В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 92
Текст из файла (страница 92)
2 $1 настоягдей главы, определение 12'). Гл. НЬ Функции нескольких переменных Определение 1ь (предел функции в точке А,по К о ш и). Число Ь назьчвается пределом (или предельным значением) функции и=((М) в точке А (или при М-+А), если для любога положительного числа а найдется отвечающее ему положительное число 6 такое, что для любой точки М из множества (М) задания этой функции, удовлетворяющей условию 0<р(М, А) <6, справедливо неравенство Ц(М) — Ь ~ <ю Для обозначения предела функции и=!(М) в точке А используется следующая символика: Игп~(М)=Ь или !пп 1(х» х„..., х ) =Ь.
м-+л и й» к~ Р» км й»»» (Здесь (аь а„...,а ) — координаты точки А.) Доказательство эквивалентности определения 1 и 1ь проводится точно так же, как н для функции одной переменной. Следует лишь в рассугкдениях теоремы 3.19 (см. п. 2 $4 гл. 3) заменить последовательность (х„) последовательностью точек (М ), точку а— точкой А(аь аь ..., а ), разности !х — а! и !х„— а! — расстояниями р(М, А) и р(М„, А) соответственно, а числовую последовательность (1(х )) заменить числовой последовательностью ()(М )). Введем теперь понятие предела функции и=!(М) при М-~со. Для этого предположим, что множество (М), на котором задана функция и=!(М), для любого 6>0 имеет хотя бы один элементМ, лежащий вне шара радиуса 6 с центром в точке О(0, О, ..., О). Ограничимся определением соответствующего предела функции по Коши.
Определение 2. Число Ь называется пределом функции и=)(М) при М- оо, если для любого положительного числа е най. дется отвечающее ему положительное число 6 такое, что для всех точек М из множества (М) задания функции, удовлетворяющих условию р(О, М)>6, справедливо неравенство Ц(М) — Ь ! <е. Для обозначения предела функции и=)(М) при М вЂ” »-оо исполь.
зуется символ !пп Г (М) = Ь. м Так же, как и для функции одной переменной, легко убедиться в том, что арифметические операции над функциями т переменных, имеющими предел в данной точке А (или при М-»-оо], приводят к функциям, также имеющим предел в точке А (соответст-. венно прн М-»-оо], Сформулируем соответствующее утверждение для случая предела в точке А. Пусть две функции )(М) и д(М) заданы на одном и том же множестве (М) и имеют в точке А пределы, соответственно рав- 457 4 2. Предел функции т переменных ные Ь и с. Тогда функции ((М)+д(М), ((М) д(М) ((М).д(М) и г'(М)гк(М) илзеют в точке А пределы, соответственно равные Ь+с, Ь вЂ” с, Ь.с и Ь/с (в случае частного нужно дополнительно тре- бовать, чтобы с было отлично от нуля).
Доказательство этого утверждения совершенно аналогично до- казательству теоремы 3.21 (см. п. 4 $4 гл. 3), только вместо опре- деления по Гейне предела функции одной переменной следует ис- пользовать определение по Гейне предела функции т переменных. Установим теперь критерий Коши существования предела функ- ции т переменных, О п р е д е л е н и е 3, Будем говорить, что функция т перемен- ных 1(М) удовлетворяет условию Коши в точке М=А '1соответственно при М-+.оо1, если для любого положительного числа е найдется отвечающее ему положительное число 6 такое, что для любых двух точек М' и М" из множества (М) задания функции, удовлетворяющих условиям 0<р(М', А) <6, О< <р(М"„А)<6 (соответственно условиям р(М', 0)>6, р(М", 0)> >6), справедливо неравенство ~((М') — г (Мл) ( <н.
Теорема 122 (критерий Коши существ о в а ни я предела функции т переменных). Для того чтобы функция и=((М) имела конечный предел в точке М=А (прс4 М- оо), необходимо и достаточно, чтобы эта функция удовлетво- ряла в точке М=А (при М вЂ” г-оо] условию Коши. Доказательство этой теоремы полностью идентично доказатель- ству теоремы 3.20 (см. п. 3 $4 гл. 3) и может быть получено из него формальной заменой букв х и а буквами М и А и выражений типа (х — а( символом р(М, А). Весьма полезно заметить, что определение предела функции т переменных и=((М) в точке А и при М-~-оо укладывается в общее определение п р е д е л а п о б а з е, введенное в 5 5 гл 3. Рассмотрим сначала предел функции и=1(М) в точке А.
Договоримся называть проколотой 6-окрестностью т о ч к и А открытый т-мерный шар радиуса 6 с центром в точке А, из которого удалена сама точка А. Подчеркнем, что )(М) задана на таком множестве (М), которое для любого 6>0 имеет хотя бы одну точку М, лежащую в проколотой 6-окрестности точки А. Обозначим символом С, проколотую 6-окрестность точки А и положим В,= (М) ПС,. Очевидно, совокупность В = (Вз) множеств В, при всех 6>0 образует б а з у м н о ж е с т в а (М), ибо каждое множество В, (при любом 6>0) не является пустым и пересечение любых двух многкеств совокупности (В,) представляет собой множество той же совокупности *.
Эту базу естественно обозначить символом М- А, ибо, как легко проверить, определение предела по такой базе совпадает * Определения понятий базы и предела функции по базе см. в й б гл. 3. 4зз Гл. 12. Функции нескольких переменных с определением 1"' предела функции и=((М) в точке А по Коши. Для случая предела функции и=)(М) при М-+- эта функция должна быть задана на таком множестве (М), которое для любого 6>0 имеет хотя бы одну точку М, удовлетворяющую условию р(М, 0) >6, где Π— точка с координатами (0,0, ..., 0). Обозначим символом С, множество всех точек М пространства Е'", удовлетворяющих условию р(М, О) >6, и положим Ва— - (М)ПС,.
Легко проверить, что совокупность (В,) множеств В, при всех 6>0 образует базу множества (М), нбо каждое множество В, не является пустым и пересечение любых двух множеств совокупности (В,) представляет собой множество той же совокупности. Эту базу естественно обозначить символом М-ь.оо, ибо, как легко проверить, определение предела по такой базе совпадает с определением 2 предела функции и=((М) при М-+.оо, В заключение отметим, что теорема 12.2 (т. е.
критерий Коши существования предела функции и=((М) в точке А н при М-ьоо) вытекает как частный случай из теоремы 3.22, устанавливающей критерий Коши существования общего предела функции по базе. 4. Бесконечно малые функции т переменных. Функция и=((М) называется бесконечно малой в точке А (при М-эА), если 1ип ! (М) = О. м л Легко убедиться, что функция 1(М) = (х,— а,)"'+ (х,— а,)"'+ +... +(х — а )"', где пь пж ...,и — положительные числа, является бесконечно малой в точке А (аь ая, ..., а ) *. Если функция и=((М) имеет равное Ь предельное значение в точке А, то функция а(М) =((М) — Ь является бесконечно малой в точке А.
Имеем: Вша(М) = 11т(((М) — Ь) =! йп 1(М) — !пи Ь = О. Исм л м л м л м-и пользуя этот результат„мы получим с п е ц и а л ь н о е п р е д с т а вл е н и е для функции, имеющей равный Ь предел в точке А:1(М) =Ь+а(М), где 1)ша(М) =О. м л Сравнение бесконечно малых функций нескольких переменных производится точно так же, как это указано в п. 5 3 4 гл, 3 для бесконечно малых функций одной переменной. Отметим, что, как и в случае одной переменной, под символом о(6) мы будем понимать любую бесконечно малую в данной точке А функцию более высокого порядка малости, чем бесконечно малая в данной точке А функция ~(М).
" достаточно учесть, что каждая иа функций одной иеременной !(х„) = (ха †) "а является бесконечно малой в точке ха=ам й х. Предел фуикции лг переменных 5. Повторные пределы. Для функции и=р(хг, хо, ..., х, ) нескольких переменных можно определить понятие предела по одной из переменных хи при фиксированных значениях остальных переменных. В связи с этим возникает понятие повторного предела. Уясним это понятие на примере функции и=р(х„у) двух пере-' менных х и у, Пусть функция и=1(х, у) задана в некоторой прямоугольной окрестности (х — хо( <йг, !у — уо~ <йо точки Мо(хо, уо), за исключением, быть может, самой точки Мо. Пусть для каждого фиксированного у, удовлетворяющего условию О<!у — уо(<йг, существует предел функции и=1(х, у) одной переменной х в точке х=хо 1пп 1 (х, у) = гр (у), «-к«и о — фикс и пусть, кроме того, существует предел Ь функции ~р(у) в точке у=уо 1'пп гр (у) = Ь. у-куо В этом случае говорят, что существует повторный предел Ь для функции и=1(х, у) в точке М„ который обозначается следующим образом: 1пп Игл 1" (х.
у) = Ь. о л,««, Аналогично определяется повторный предел 11гп!пп1(х, у). ««ир О, Установим достаточные условия равенства двух введенных повторвых пределов. Т е о р е м а 12.3. Пусть функция и=!(х, у) определена в не- которой прялгоугольной окрестности !х — хо~ <йь !у — уо! <йо точ- ки Мо(хо, уо) и имеет в этой точке предел, равный Ь, 11усть, кроме того, для любого фиксированного х, О<!х — хо(<йг, су- ществует предел ф(х) =11гп1(х, у) и для любого фиксированноо Ре го У, 0<(У вЂ” Уо)<йо, сУЩествУет пРедел гР(У) =1!ш1(х, У).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
