвольного множества М в пространстве Е'". 12'. Точку А пространства Ею назовем п редел ь но й точкой множества (М), если в любой н-окрестности точки А содержится хотя бы одна точка этого множества, отличная от А. Убедимся в том, что множгство М замкнуто тогда и толька тогда, когда оно содержит всг свои предельные точки.
В с а мам деле, если множество М замкнуто, то оно содержит все точки пространства Е, кроме своих внешних точек. Поскольку среди внешних точек множества М нет его предельных точек, то множество М содержит все свои предельные точки, Если же множество (М) не содержит хотя бы одной своей граничной точки Мо, то эта точка Мо, очевидно, является предельной точкой множества (М). Доказанное утверждение позволяет дать другое эквивалентног определение замкнутого множества: множество М называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные гочки ""*. * Заметим, что точка М является граничной точкой множества (М1 тогда к только тогда, когда в любой е-окрестности точки М найдутся как точки, принадлежащие множеству (М), так и точки, ему не првнадлежащие.
В самом деле, если в некоторой е-окрестности точки М не найдется точек, принадлежащих (М) (не принадленсащих (М)], то точка М является внешней (ввутренней] точкой М и не янляется граничной точкой этого множества. *' Т. е. если любая точка М множества (М) принадлежит этому множеству вместе с некоторой своей е окрестностью. ""* Еше одним зквивалентньгм определением замкнутого множества является следующее определение: множество М пространства Е называется замкнутым. если его дополнение является открытым множеством. 448 Гл. !2. Функции иесиольиих переменных 13'. Множество (М) точек пространства Е'" называется ог р а.н нченн ым, если найдется пг-мерный шар, содержащий все точки этого множества. 14'. Введем понятие непрерывной кривой в т-мерном евклндовом пространстве Е'".
Непрерывной кривой Е в пространстве Е'" мы будем :называть множество (М) точек этого пространства, коордннаты хь хг, ..., х„, которых представляют собой непрерывные функции :параметра Е Х1=1р1(1), Х2=1рг(1), ..., х =ср (1), а<1<~1. (12.3) Мы будем говорить, что точки М'(х,', хг', ..., х„') н М" (х1", хг", -. ....,х ") пространства Е'" можно соединять не п р ер ы в н о й к р и во й Е, если существует такая непрерывная кривая Е, определяемая параметрнческнмн уравнениями (12.3), что Х1'=ср1(а), Хг =2рг(а), ..., Хт'=(1рт(а), Х1 =1р1((1), Х2 =1рг((2), ..., Хш ='1рт(11) ° Понятие непрерывной кривой в пространстве Е'" позволяет нам ;ввести понятне связного множества. 15'.
Множество (М) точек пространства Е~ называется связи ы м, если любые две точки этого множества можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат этому множеству. Убедимся в том, что всякое связное множество (М) в пространстве Е обладает следующим свойством: если множество (М) связно, то не существует двух непустых непересекающихся открытых множеств 6' и 6" таких, что пересечение каждого из этих множеств с (М) не пусто и множество (М) содержится в объединении 6' и 6". Проведем доказательство этого свойства от противного.
Предположим, что два указанных множества 6' н 6" су1цествуют. Так как пересечение каждого нз этнх множеств с (М) не пусто, то найдутся две точки М' н М" множества (М), первая нз которых принадлежит 6', а'вторая 6". Чтобы получить противоречие, завершающее наше доказательство, нам достаточно установить, что точки М' н М" нельзя соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат множеству (М).
Пусть Š— любая непрерывная кривая в пространстве Е", определяемая уравнениями (12.3) н соединяющая указанные точки М' н М". Упорядочнм все точки кривой Е по возрастанию параметра й который изменяется в пределах сегмента а(1~(). Обозначим через у точную верхнюю грань тех значений параметра 1, для которых отвечающие нм тачки кривой Е прннадле- $ 1.
Понятне фунхцнн не переменных 449 жат множеству 6', а через У точку кривой Е, отвечающую значению параметра 1=у. Достаточно доказать, что указанная точка У не принадлежит множеству (М), а для этого достаточно убедиться, что эта точка Л~ не принадлежит ии множеству 6', ни множеству 6". Если бы точка Ф принадлежала 6', то, поскольку множество 6' является открытым, нашлась бы некоторая е-окрестность точки Х, также принадлежащая 6', т.
е. нашлись бы точки кривой Е отвечающие значениям параметра й превосходящим у, принадлежащие 6', а это противоречит тому, что т является точной верхней гранью значений параметра г', для которых соответствующие точки кривой Е принадлежат 6'. Аналогично если бы точка Ж принадлежала 6", то она принадлежала бы этому множеству вместе с некоторой своей е-окрестностью, т. е. нашлись бы точки кривой Е, отвечающие значениям параметра Е меньшим у, принадлежащие 6" и потому не принадлежащие 6', а это противоречит тому, что у является точной верхней гранью зна~ений параметра 1, для которых соответствующие точки кривой Ь принадлежат множеству 6', Итак, точка А' ие принадлежит ни 6', ни 6", и сформулированное свойство доказано. гбы не будем останавливаться на доказательстве обратного утверждения о том, что если множество (М) в пространстве Е~ обладает указанным выше свойством, то оно является связным, а лишь отметим, что установленное нами свойство может быть положено в основу другого «топологического» определения понятия связного множества.
16'. Всякое открытое и связное множество в пространстве Е~ принято называть о б л а с т ь ю. 17'. Если множество (М) представляет собой область, то множество (М), полученное присоединением к множеству (М) всех его граничных точек, называется з а м к н у т о й о б л а с т ь ю. Открытый т-мерный шар и открытый т-мерный координатный параллелепипед являются ограниченными, связными и открытыми множествами, т. е, дают примеры ограниченных областей в пространстве Е'". и-мерная сфера в пространстве Е дает пример замкнутого и ограниченного множества.
Замкнутый т-мерный шар представляет собой ограниченную замкнутую область в Е'". Дополнение к открытому пх-мерному шару представляет собой неограниченное замкнутое множество. Совокупность двух непересекающихся областей в пространстве Ем дает пример несвязного множества. 3. Понятие функции гп переменных. Теперь мы подготовлены для того, чтобы ввести понятие функции и переменных.
!З з»х 7я 450 Гл. 12. Фуикпии нескольких переменных Если каждой точке М из множества (М) точек т-мерного евклидова пространства Е~ ставится в соответствие по известному закону некоторое число и, то говорят, что на множестве (М) зада. на функция и=и(М) или и=1(М). При этом множество (М) называется областью задания функции и=1(М). Число и, соответствующее данной точке М из множества (М), будем называть частным значением функции в точке М. Совокупность всех частных значений функции и=1(М) пазы.
вается множеством значений этой функции Так как точна М определяется координатами хь хм ..., х, то для функции и"= =1(М) т переменных используется также обозначение и=((хь х2 .- х ). Рассмотрим примеры функций пт переменных. Начнем с примеров функций двух переменных. 1'. и= г 4 — х' — у'. Областью задания этой функции является круг радиуса 2 с центром в начале координат, а множество значений представляет собой сегмент О~и~2. 2'. и= (р'хи+ у' — 4) 1. Областью задания этой функции является множество точек, лежащих вне круга радиуса 2 с центром в начале координат, а множество значений представляет собой открытую полупрямую и>0.
3'. и = ~' соз (х'+ у'). Областью задания этой функции является множество (М) точек, координаты которых удовлетворяют неравенству соз(хи+ух) ъО. Это неравенство эквивалентно неравенст. вам 0 (хи+у' ~( —, 2яи — — ~< х'+у' < 2йп+ — при А= 2 2 2 =1, 2,.... Таким образом, (М) состоит из круга радиуса )'л/2 с центром в точке О (О, 0) и кольцеобразных областей (рис. !2.1). Приведем теперь примеры функций и переменных.
4'. Пусть и=)х1 — х',— х- "—...— хх. Областью задания этой функции служит, очевидно, гп-мерный шар радиуса 1 с центром в точке О (О, О, ..., 0). Множеством значений рассматриваемой функции является сегмент (О, 1]. 5. Пусть и— 1 Областью задах и 2 х1 х х 2 2 а1 аи а~~ ния этой функции является множество (М) всех точек М пространства Е", координаты хь хи,...,х которых удовлетворяют нера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
