В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 91
Текст из файла (страница 91)
венству х' х' ! з хи 2 + и +'''+ 2 /В а1 аи а (при этом предполагается, что аь аи, ..., а — некоторые положительные числа). й 2. Предел фуякццц т церьяенцих 451 Очевидно, указанное множество (М) будет представлять собой область в пространстве Е, все точки которой лежат внутри так называемого и-мерного эллипсоида, представляющего со:бой множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению 2 х! хд — + — + ц! цг к + + 2 а Множеством всех значений указанной функции являет.
ся полупрямая и~ ) 1. Мы видим. что область задания функции т переменных представляет собой некото- Ряс. 12.1 рое множество точек т-мерного евклидова пространства Е", а множество всех значений этой функции представляет собой некоторое множество одномерного Нвклидова пространства Е'. Таким образом, введенную нами функцию п4 переменных можно рассматривать как отображение некоторого множества в пространстве Е'" в некоторое множество в пространстве Е'.
й 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ т ПЕРЕЭ1ЕННЬ1Х 1. Последовательности точек пространства Е'". Введем понятие последовательности точек т-мерного евклидова пространства Е'". Пусть каждому числу и натурального ряда чисел 1, 2,... ставится в соответствие точка М„евклидова пространства Е . Возникающий при этом ряд точек Мь Мз, ..., М„, ..., рассматриваемый в указанном порядке, называется последовательностью точ ек евклидова пространства Е'". Мы будет кратко обозначать эту последовательность символом (М„). Введем, далее, понятие сходящейся последовательности точек пространства Е~ и ее предела. Последовательность (М„) точек евклидова пространства Еы называется с х о д я щ е й с я, если существует точка А пространст- Гл.
12. Функкии нескольких нереиенник ва Е~ такая, что для любого положительного числа и можно указать отвечающий ему номер Л) такой, что при я~Л) выполняется неравенство р(М„, А) <е. При этом точка А называется пределом последовательности (М„). Для обозначения предела А последовательности (М„) используется следующая символика: 1!гп М„=А, или М„. А при и- оо. н-Ф 0 Установим следующую лемму. Лемм а 1. Последовательность (М„) точек т-мерного евклидова пространства Е'" сходится к точке А этого пространства тогда и только тогда, когда числовые последовательности (х',"'), (х)еи)), ..., (х)„")) координат точек М„сходятся соответственно к числам аь аь ..., а, представляющим собой координаты точки А.
Д о к а з а т е л ь от в о. Сначала докажем первую часть леммы, Так как последовательность (М„) сходится к точке А, то для любого е>0 можно указать номер Л) такой, ч)о при п) Л) выполняется неравенство р(М„, А)<е. Пусть (х)и), х)и), ..., х)н)) — координаты точки М„, а (а), аь ..., а ) — координаты точки А. Тогда неравенство р(М„, А) <е можно записать следующим образом: (хь') — а))и+(х)и) — а )и+ ... +(х'") — а,„)и( е.
(!2.4) Отсюда следует, что при я~Л)' выполняются неравенства !х)л) — а !( е !х)м — а )( е 1х)л) — и !( е Иными словами, последовательности (х',")), (х)и)), ...,. (х'")) координат точек М„сходятся соответственно к числам аь ае, ...,ане Первая часть леммы доказана. Перейдем к доказательству второй части леммы. Предположим, что указанные последовательности координат точек М„сходятся соответственно к числам аь ае, ...,а, Тогда для любого е>0 можно указать номера Л)„Л)и, ..., У такие, что при п~Л)),пъЛ)„...,п:. . Л) соответственно выполняются неравенства )х))и) — а,!( — ', !х)ии) — аи!( — ', ..., !х)и) — а,„!( — ' Отсюда следует, что при п~Л)=п)ах(Л)), Л',,...,Л) ) выполняется неравенство (12.4), Иными словами, при я~Л) выполняется неравенство р(М„, А) <е, где А — точка Е~ с координатами аь а,, ...
..., а . Таким образом, последовательность (М„) сходится к-точке А. Лемма доказана. Введем теперь понятие фундаментальной последовательности точек пространства Е . Последовательность (М ) точек т-мерно-. го евклидова пространства называется фундаментальной или посл вдов ател ь нос ть ю Коши, если для любого положи- ф 2. Предел фунхпнн )» переменных 453 тельного числа е можно указать отвечающий ему номер У такой, что при пъ У и при любом целом р~О выполняется неравенство р(М»+рт М») <е.
В полной аналогии с леммой 1 может быть доказано следующее утверждение. Л е м и а 2. Последовательность (М„) точек т-мерного евклидова пространства Е'" является фундаментальной тогда и только тогда, когда является фундаментальной каждая из числовых последовательностей (х',")), (х'"'), ..., (х!"') соответствующих координат точек М„.
До к аз а тельство. Для доказательства первой части леммы предположим, что последовательность точек (М„) является фундаментальной, т. е, для любого е>0 найдется номер У такой, что при п~У и для любого целого ръ.О справедливо неравенство Р (М»+р, М» ) <в или, что то же самое, неравенство (х) +р) — х!»)) + (х!»+») — х!»)) +, „, + (х!»+Р) — х!»))е ( 8. (12 4») Из этого неравенства вытекает, что при п~))) и для любого целого р~ 0 справедливы неравенства х(»+») х4») ~ ( а ) х!»+») х(л) ~ ( е ~ х!»+») х!») ~ ( которые и устанавливают фундаментальность каждой из числовых последовательностей соответствующих координат точек М, Для доказательства второй части леммы предположим фундаментальность каждой из числовых последовательностей соответствующих координат точек М„.
Тогда для любого е>0 можно указать номера )ч), Ун, ...,))) )такие, что соответственно при пэ.1ч'), п>Жм ..., пъЮ и для любых целых р~О будут справедливы неравенства ~ Хн»+~) Х!») ~ ( ~ Х!»+л) Х!») ~ ( ! Х!»+») Х)~) ! ( ! 1 у' ' 2 2 р ' '''' м»! Отсюда следует, что при п~)ч'=тах(1ч), У„..., Ж ) и для лю. бого целого р~О будет справедливо неравенство (12.4*), которое и означает фундаментальность последовательности точек (М ). Лемма 2 доказана. С помощью лемм 1 и 2 легко доказывается к р и те р и й К о ш и сходимости последовательности точек пространства Е: для того чтобы последовательность (М„) точек пространства Еы была сходящейся„необходимо и достаточно, чтох бы она была фундаментальной. В самом деле, если последовательность точек (М,) является фундаментальной, то в силу леммы 2 является фундаменг тальной и каждая из числовых последовательностей соответствую.
щих координат точек (М„). В силу критерия Коши сходимости числовой последовательности указанные числовые последователь- Гл. !2. функции нескольких переменных ности соответствующих координат сходятся к некоторым числам аь ан, ..., а соответственно. Но тогда в силу леммы 1 последовательность точек (М„) сходится к точке А(а!, аь ..., а ). Если, наоборот, последовательность точек (М,) сходится к некоторой точке А пространства Е, то в силу леммы 1 каждая из числовых последовательностей соответствующих координат точек (М„) сходится к соответствующей координате точки А. Но тогда (в силу критерия Коши сходимости числовой последовательности) каждая из числовых последовательностей соответствующих координат точек (М„) является фундаментальной и, значит, в силу леммы 2, является фундаментальной и последовательность точек (М„). 2.
Свойство ограниченной последовательности точек Е . Введем понятие ограниченной последовательности точек пространства Е . Последовательность (М„) точек т-мерного евклидова простран!ства называется о гран и честной, если существует такое число а>0, что для всех и выполняется неравенство р(0, М„) ~а, где 0 — точка, все координаты которой равны нулю.
Иными словами, ограниченность последовательности точек (М„) означает, что все точки этой последовательности принадлежат замкнутому шару достаточно большого радиуса с центром в начале координат О. Установим следующее важное свойство ограниченной последовательности точек пространства Е'". Если л!, лм ...,лы ...— произвольная строго возр а с тающая последовательность целых положительных чисел, то мы будем называть последовательность точек Мко М,м ..., Ми, ... и о д п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь ю последовательности точек Мь М2, ..., Ме, ....
Теорема 121 (теорема Больцано — Вейерштрасс а). Оз любой ограниченной последовательности (М„) точек т-мерного евклидова пространства можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Д о к аз а тел ь с тв о. Убедимся, во-первых, что последовательности (хЯ, (х!,"!), ..., (х!"!) координат точек (М„) являются ограниченными. Действительно, так как последовательность (М„) ограничена, то для всех л выполняется неравенство р(0, М„) к;а.
Поскольку р(0, М„) = [х<"')е+ [х!"!)е+ . + [х!"!]и отсюда следует, что для всех и выполняются неравенства[к!!н!)< а, )х!еп!~ ~~а, )х!">! (а. Иными словами, последовательности (х!!н!), (х!"!), (х<п!) координат точек М„ограничены. В силу теоремы Больцано — Вейерштрасса для числовых последовательностей (см. п. 1 $ 3 гл.
3) из последовательности (х!">) можно выделить под- й 2. Предел функции ы переменных последовательность (х',л«)), сходящуюся к некоторому числу а(. Рассмотрим соответствующую подпоследовательность (х('«) последовательности вторых координат точек М„. В силу той же теоремы из подпоследовательности (х(л« ) можно выделить подпоследовательность (х', «)), сходящуюся к некоторому числу аз. Заметим, что подпоследовательность (х( « ) последовательности (х, «г) сходится к числу аь Итак, подпоследовательности (х(л«') и(х "«*') сходятся к числам а, и аз соответственно.
Очевидно, что если мы из подпоследовательности (х(л«)) последовательности третьих координат точек М„выделим сходящуюся к числу аз подпоследовательность (х,'л«*), то подпоследовательности (х( «), (х',л«)), (х(л«') сходятся соответственно к числам аь аз, аь Продолжая зти рассуждения, мы, наконец, получим сходящуюся к некоторому числу а подпоследовательность (х «м ) по(л ) следовательности т=х координат точек М„, причем подпосдедо(л«) (л,) (л( ) вательности (х," ), (х,~м), ..., (х «' ) сходятся к числам а аь ..., а„соответственно. Но тогда в силу леммы 1 подпоследовательность (Мл ) последовательности точек (М„) сходится к точке А с координатами аь а„..., а . Теорема доказана.
3 ам е ч а н и е. Предел А последовательности (М„) точек, принадлежащих замкнутому множеству (М), также принадлежит этому множеству. Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что в любой е-окрестности точки А имеются точки (М„), т, е. точки множества (М), н поэтому точка А является либо внутренней, либо граничной точкой (М), а следовательно, принадлежит (М). 3. ((редел функции т переменных.
Рассмотрим функцию и=)(М), определенную на множество (М) точек т-мерного евклидова пространства Е'", и точку А пространства Е'", быть может и не принадлежащую множеству (М), но обладающую тем свойством, что в любой в-окрестности этой точки А содержится хотя бы одна точка множества (М), отличная от А "'. Определение 1 (предел функции в точке А по Гейне). Число Ь называется пределом (или предельным значением) функции и=((М) в точке А (или при М -А), если для любой сходящейся к А последовательности (М„) точек множества (М) задания этой функции, все элементы М„которой отличны ог А, соответствующая числовая последовательность значений функции (1(М )) сходится к числу Ь. * Это означает, что точка А является вредельной точкой множества (й(1 (см, п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
