В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Это приводит к Гл. 11. Приближенные методы 432 необходимости разработки приближенных методов вычисления определенных интегралов ". В этом параграфе мы познакомимся с тремя наиболее употребительными приближенными методами вычисления определенных интегралов; методом прямоугольников, методом трапеций и методом парабол. Основная идея этих методов заключается в замене подынтегральной функции 1(х) функцией более простой природы — многочленом, совпадающим с )(х) в некоторых точках. Для уяснения этой идеи рассмотрим при малых с интеграл )' Г'(х)с(х, представляющий собой площадь узкой криволинейной трапеции, лежащей под графиком функции у=1(х) на сегменте ( — с, с) (рис. 11.10). Заменим функцию 1(х) многочленом нулевого порядка, а именно константой )(О).
При этом интеграл ~' 1(х) дх, приближенно заменится площадью прямоугольника, заштрихованного на рис. 11.11. Ниже мы покажем, что при определенных требованиях на )(х) ошибка, совершаемая при такой замене имеет порядок с'. Заменим, далее, функцию 1(д) многочленом первого порядка, а именно линейной функцией у=)ех+Ь, совпадающей с 1(х) в точках — с и с. При этом интеграл (' 1(х)дх приближенно за- л — е У с с л с; х.
-с с с х Рис, И.12 Рис. 11.11 Рис. 11.10 Заметим, что приближенными методами часто пользуются и для вычиелеиия интегралов, выражаюптихся через элементарные функции. й 2. Приближенные методы вычисления определенных интегралов 4ЗЗ. Рнс. 11.13 ценится площадью прямоугольной трапеции, заштрихованной на рис. 11.12. Ниже мы покажем, что ошибка, совершаемая при, такой замене, также имеет порядок с'.
Заменим, наконец, функцию 1(х) многочленом второго порядка, т. е. параболой у=Ах'+Вх+С, совпадающей с 1(х) в точках — с, 0 и с. При этом интеграл 1' 1(х)йх приближенно заменится площадью, лежащей под параболой фигуры, заштрихованной на рис. 11.13. Ниже мы покажем, что прн определенных требованиях на функцию [(х) ошибка, совершаемая при такой замене, имеет порядок с'. Если потребуется вычислить интеграл ,]' 1(х)йх по любому сегменту [а, Ь], есте- а ственно разбить этот сегмент на достаточно большое число малых сегментов и к каждому из этих сегментов применить изложенные выше рассуждення. При этом мы и придем к методам прямоугольников, трапеций и парабол в их обшем виде.
Для того чтобы оценить ошибку, возникающую при применении методов прямоугольников, трапеций н пара. бол, мы подойдем к изложению этих методов с другой точки зрения. Прежде всего введем понятие у с р е днения и чисел. Пусть Ль Лы ..., ˄— какие угодно положительные числа. Любою число с вида Л1 ' 1(хх) + Ле)(ха) + ° + Ль!(хл) (11.13р Лх + Ла + ... + Лл назовеж усреднением и чисел 1(х), 1(х), ..., 1(х ). Очевидно, что если все числа 1(х1), )(хв), ..., )(х„) заключены между числами т и М(т(М), то и любое усреднение с этих чисел удовлетворяет неравенствам т~с~М.
Предположим далее, что функция )(х) непрерывна на сегменте [а, Ь] и все значения хь хы ..., х„лежат иа этом сегменте. Тогда, какое бы усреднение и чисел 1(х1), )(ха), ..., )(х„) мы ни взяли, на сегменте [а, Ь[ найдется точка к такая, что это усреднение равно значению)(З) в точке $. В самом деле, так как функция )(х) непрерывна на сегменте [а, Ь]. то все значения этой функции на указанном сегменте заключены между ее наибольшим значением М и наименыпим значением т. Значит, и любое- УсРеднение с чисел )(х,), 1(хя), ..., 1(х„) заключено междУ т и М.
Но, каково бы ни было это промежуточное значение с, согласно теореме 4.12 на сегменте [а, Ь] найдется точка ф такая, что с=гД). Гл. 11. Приближенные методы 434 Таким образом, для непрерывной на сегменте формулу (11.13) можно переписать в виде Лт! (хт) +ЛеГ(хе) + ... +Ла!(ха) ~® Лт+ Лт+ " + Ла [а, Ь[ функции (11.14) Д = Р (с) — Р ( — с) — [ (0) 2с. (11.18) или в виде Лт!(хт) +Лс!(хе)+ ... +Ла!(ха) (Ь а) [(ц) (Ь а) (11 15) Лт+Ле+ ... +Л С другой стороны, для непрерывной на сегменте [а, Ь) функ- ции, согласно п. 2 () 4 гл. 9, найдется точка $' из сегмента [а, Ь) такая, что справедлива формула среднего значения й ~ 7 (х) с(х = 7 Я') (Ь вЂ” а). (11.16) а Сопоставление формул (11.!5) и (11.16) позволяет сделать пред- положение о том, что при некотором разумном выборе чисел е ль Лм ..., Л„и точек хь хм ., х„вычисление интеграла ) !(х)дх а можно с большой точностью заменить вычислением суммы, стоя- щей в левой части формулы (11.15).
Именно на этой идее разум- ного выбора чисел Ль Лт, ..., Л„и точек хь хь ..., х„и основаны приближенные методы вычисления интеграла. Переходим' к изло- жению этих методов. 2. Метод прямоугольников. Будем считать, что функция !(х), интеграл от которой нам требуется приближенно вычислить, име- ет на рассматриваемом сегменте непрерывную вторую производ.ную. Начнем с рассмотрения .интеграла в симметричных пределах с !(х) дх.
Для вычисления этого интеграла будем исходить нз — с формул (11.15) и (11.16), в которых положим п=1, а= — с, Ь= =с, х~=О, Л1=1. Тогда, очевидно, с=О и правая часть (11.15) равна !(0) 2с. Таким образом, с ~ 7(х)дх=7(0) 2с+)с, (11. 17) — с где символом )т обозначен остаточный член (т. е, отклонение чис- ла !(0) 2с от точного значения интеграла). Для того чтобы оце- нить величину остаточного члена )7, обозначим через Р(х) пер- вообразную функции 1(х).
Поскольку в силу формулы Ньютоиа— с Лейбница )' 7(х) е(х=Р(с) — Р( — с), то 4 2. Приближенные методы вычисления определенных интегралов 436 Разложим по формуле Маклорена функцию тр(х) =Г(х)— — Г( — х). Беря остаточный член в форме Лагранжа и обозначая через "' возника|ощее при этом промежуточное значение аргумента из интервала (О, с), будем иметь тр(с) =г (с) — Е( — с) = ф(0)+ ( )с+ Р ( ) ся -!- Р (~)св.
(11.19)1 П 2! 3! Подсчитаем входящие в эту формулу значения тр(0), чр'(0), чрл(0)„ фл'(3'). Имеем ф(х) =Е(х) — Г( — х); чр(0) =Г(0) — Г(О) =0; чр'(х) =Г'(х]+Г'( — х) =[(х)+)( — х); ч[г'(0) =[(0)+1(0) =2[(0); тр" (х) =~'(х) — Г( — х); трл(0) =Г(0) — ['(О) =0; тр'ы(х)=)'"(х)+7" ( — х); тр'ы(К')= 1~ ( ) ~ ( ~11 =-2!""(5). 2 (В последнем равенстве мы воспользовались формулой (11.14) при и=2, Х!=)и= — 1, х =$', хе= — $' и обозначили через ~ некоторую точку из интервала ( — с, с) на котором по предположению непрерывна функция [л (х) .) Вставляя вычисленные значения в формулу (11.19), будем иметь тр(с) = Г(с) — Г( — с) = 27(0) с+ 2 с'. (11.20) 3! Сопоставляя последнюю формулу с формулой (11.18), окончательно получим я=-2 ~ (~)св = (~1(2с)в, — с< $<с.
(11.21) 3! 24 Из полученной оценки остаточного члена видно, что формула (11.17) тем точнее, чем меньше величина 2с. Поэтому для вы'ь числения интеграла ] 1(х) с(х удобно разоить сегмент [а, Ь] на л достаточно большое число и частей и к каждой из этих частей пряменнть формулу приближенного интегрирования (11.17). Считая, что функция 1(х) имеет на сегменте [а, 6] непрерывную вторую производную, разобьем этот сегмент на 2и равных частей.
пРи помоЩи точек а=хр<хя«...хян=б. Обозначим чеРез хялт! среднюю' точку сегмента '[х,ы хтьее]. Тогда ь ~~(х) ь(х= — '[~(хт)+~(хв)+ ... +~(хв„,)]ч-В (11 22)~ л где + + ° ° л 4 [ + + Гл 11. Приближенные методы 1" ($), ос. 5С Ь. (11.23) (Здесь мы воспользовались для )м(х) формулой усреднения (11.!4) при ).~=Лг=...=-Х„=1 и обозначили через $ некоторое .промежуточное значение аргумента из интервала (а, Ь).) Формула (11.22) называется формулой прямоугольни.ков. Ес геометрический смысл ясен из рис.
11.14: площадь кри- 'Ъс.г хгли игл Хгл хе хеч х, .~т Рис. ! 1.15 Рис. 11.14 гволинейной трапеции, лежащей под графиком 1(х) на сегменте 1а, Ь), приближенно заменяется суммой площадей, указанных на этом чертеже прямоугольников. 3. Метод трапеций. Пусть, как и выше, функция )(х) имеет .на рассматриваемом сегменте непрерывную вторую производную. е Снова начнем с вычисления интеграла ) 1(х) Ых, но на этот — е :раз будем исходить из формул (11.15) и (11.16), считая, что п=2, а= — с, Ь=-с, х~= — с, хе=с, 14=.Хе=1. Тогда ) )(х) т(х= — !)'( — с)+ 1(с)) 2с+ !т, — е (11.24) (11.25) 'Пусть, как и в методе прямоугольников, тр(х) =Р(х) — Р( — х).
Раз- лагая функции ф(х) и тр'(х) по формуле Маклорена с остаточ- ным членом в интегральной форме (см. п. 4 3 5 гл. 9) и полагая ,х=с, будем иметь где )г — остаточный член, подлежащий оценке. Обозначая, как и в п. 2, через Р(х) первообразную функции с ,1(х) и учитывая, что ) Г(х)дх=Р(с) — Р( — с), будем иметь Й=Р(с) — Р( — с) — — [~(с)+~( — с)) 2с. 1 2 В 2. Приближенные методы вычислении определенных интегралов 437 тр(с) =Р(с) — Р( — с) = = тр(0) + с + с' + — 3! тр"' (х) (с в х)а!Ех, Ф' (О) Ф" (О) а ! 1! 2! 2 о с тр' (с) =- Е (с) + Е ( — с) = тр' (0) + — с + — ( тр" ' (х) (с — х) г(х. 1! 1!,! о Подставляя в эти формулы значения !р(0), тр'(О), три(0), вычисленные н и. 2, получим г Г (с) — Р ( — с) = 2Е (0) с + — 1 тр" ' (х) (с — х)Чх, 2,! о е Е (с) + Е ( — с) = 2Е (О) + ~ ф"' (х) (с — х) г(х.
о Подставляя последние два выражения в (11.25), получим е с лт = тр"' (х) ~ — (с — х)' — с (с — х)1 г(х = — — (' тр"' (х)(се — лл) !Ех. '1 2 2,) о Имея в виду, что функция са — ха неотрицательна на сегменте 10, с), применим к последнему интегралу первую формулу среднего значения (см. п. 2 9 4 гл. 9). Учитывая, что тр'и(х) = =Еи(х)+Е" ( — х), и обозначая через В' некоторое значение аргумента из сегмента 10, с), получим с ЕВ= Е'(В')+Е'(-В) ((са ха) Ех ( Е'(В)+Е (-В) 1 2 2 1 3 о Применяя к выражению в квадратных скобках формулу усреднения (11.14) при л=-2, Х~ —— Ха=1 и обозначая через В некоторое значение аргумента нз сегмента ( — с, с), окончательно получим )В г (В).
(2с)а 2ге Е (В) 3 12 Для вычисления интеграла Д(х)г(х, как и в методе прямоугольа ников, разобьем сегмент [а, Ь) на и равных частей прн помощи точек а=хо<х;«...хи=Ь и применим формулу (11.24) к каждому из частичных сегментов. Получим 438 Гл. 11. Г4рлбллженвые методы е — ! *ее! ) 1(х)т(х=~' '[ 7'(х)Йх= е е=е л„ л — ! е [1'(хл)+1'(хе )1+Я» ~ = е=о = — ([7" (х )+1'(х ))+[[(х!)+7(х ))+ ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
