В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 81
Текст из файла (страница 81)
3 а меча нне 3. Если кривая Ь является графиком функции у=!(х), непрерывной и имеюи4ей на сегменте [а, Ь] непрерывную -402 Гл. 10. Геометрические приложения определенного интеграла ,лроизводную Г'(х), то кривая Е спрямляема и ее длина ~Е( может <быть найдена по формуле (Е(=~3' 1+[" (х) йх. а (10.14) Действительно, график рассматриваемой функции представляет 'собой кривую, определяемую параметрическими уравнениями х=1, у=С(с), а~1<5. Прн ЭТОМ ВСЕ уСЛОВИя тЕОрЕМЫ 10.1 ВЫПОЛНЕНЫ. Полагая в формуле (10.7) ср(1) =1, тр(1) =Г(с) и заменяя переменную интегрирования г на х, получим формулу (10.14). 3 а м е ч а н и е 4. Если кривая Е определяется так называемым полярным уравнением г=г(0), Ос(0(Ок и функция г(О) не.лрерывна и имеет на сегменте [Ос, Оа1 непрерывную производную, .то кривая Е спрямляема и ее длина определяется равенством (10.15) (10.16) Д о к а з а т е л ь с т в о аналогично доказательству теоремы 10.1.
3 а м е ч а н и е 6. Если функции срс'с), ф(1), 11[1) непрерывны и имеют ограниченные на сегменте [а, Гс1 первые производные, то кривая Е, определяемая уравнениями (!0.3), спрямляема. Если при этом производные указанных функций, интегрируемы на сегменте [а, (1), то длина Сс.! дуги кривой Ь может быть также вычислена по формуле (10.16) (см. замечания 1 и 2). 5. Дифференциал дуги. Пусть функции х=ср(1), у=ф(1) непрерывны и имеют на сегменте [а, Я непрерывные первые производные. В этом случае переменная длина дуги Ь(1), отвечаюпгая значениям параметра из сегмента [а, 1), как это следует Для доказательства надо воспользоваться формулами перехо,да от полярных координат к декартовым х=г(0)созО, у=г(0)з)пО. 'Таким образом, кривая Ь определяется параметрическими уравнениями ср=г(0) соз О, ф=г(О) з)п О, Ое-:[Ос, Ок), причем выполнены все условия теоремы 10.1. Простые вычисления приводят к формуле (10.15).
3 а м е ч а н и е 5. Если рассматривается пространственная параметризуемая кривая Е, заданная уравнениями х=ср(с), у=ф(1), г=Х(1), и функции ср(1), ф(С), т(1) непрерывны и' имеют непрерывные первьсе производные на [а, р1, то кривая спрямляема и длина !1.! ее дуги может быть найдена по формуле $ П длина дуги кривой нз теоремы 10.1, представляется в виде с Е(С)=) 1~ гр (т)+ ср ( ) с(т а (1О. 17)о Подынтегральная функция в правой части формулы (10.17) непрерывна, поэтому функция Ь(1) дифференцируема и справедливо равенство Е'(С) = )' гР' И)+р' (1) Возводя полученное равенство в квадрат и умножая на (с(1)о,.
будем иметь Ж(С) ЙР= ( р'(1) с(СР+ [Ф'(1) ЙР. (10.18) Поскольку 7.'(1)с1)=с(1., ф'(1)с11=с)х, ср'(1)с(с=с(у, из формулы (10.18) получаем ( )Е) и = ( (х) о+ ( (р) и. (10.19) Если рассматривается пространственная кривая, определяемая уравнениями (10.3), то при условии непрерывности функций ср(с), ср(с) и у(с) н их производных первого порядка на сегменте (а, с) для дифференциала Ж пути пространственной кривой справедлива формула (Н-) '= (с(х) '+ (с(у) '+ (с(з) ' (10.20 р 6. Примеры. 1) Найдем длину ~Е~ части дуги астроиды х= с асозо г, у=а з1п' 1, лежащей в первой четверти.
Этой части, как нетрудно видеть, соответствует изменение параметра 1 от 0 до н/2. В рассматриваемом случае ср'(с) = — Засозо1яп 1, ср'(г) = =За яп' с соз Е Поэтому по формуле (10.7) получим исг исо зо ~Е~ = ( )г'9аосов'са1па(+9аоз1поссозос й= — 1 а1п2(с(1= —. 2 д 2 о о )Ь! = ~)Г1+4аоходх. о Неопределенный интеграл Г= ) )гг1+ 4аоха с(х вычислим, следующим образом.
Сначала проинтегрируем его по частям, затем к числителю дроби, получившейся под знаком интеграла,. прибавим и вычтем единицу, произведем деление и проинтегриРуем одну из получившихся дробей. Получим 2) Вычислим длину )Ь! дуги параболы ук ахо, 0<х~1. Поскольку у'=2ах, по формуле (10.14) получим 404 Гл. 10. Геометрические приложении определенного интеграла 7= ') У1+4а'х'с(х=хУ1+4а'х' — ~ Яаехесьх ,) )г 1+ 4а'х' = х у1+ 4а'х' — ~ у1+ 4аехе с(х+ 1 ,) У1+4аехе = х у1 + 4а'х' — 7+ — 1п ~ 2ах + у1+ 4а'х' ~. 2а Нами получено уравнение относительно величины Е Решив его, находим, что ! = — — х у1 + 4а хе + — 1п|2ах + у1+ 4а хе ! + С.
2 4а Таким образом, 1 1Ц =- ) у1+ 4аехес(х = — у1+ 4а'+ — !и )2а+ у1+ 4ае(. 2 4а о 3) Найдем длину дуги логарифмической спирали г=аеьч от точки (срог ге) до точки (ср, г). По формуле (10.15) имеем, что Ф 'Р ( Е ) = ~ Уаеееье + аеЬеееье йр = а У 1 + Ье Г еьес(ср =- Фе \се = — У1+Ь'(еье. е ) а —, ь У1+Ье (с с 0). Ь Ь хе у' 4) Найдем переменную длину дуги э л л и п с а — + — = ах Ье с= 1, а)Ь, отсчитываемую от точки Ме(0, Ь), Рассмотрим параметрическое уравнение эллипса х=а з1п 1, у=Ь сов 1, 14= 10, 2л]. По формуле (10.17) получим с Е(1) =Ь) Уа'сов'т+Ь' в1п'т с(т=а ~ У1 — и' в1п'тс(т=аЕ(е, 1).
е (10. 21) тас — Ье Число е= называется эксцентр иситетом а эллипса. Первообразпая функции У1 — в'в1пе1, обращающаяся в нуль при 1=0, называется эллиптическим интегралом 2 го рода (см. 5 4 гл. 8). Этот интеграл обозначается символом Е(е, 1) и не выражается через элементарные функции. 4 2. Площадь плоской фигуры 405 $2. ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ В этом параграфе мы изучим вопрос об определении и о сушествовании плошади так называемой п л о с к о й ф и г у р ы, под которой мы фактически будем понимать произвольное ограниченное множество точек плоскости. Мы начнем наше рассмотрение с уточнения понятия такой фигуры и ее границы. 1.
Понятия границы множества и плоской фигуры. Рассмотрим множество всех точек плоскости и фиксируем одну из этих точек А. Договоримся называть в-окрестностью точки А множество тех точек плоскости, которые расположены внутри круга радиуса е с центром в точке А.
Пусть теперь (М) — какое угодно множество точек плоскости. Точку М множества (М) назовем внутренней точкой этого множества, если найдется е>0 такое, что е-окрестность точки М также принадлежит множеству (М). Точку М, не принадлежащую множеству (М), назовем вне шней точкой м ноже с тв а (М), если найдется е>0 такое, что е-окрестность точки М также не принадлежит множеству (М)'. Точку М назовем граничной точкой множества (М), если эта точка не является ни внутренней, ни внешней точкой этого множества*в.
Совокупность всех граничных точек множества (М) назовем г р а н и ц е й этого множества. 3 а меча н и е. Для простейших типов множеств (М), пред. ставляющих собой часть плоскости, ограниченную простым замкнутым контуром или несколькими такими контурами, введенное нами понятие границы множества укладывается в наглядное интуитивное представление о границе.
Для множеств произвольной природы граница в определенном нами сиысле может иметь весьма причудливый вид и не укладываться в интуитивное представление о граничном многообразии. Так, для множества (М) тех точек круга, абсцисса и ордината которых являются рациональными числами, границей в определенном нами смысле является весь указанный круг. ь Внешняя точка множества (М) является, очевидно, внутренней точкой дополнения этого множества.
ьь Заметим, что точка М является граничной точкой лнолсесгва (М) тогда и только тогда, когда для любого е>0 в е-окрестности гочки М содержатся как гочки, прииадлелсащие мноекесгву (М), гпк и гочки, ему ке принадлежащие. В самом деле, если бы в некоторой е-окрестности точки М не нашлось либо точек, принадлежащих множеству (М), либо точек, ему пе принадлежащих, то точка М оказалась бы либо внешней, либо внутренней точкой множества (М) и ие являлась бы гранячной точкой этого множества. 406 Гл. 1О. Геометрические приложения определенного интеграла Множество (М) точек плоскости будем называть о г р а н и ч е нньгм, если существует круг, содержащий все точки этого множества.
В дальнейшем мы будем рассматривать произвольное ограниченное множество Р точек плоскости и будем называть это множество ил ос кой фигу рой. Границу плоской фигуры Р будем обозначать символом дР. 2. Площадь плоской фигуры. Для введения понятия площади плоской фигуры будем отправляться от специального частного вида плоских фигур, так называемых м н о г о у г о л ь н ы х ф иг у р.
М ног оугол ь ной фигурой на плоскости мы назовем множество, составленное из конечного числа лежащих на этой плоскости ограниченных многоугольников. Из курса средней школы известно понятие площади многоугольной фигуры. В дальнейшем мы будем обозначать символом 14(Р) площадь многоугольной фигуры Р. Напомним, что площадь многоугольной фигуры является неотрицательным числом, обладающим следующими тремя свойствами: 1' (А д д и т и в н о с т ь).
Если Р, и Рз — две многоугольные фигуры без общих внутренних точек и символ Р1()Рз означает объединение этих фигур, то 1х (Р1()рз) =$Ф(Р!) +14(Р2). (10.22) 2' (И ива р и а нт ность). Если многоугольные фигурьс Р, и Рз равны между собой ь, то 1х(Р ) =14(Рз). (10.23) 3' (Монотонность). Если многоугольная фигура Р~ содержится~в многоугольной фигуре Рь то 14(Р1) <14(Рз). Заметим, что свойство монотонности является логическим следствием свойства аддитивности и свойства неотрицательности площади. В самом деле, если Р, содержится в Р, то Рт= =Р1()(рз',Р,)*", а потому в силу того, что Р, и Рз' Р| не содержат общих внутренних точек, и в силу свойства аддитивности р(Р,) =1х(Р1)+1х(Рз',Р,). Остается заметить, что р(Рз Р,))0.
3 а м еч а н и е. Полезно подчеркнуть, что площадь многоугольной фигуры естественно считать равной одному и тому же числу независимо от того, с границей илн без границы рассматривается эта многоугольная фигура. При рассмотрении разности двух многоугольных фигур Рз',Р, можно договориться считать ' Напомним, что две фигуры Г, и Гз называются р а в ными, если супгествует взаимно однозначное соответствие с сохранением расстояния между точками, при котором фигура Гг отображается на гз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
