В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Однако из непрерывности функции в точке М по каждой из переменных хь хг, ...,х не вытекает, вообще говоря, непрерывность функции в этой точке. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим следующие примеры. 1'. Мы будем говорить, что функция и=у(М) =1(х, у) н еп р ерывна в точке М на прямой, проходящей через э т у т о ч к у, если для любой последовательности точек (М„) этой прямой, сходящейся к точке М, соответствующая последовательность Д(М„)) значений функции имеет пределом частное значение 1(М) функции в точке М.
Так как на прямой функция и= =у(х, у) представляет собой функцию одной переменной, то понятие непрерывности функции на прямой совпадает, очевидно, с понятием непрерывности указанной функции одной переменной. В частности, непрерывность функции в точке М по отдельным переменным х и у представляет собой непрерывность ее на прямых, э Термин «частное приращение» употребляется для того, чтобы отличить это приращение ог полного приращения (Нпб), соогветсгвующаго произвольным приращениям ахь ахг, ..., ах всех аргументов хо хг, ..., х Гл. 12.
Функкки нескольких неременнык проходящих через точку М и параллельных координатным осям. Докажем, что функция при ха+ уа ~ О, и= ха+ уа 0 при х'+у'= 0 (12.10) непрерывна в точке 0(0, 0) по каждой из переменных х н у, т. е. непрерывна на каждой из координатных осей, но не является непрерывной на всех остальных прямых, проходящих через эту точку, и поэтому не является непрерывной в точке '0: Каждая прямая, отличная от координатных осей и проходящая через точку 0(0, 0), может быть представлена уравнением у=йх, где АФО. В каждой точке прямой у=ух при АФО, за исключением точки 0(0, 0) функция (12.10) принимает одно и то же постоянное знак чение ьа Отсюда следует, что если последовательность (М„) отличных от 0 точек такой прямой сходится к точке О, то соответствующая и последовательность значений функции имеет предел, . Так 1+ ха как при АФО этот предел отличен от нуля и не совпадает с частным значением функции в точке О, то функция разрывна в этой точке на рассматриваемой прямой.
Непрерывность функции на координатных осях вытекает из того, что ее значения на этих осях равны нулю. Может сложиться впечатление, что если функция двух переменных непрерывна на любой прямой, проходящей через данную точку, то эта функция непрерывна в указанной точке. Следующий пример показывает, что это, вообще говоря, не так. 2'. Рассмотрим функцию хау и=1" (М)= х +у' при х'+ у' чь О, 0 при х'+у'=О. Докажем, что, хотя указанная функция непрерывна на любой прямой, проходящей через точку 0(0, 0), она не является непрерывной в этой точке.
В самом деле, значения этой функции йх на прямой у=их равны „, и поэтому и-ьО при х — О. Нех'+ уа прерывность этой функцн на оси Оу вытекает из того, что ее значения на этой осн равны нулю. С другой стороны, значения функции на параболе у=ух' постоянны и равны —, и по- Р 1+ Ра' этому предельное значение функции прн стремлении точки М к точке 0 по указанной параболе также равно —. Так как Р + Ра з 3. Непрерывность функции т переменнык 465. ! при рФО этот предел отличен от нуля и не совпадает с частным значением функции в точке О, то функция разрывиа в этой точке. 3. Основные свойства непрерывных функций нескольких переменных. В этом пункте мы перечислим основные свойства непрерывных функций нескольких переменных.
Поскольку доказательства этих свойств в основном аналогичны доказательствам соответствую1цих свойств функций одной переменной, то, как правило, мы будем давать лишь краткие пояснения, предоставляя детали доказательства читателю. 1'. Арифметические операции над непрерывными функциями, Если функции )'(М) и у(М) заданы на одном и том же множестве (М) и непрерывны в. некоторой точке- А этого множества, то функции )'(М)+к (М), 1(М) — И(М) ((М) к(М) и — также непрерывны в точке А (в случае част- 1 (м) е(м) ного нужно дополнительно потребовать, чтобы у(А)ФО).
Это утверждение сразу же вытекает из соответствующего утверждения об арифметических операциях над функциямн, имевшими предел (см. п. 3 5 2 настоящей главы). 2'. Непрерывность сложной функции. Введем понятие сложной функции нескольких переменных. Пусть функции х1 1Р1 (У1 12 ' ' 12) Х2 = 1Р2 (11~ 12 .
~ 11)~ (12.11) хы='Рт(11~ ггэ ~ 11) заданы на множестве (Ф) евклидова пространства Е" (11, 12, .... ..., 12 — координаты точек в этом пространстве). Тогда каждой точке Ф(11, (ь ..., 12) множества ()2) ставится в соответствие с помощью формул (12.11) точка М (х1, хг, ...,х ) евклидова пространства Е™. Обозначим через (М) множество всех таких точек. Пусть и=)(х1,....,х ) — функция пт переменных, заданная на указанном множестве (М). В этом случае мы будем говорить, что на множестве ()у) евклидова пространства Еи определена сложная функция и=)(х1, хг, ...,х ), где хь хг,,х являются функциями пеРеменных 6ь 11,..., 11, пРичем зти фУнкции опРеделЯютсЯ соотношениями (12.11). Справедливо следующее Ут в е р ж де н и е.
пусть функции х1 — — чч((ь-, 12), хг=<рг(11,- ...,Сь),,х =1р ((ь...,(„) непрерывны в точке А(аь аг,...,аь), а функция и=((х1, х,,...,х ) непрерывна в точке В(Ь!, Ьь",Ь ), где Ь1=1рг(а1, аг,...,аи), 1=1, 2, ..., т, Тогда сложная функция и= =1(х1 хь-,хт), где хь хь ...,х представляют собой определенные выше функции аргументов (1, 12,.„, 11, непрерывна в точке А (ам аь, аь) . 466 Гл. )2. Функции нескольких переменных Для доказательства этого утверждения рассмотрим произвольную сходя)цуюся к А последовательность точек ))~„= (1)«"), 12«"), ... ..., 1к«)) множества (Ь/). Обозначим через (М„) соответствующую последовательность точек пространства Е , координаты х,«"), хк«е), ...,х «") которых равны х.«к) «р ()у ) «р () «н) 1 «и) ) «к)) ) 1 2 тп Из непрерывности функций «р«())') в точке А и из определения не:прерывности по Гейне вытекает сходимость последовательности точек (М„) к точке В (Ь), Ьм ..., Ь ). Далее из непрерывности функции и=/(М) в точке В и из определения непрерывности по Гейне вытекает сходимость после.довательности (/(М„)) к числу /(В).
Но это и означает, что последовательность / [«р, ()у'„), «рк(й н), ..., «р (/е'„) ] значений этой сложной функции сходится к частному значению этой .сложной функции /[«р)(А), «рк(А),...,«р (А)], т. е, непрерывность сложной функции в точке А. 3'. Теорема об устойчивости знака непрерыв:ной функции. Теорема 12.4, Если функция и=/(М) непрерывна в точке А евклидова пространства Е и если /(А)~0, то существует та,кая б-окрестность точки А, в пределах которой /(М) не обращается в нуль и имеет знак, совпадающий со знаком /(А). С и р а в е д л и в о с т ь этой теоремы почти непосредственно вытекает из определения непрерывности функции /(М) в точке А по Коши. В самом деле, из этого определения вытекает, что для .любого е>0 найдется отвечаюшее ему б>0 такое, что /(А)— е</(М)</«'А)+е всюду в б-окрестности точки А.
Если в этих рассуждениях взять в качестве е положительное число ]/(А) ]/2, то мы получим, что все три числа /(А) — е, /(А) и /(А)+е будут одного знака, и потому /(М) имеет тот же знак, что и /(А) всюду в б-окрестности точки А. 4'. Теорема о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение. Т е о р е м а 12.5. Пусть функция и=/(М) непрерывна во всех точках связного множества (М) евклидова пространства Е'", причем /(А) и /(В) — значения этой функции в точках А и В этого множества. Пусть, далее, С вЂ” любое число, заключенное между /(А) и /(В). Тогда на любой непрерывной кривой Е, соединяющей точки А и В и целиком располагающейся в (М), найдется точка ))«' такая, что /(У) = С. Доказательство.
Пусть х)=«р)(~), хе=«рк( ) а<1<р, — уравнения непрерывной кривой Е, соединяющей точки А и В множества (М) и целиком располагаю)цейся в (М) (См. и. 2 Э 1). На сегменте [а, б] определена сложная функция и= =/(х), х,, ..., х„), где х) =«р)(1), ) =1, 2, ..., т, а <1<0. 4бт 4 3. Непрерывность функции гп переменных Очевидно, значения этой функции на сегменте [а, Я совпадают со значениями функции и=((М) ва кривой Ь.
Указанная. сложная функция одной переменной 1, в силу утверждения раздела 2' этого пункта, непрерывна на сегменте [а, 6] и, согласно теореме 4.13, в некоторой точке $ сегмента [а, Я принимает значение С. Поэтому в точке У кривой Ь с координатами ф~($), ~рх(э),, ср К) получим ((Ф) =С. Теорема доказана, 5'. О гр а ничен ность функции, непрерывной на за м к нутом ог р а ниченно м множестве. Теорема 12.6, (первая теорема Вейерштрасса). Если функция и=((М) непрерывна на замкнутом ограниченном множестве (М), то она ограничена на этом множестве, Для того чтобы убедиться в справедливости этой теоремы, выделим (как и в доказательстве аналогичной теоремы 4.14) последовательность (М„) точек множества (М), для которых [1(М„) [> >и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
