В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Теорем а 12.9. Если функция и=)(хь хм...,х ) дифферен- цируема в точке М(хы хь ..., х ), то в этой точке существуют ди частные производные по всем аргументам, причем — =А,, где ах, А; определяются из условия (12.14) или (12,15) дифференцпруе- мости функции. Д о к а з а т ел ь с т в о. Из условия (12Л4) дифференцируемо- сти функции в точке М(хы хп ...,х, ) вытекает, что ее частное приращение Ь,,и в этой точке равно Ь и =А,Ьх, + аоЬх,. ОтсюЛх и да вытекает, что — '=А, +апи поэтому, так как ае-ьО прн Ьх; — ьО, дн 1пп ' = — =А,. ьх,.
о Ьхе дх; Следств и е 1. Условие (12.15) дифференцируемости функции в данной точке М можно записать в следующей форме: ди ди ди Ьи = — Ьх„+ — Ьх, + ... + — Ьх,„+ о(р). (12.16) дх, " дхе дхм С л е д с т в н е 2. Если функция и=)(хь хь ..., х ) дифференцируема в точке М(хь хм ..., х ), то представление ее приращения Ьи в форме (!2.14) или (12.15) единственно. В самом деле, коэффициенты А; этих представлений равны аи частным производным — в данной точке М и поэтому опредедх; ляются единственным образом. Убедимся в справедливости следующего важного сввйства дифференцируемых функций. Если функция и=((хь хм ..., х ) дифференцируема в точке М (хп хп, х„,), то она и непрерывна в этой точке.
В с а м о м д е л е, нз условия (12.14) дифференцнруемости функции в точке вытекает, что 1пп Ьи =О, а зто ознаьх,— о,...,ьх о $4. Производные и дифференциалы 473 чает, что функция непрерывна в точке М (см. п. 1 $ 3, формула (12,7) ) . 3. Геометрический смысл условия дифференцируемости функции двух переменных. В случае функции и=)(х, у) двух переменных условие дифференцируемости может быть иллюстрировано геометрически. Введем понятие касательной плоскости к поверхности в точке. Плоскость П, проходящая через ~очку )ч'о поверхности, навьи вается к а с а т е л ь но й плоскостью в этой точке, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через точку ЛГо и любую точку У1 поверхности; стремит- е ся к нулю, когда е точка М1 стремится к А'о (рис. 12.3).
Если в точке 1ч'о существует каса- -.и,1-ч1 и тельная плоскость, то очевидно, что ка- п сательная в точке Фо к любой кривой 1 ! расположенной на 1д поверхности и про- л уу ходящей через Жо, Л- — ~ лежит в указанной х. У плоскости. — — — — — — — — ФхФ Убедимся, что из ! ." Лгз(хьуей условия дифференцируемости функции и=)(х, у) а данной точке Мо(хо, у,) вытекает существование касательной плоскости к графику 5 этой функции в точке йо(хо, уо, ио). Положим Лх=х — хо, Луее =у — уо, Ли=и — ио, где ио=)(хо, уо), и=1(х, у).
Очевидно, условие (12.14) дифференцируемости в рассматриваемом случае можно записать следующим образом: и — ио = А (х — хо) +В (у — уо)+ аок+ 57зу = А (х — хо) + +В(у — уо) +о(р), ди ди где А и  — постоянные, равные частным производным — и дл ду в точке Мо, а а и р — бесконечно малые при Лх-ьО и оу-+О функции р= )/Ьхв+ Ьуа . Рассмотрим следующее уравнение: и — и.=А (х — х.)+В(у — у,). 474 Гл.
12. функции нескольких переменных Из аналитической геометрии известно, что это уравнение определяет в декартовой системе координат (х, у, с)) некоторую плоскость П, проходящую через точку Жо(хо, уо, ио) и имеющую нормальный вектор п=(А, В, — 1) *. Докажем, что эта плоскость П является касательной плоскостью в точке зт'о поверхности 5. Для этого достаточно убедиться, что: 1) плоскость П проходит через точку зто поверхности 5 и 2) угол ср между нормалью и этой плоскости и любой секущей )т'ой~ стремится к п)2, когда точка й(~ поверхности 5 стремится к точке )уо Утверждение 1) очевидно.
Перейдем к доказательству утверждения 2). Вычислим косинус угла ср, воспользовавшись известной формулой для косинуса угла между двумя векторами Так как координаты вектора и равны А, В, — 1, а координаты вектора Л'~М~ секущей равны х — хо, у — уо, и — ио (см. рис. 12.3), то А(х — х,)+ В(у — у,) — (и — ва) соз ф у Аа+ В'+ 1 )7( — х,)'+Оу — у„)'+(и — н„) Из условия дифференцируемости функции и=((х, у) вытекает, что А (х — хо) +В(у — уо) — (и — ио) =о(р) . Поэтому (соз~р(-., — Р -ьО, когда р-ьО, )о(р)1 )о(р) ) У ( — хд'+(у — уо)' т. е. 1пп~р= —. Утверждение 2) доказано.
2 Таким образом, дифференцируемость функции и=)(х, у) в точке Мо(хо, уо) с геометрической точки зрения означает наличие касательной плоскости к графику функции и=7(х, у) в точке Жо(хо, уо, ио) Так как коэффициенты А и В равны соответственно частным производным, вычисленным в точке Мо(хо, уо), то уравнение касательной плоскости может быть записано в виде дп ди и — = — ( — х)+ (р — у). дх ' ду 1 ди ди Нормальный вектор и = ~ —, —, — 1~ касательной плоскодх ду сти принято называть нормалью к поверхности и=)(х, у) в точке Л'о(хо, уо, зо). 4. Достаточные условия дифференцируемости. Займемся выяснением достаточных условий днфференцируемости функции пв переменных.
Докажем следующую теорему. Теорема 12.10. Если функция и=((хь хь...,х ) имеет частные производные по всем аргументам в некоторой окрестности * Нормальным вектором плоскости называется любой ненулевой вектор и, перпендикулярный к этой плоскости. $4. Производные и дифференциалы 475 точки Мо(хР, хза, ...,ха ), причем все эти частные производные не.прерывны в самой точке Мо, то указанная функция дифференцируема в точке Мо. Доказательство.
Для сокращения записи проведем доказательство для функции двух переменных и=)(х, у). Итак, пусть обе частные производные [е' н [н' существуют в окрестности точки Мо(хо, уо) н непрерывны в втой точке. Ладим аргументам х н у столь малые приращения Лх н Лу, чтобы точка М(хо+Лх, уо+Лу) не выходила за пределы указанной окрестности точки Мо.
Полное приращение Ли=[(хо+Лх, уа+Луо) — [(хо, уо) можно записать в аиде Ли= [[(ха+Лх, уо+Лу) — Иха, уо+Лу)]+ + [[(хо, уо+Лу) — [(хо, уа) ]. 'Выражение [1(хо+Лхо, уо+Ьуо) — [(хо, уо+Лу)] можно рассматрнвать как приращение функции [(х, уо+Лу) одной переменной х на сегменте [хо, хо+Ьх]. Поскольку функцня и=[(х, у) имеет частные пРонзводные, УказаннаЯ фУнкцил 7(х, Уа+ЛУ) днфференцнруема н ее производная по х представляет собой частную производную [ '. Применяя к указанному прнрашенню формулу Лагранжа, найдем такое 01 нз интервала 0<0~<1, что [7'(хо+Лх, уо+Лу) — [(хо, уа+Лу) ] =[в'(хо+01Лх, уо+Лу) Лх. Рассуждая совершенно аналогично, получим [[(хы уа+Лу) — 7(хы у ) ] =~„'(хы у +ОзЛУ) Лу, 0<О <1.
Так как производные 7„' н )н' непрерывны в точке Мо, то 7 '(хо+01Лх, уо+Лу) =7л'(ха, Уо) +а, [н (ха', Уо+ОзЛУ) =[и (хо, Уа),+й где а н р — бесконечно малые прн Лх- 0 н Лу-~0 функции. Отсюда, учитывая приведенные выражения для Ц(хо+Лх, уо+Лу) — 1(хо, уо+Луо) ] н [1(хо, уо+Лу) — 1(хо, уо) ] н выражение для Ли, найдем Ли=~и'(ха, уо)Лх+[н'(хо, уо)ЛУ+аЛх+рЛУ.
Следовательно, функция и=7(х, у) днфференцнруема в точке Мо. Для функции т переменных и=~(хь хм ...,х ) рассуждення аналогичны, нужно только полное приращение Ли такой функции представить в виде Ли 7 (ха + Лх„х,' + Лх„..., хо + Лх ) — 1 (х,', ха,..., хо ) = = '~, [1(хап ..., х,' о х', + Лх;, х,'.+, + Лхз».„..., хо + Лх )— ~=1 476 Гл. 12.
Функции нескольких переменных Теорема доказана. 5. Дифференциал функции нескольких переменных. Определение. Д иф ференц и алом ди дифференцируемой в точке М(хь хм...,х ) 4ункции и=~(хь ха.,х ) называется главная линейная относительно приращений аргументов часть приращения этой функции в точке М, Если все коз4фициенты А; в представлении (12.14) приращения дифференцируемой функции равны нулю, то диф4еренциал Йи 4ункции в точке М считается равным нулю. Таким образом, дифференциалом йи дифференцируемой в точке М функции и=1(хь ха, ..., х ) называется выражение йи= А,йх1+Аайха+ ...
+А Ьхы. (12.18) Используя теорему 12,9, мы можем, очевидно, переписать выражение (12.18) для дифференциала Ни следующим образом: ди = — Лха+ — Лха+ ... + — Лх . (12.19) ди ди ди дх, дха дхм Введем понятие дифференциал а йха независимой п е р е м е н н о й хь Под дифференциалом дх; независимой переменной ха можно понимать любое (не зависящее от хь х,,...,х ) число. Договоримся в дальнейшем брать это число равным приращению Ьха независимой переменной хь Эта договоренность позволяет нам переписать формулу (12.19) в виде йи = — йха+ — йха + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
