В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 85

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 85)

423 й К Приближенные методы вычисления корней уравнений из половин сегмента [а, Ь) является «вилкой». Эту половину мы обозначим [аг, Ь~]. Очевидно, что 1(аг) <О, 1(Ь,) >О. С сегментом [пь Ьг] поступим точно так же, как с сегментом [а, Ь], т.

е. разделим сегмент [аь Ь~] пополам. Продолжая аналогичные рассуждения далее, мы бу~дем иметь две возможности: 1) либо описанный выше процесс оборвется вследствие того, что значение функции в середине некоторого из сегментов окажется' равным нулю (в этом случае теорема доказана), 2) либо описанный процесс можно продолжать неограниченно, и мы получим стягивающуюся систему се~ментов — «вилок» [аг, Ь1), [аз, Ьз], ..., [а„, Ь„], ..., причем для любого номера и 1'(а„) <О, 1(Ь„) >О. Согласно следствию из теоремы 3.15 указанная стягивающаяся система сегментов имеет одну общую точку с, к которой сходятся каждая из последовательностей (ав) и (Ь„).

Докажем, что )(с) =О. ПосколькУ фУнкциЯ 1(х) непРеРывна в точке с, то каждаЯ из последоватепьностей 1(ав) и 1" (Ь„) сходится к 1(с), Но тогда из условий [(ав) <О и 1(Ь„) >О в силу теоремы 3.13 получим, что одновременно справедливы неравенства 1(с) <«О и [(с)) О, т. е. 1(с) =О. Утверждение доказано.

Предположим теперь, что в условиях доказанного выше утверждения сегмент [а, Ь] содержит только один корень с уравнения 1(х) =О*. Тогда за приближенное значение этого корня ал+ Ь„ можно взять точку " ", т. е. середину сегмента [ан, Ь„]. Ь вЂ” а Поскольку длина сегмента [а„, Ь„] равна, то число 2л а„+ Ь„ отличается от точного значения корня не более чем на Таким образом, описанный выше процесс последователь- 2 Ь вЂ” а 2а х=Р (х). (11.1) * Т. е, предположим, что корень с является изолированным ва сегменте (а, Ь). Этот метод называют методом последовательных приближенийй. ного деления сегментов — «вилок» пополам позволяет вычислить искомый корень с с любой наперед заданной степенью точности. Так как описанный процесс приводит к многократному повторению однотипных вычислительных операций, он особенно удобен для проведения вычислений на быстродействующих математических машинах.

2, Метод итераций"*. Излагаемый в этом пункте метод лежит в основе многих других приближенных методов. Этот метод применяется для решения уравнения 424 Гл. 11. Прггближенкые методы Введем понятие итерационной последовательности. Последовате гьность хе, хг, ..., х„... будем называть итерационнойй, если для любого а~1 элемент х„выражается через элемент х„г по рекуррентной формуле х„=Е(х„г), а в качестве хе взято любое число из области задания функции Г(х). Мы докажем, что при определенных условиях итерационная последовательность сходится к корню уравнения (11.1) и, значит, ее элементы могут быть взяты за приближенные значения этого корня.

Справедливо следующее. У т в е р ж д е н и е 1. Пусть функция Г(х) непрерывна на сегменте [а, б), и пусть все элементы итерационной последовательности хе, хг, ..., х„, ... лежат на этом сегменте. Тогда, если эта последовательность сходится к некоторому числу с, то указанное число с является корнем уравнения (11.1). Доказательство. Так как последовательность (х„) сходится к с и все ее элементы принадлежат сегменту [а, (г[, то и предел с принадлежит сегменту [а, Ь) (см.

следствие 2 из теоремы 3.13). По условию функция Е(х) непрерывна в точке с, и поэтому последовательность (Е(х„г)) сходится к Р(с). Таким образом, равенство х„=р(х„г) в пределе при и- о переходит в равенство с=Е(с), т. е. с является корнем уравнения (11.1). Доказанное утверждение будет существенно использовано нами в п.

3 для обоснования метода хорд и касательных. Докажем еще одно утверждение, часто используемое для приближенного вычисления корня уравнения (11.1) с помощью итерационной последовательности. Утверждение 2. Пусть с — корень уравнения (11.1), и пусть в некотором симметричном относительно точки с сегменте [с — е, слса) производная функции Е(х) удовлетворяет условию )Р'(х) ~ ~а<1. Тогда итерационная последовательность хе, хг, ..., ..., х„, ..., у которои в качестве хе взято любое число из сегмента [с — з, с+е), сходится к указанному корню с.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего докажем, что все элементы итерационной последовательности [х„) принадлежат указанному сегменту [с — е, с+е]. В самом деле, хе принадлежит этому сегменту по условию. Поэтому достаточно, предположив, что х„, принадлежит этому сегменту, доказать, что ему принадлежит и х„. Для этого применим формулу Лагранжа к разности Г(х г) — Г(с) и учтем, что Г(с) =с, х„=Г(х„г). Получим х„— с=у(х„г) — Г(с) =Г'(е) (х„,— с), (11.2) где 5 — некоторая точка, лежащая между х„г и с и, значит, принадлежащая сегменту [с — е, с+е).

Так как 1Г(р) ~ <а<1, то из равенства (11.2) получим |х„— с! <а1х„г — с!. (11.3) й 1. Приближенные методы вычисления корней уравнений 425 Из (11.3), поскольку 0<а<1, в свою очередь, получим ]х,— с[<]х„,— с[. (11.4) Неравенство (11.4) устанавливает, что каждый последующий элемент хв расположен к с ближе, чем предыдущий элемент х, и и, значит, так как х„~ принадлежит сегменту [с — и, с+и[ и так как этот сегмент симметричен относительно точки с, то и х„принадлежит этому сегменту. Остается доказать, что последовательность (х„) сходится к с. Поскольку неравенство (11.3) справедливо длл всех номеров и, то с помощью этого неравенства получим [х„— с[ <а" (хо — с[.

(1! .5) Ряс. 1К! Из последнего неравенства очевидно, что х„- с, ибо а" — -О. Утверждение 2 доказано. Сделаем практические замечания относительно только что до- казанного утверждения. Предположим, что путем предваритель- ной прикидки мы установили, что интересующий нас корень уравнения (11.1) изолирован на некотором сегменте [а, 6), на котором производная функции Р(х) удовлетворяет условию [Е'(х) [ <а<1. Так как сегмент (а, Ь), вообще говоря, не являет- гя.симметричным относительно искомого корня, то, естественно, возникает вопрос о том, как выбрать нулевое приближение хо, с тем, чтобы можно было применить доказанное выше утвержде- ние 2.

Заметим, что где бы внутри сегмента [а, Ь] ни находился ис- комый корень с, хотя бы один из двух симметричных относитель- но с сегментов [а, 2с — и], [2с — 6, 6] (рис. 11.1) целиком принад- лежит сегменту [а, 6]. Поэтому хотя с о „в бы одна из точек а или 6 принадле- а ' 6 жит симметричному относительно корня с сегменту, всюду на котором а гс-ь с ] Е" (х) [ .< а < 1. Значит, по крайней мере одну из точек а или Ь можно, согласно доказанному выше утверждению 2 выбрать за хо.

Конкретно за хо следует выбрать ту из двух точек а или 6, для которой приближение х~=с" (хо) не выходит за преде- лы сегмента [а, 6], На практике чаще всего встречается случай, когда производ- ная Г'(х) имеет на сегменте [а, 6] определенный знак. Если этот знак положителен, то из формулы (11.2) следует„ что последова- тельность ('х,) монотонна. Этот случай приводит к так называе- мой ступенчатой диаграмме, изображенной на рис.

11.2. Если же производная Г'(х) отрицательна на сегменте [а, Ь], то из той же формулы (11.2) видно, что любые два последовательных элемен- та х„~ и х„лежат по разные стороны от корня с. 42б Гл. ! ц Приближенные методы Рис. 11.2 Рнс. ! КЗ Этот случай приводит к так называемой спиралеобразной диаграмме, изображенной на рис. 1!.3. 3 а меч ание. Возникает вопрос об оценке погрешности метода итераций, т. е.

об оценке отклонения и-го приближения х. от точного значения корня с. Из формулы (11.5) непосредственно вытекает следующая оценка: (х„— с( ~ан ((> — а), где а — точная верхняя грань функции (Г'(х) ( на сегменте "(а, Ь), на котором изолирован рассматриваемый корень. Если производная Р'(х) отрицательна на сегменте 1а, 6), то, как указано выше, хи, н хн лежат по разные стороны от кор- ня с, и поэтому справедлива следующая оценка: (х„— с( ~1х„— х„|!.

Если же в рассматриваемом случае взять за приближенное зна- чение корня полусумму двух последовательных приближений хи+ х„, Хн 2 то получим следующую оценку погрешности: (хн с( ~( 2 3. Методы хорд н касательных. К числу широко распространенных приближенных методов решения уравнения 1(х) =О от-' носятся метод хорд и метод касательных, каждый из которых является одним из конкретных вариантов метода итераций. Прежде всего рассмотрим метод хорд. Пусть искомый корень уравнения й Н Приближенные методы вычисления корней уравнений 427 7(х) О (11.6) изолирован на некотором сегменте [а, Ь]. Предположим, что функция у=[(х) имеет на сегменте [а, Ь] монотонную и непрерывную производную, сохраняюсцую определенный знак.

При этом возможны четыре случая: 1'. ['(х) не убывает и положительна иа [а, Ь]; 2"'. ['(х) не возрастает и отрицательна на [а, Ь]; 3'. )'(х) не возрастает н положительна на [а, Ь]; 4', ['(х) не убывает и отрицательна на [а, Ь]. Ради определенности подробно рассмотрим случай 1'.

Рассмотрим вместо уравнения (11.6) уравнение вида х=Р(х), Р(х) =х — ( ) (Ь) — (х) (11.7) Легко видеть, что изолированные на сегменте [а, Ь] корни уравнений (11.6) и (11.7) совпадают, и поэтому на сегменте [а, Ь] эти уравнения эквивалентны. Для решения уравнения (11.7) прнменнм к этому уравнению метод итераций, выбрав за нулевое приближение хо точку а.

Характеристики

Список файлов книги