Главная » Просмотр файлов » В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF)

В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 81

Файл №1108882 В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF)) 81 страницаВ.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882) страница 812019-04-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 81)

3 а меча нне 3. Если кривая Ь является графиком функции у=!(х), непрерывной и имеюи4ей на сегменте [а, Ь] непрерывную -402 Гл. 10. Геометрические приложения определенного интеграла ,лроизводную Г'(х), то кривая Е спрямляема и ее длина ~Е( может <быть найдена по формуле (Е(=~3' 1+[" (х) йх. а (10.14) Действительно, график рассматриваемой функции представляет 'собой кривую, определяемую параметрическими уравнениями х=1, у=С(с), а~1<5. Прн ЭТОМ ВСЕ уСЛОВИя тЕОрЕМЫ 10.1 ВЫПОЛНЕНЫ. Полагая в формуле (10.7) ср(1) =1, тр(1) =Г(с) и заменяя переменную интегрирования г на х, получим формулу (10.14). 3 а м е ч а н и е 4. Если кривая Е определяется так называемым полярным уравнением г=г(0), Ос(0(Ок и функция г(О) не.лрерывна и имеет на сегменте [Ос, Оа1 непрерывную производную, .то кривая Е спрямляема и ее длина определяется равенством (10.15) (10.16) Д о к а з а т е л ь с т в о аналогично доказательству теоремы 10.1.

3 а м е ч а н и е 6. Если функции срс'с), ф(1), 11[1) непрерывны и имеют ограниченные на сегменте [а, Гс1 первые производные, то кривая Е, определяемая уравнениями (!0.3), спрямляема. Если при этом производные указанных функций, интегрируемы на сегменте [а, (1), то длина Сс.! дуги кривой Ь может быть также вычислена по формуле (10.16) (см. замечания 1 и 2). 5. Дифференциал дуги. Пусть функции х=ср(1), у=ф(1) непрерывны и имеют на сегменте [а, Я непрерывные первые производные. В этом случае переменная длина дуги Ь(1), отвечаюпгая значениям параметра из сегмента [а, 1), как это следует Для доказательства надо воспользоваться формулами перехо,да от полярных координат к декартовым х=г(0)созО, у=г(0)з)пО. 'Таким образом, кривая Ь определяется параметрическими уравнениями ср=г(0) соз О, ф=г(О) з)п О, Ое-:[Ос, Ок), причем выполнены все условия теоремы 10.1. Простые вычисления приводят к формуле (10.15).

3 а м е ч а н и е 5. Если рассматривается пространственная параметризуемая кривая Е, заданная уравнениями х=ср(с), у=ф(1), г=Х(1), и функции ср(1), ф(С), т(1) непрерывны и' имеют непрерывные первьсе производные на [а, р1, то кривая спрямляема и длина !1.! ее дуги может быть найдена по формуле $ П длина дуги кривой нз теоремы 10.1, представляется в виде с Е(С)=) 1~ гр (т)+ ср ( ) с(т а (1О. 17)о Подынтегральная функция в правой части формулы (10.17) непрерывна, поэтому функция Ь(1) дифференцируема и справедливо равенство Е'(С) = )' гР' И)+р' (1) Возводя полученное равенство в квадрат и умножая на (с(1)о,.

будем иметь Ж(С) ЙР= ( р'(1) с(СР+ [Ф'(1) ЙР. (10.18) Поскольку 7.'(1)с1)=с(1., ф'(1)с11=с)х, ср'(1)с(с=с(у, из формулы (10.18) получаем ( )Е) и = ( (х) о+ ( (р) и. (10.19) Если рассматривается пространственная кривая, определяемая уравнениями (10.3), то при условии непрерывности функций ср(с), ср(с) и у(с) н их производных первого порядка на сегменте (а, с) для дифференциала Ж пути пространственной кривой справедлива формула (Н-) '= (с(х) '+ (с(у) '+ (с(з) ' (10.20 р 6. Примеры. 1) Найдем длину ~Е~ части дуги астроиды х= с асозо г, у=а з1п' 1, лежащей в первой четверти.

Этой части, как нетрудно видеть, соответствует изменение параметра 1 от 0 до н/2. В рассматриваемом случае ср'(с) = — Засозо1яп 1, ср'(г) = =За яп' с соз Е Поэтому по формуле (10.7) получим исг исо зо ~Е~ = ( )г'9аосов'са1па(+9аоз1поссозос й= — 1 а1п2(с(1= —. 2 д 2 о о )Ь! = ~)Г1+4аоходх. о Неопределенный интеграл Г= ) )гг1+ 4аоха с(х вычислим, следующим образом.

Сначала проинтегрируем его по частям, затем к числителю дроби, получившейся под знаком интеграла,. прибавим и вычтем единицу, произведем деление и проинтегриРуем одну из получившихся дробей. Получим 2) Вычислим длину )Ь! дуги параболы ук ахо, 0<х~1. Поскольку у'=2ах, по формуле (10.14) получим 404 Гл. 10. Геометрические приложении определенного интеграла 7= ') У1+4а'х'с(х=хУ1+4а'х' — ~ Яаехесьх ,) )г 1+ 4а'х' = х у1+ 4а'х' — ~ у1+ 4аехе с(х+ 1 ,) У1+4аехе = х у1 + 4а'х' — 7+ — 1п ~ 2ах + у1+ 4а'х' ~. 2а Нами получено уравнение относительно величины Е Решив его, находим, что ! = — — х у1 + 4а хе + — 1п|2ах + у1+ 4а хе ! + С.

2 4а Таким образом, 1 1Ц =- ) у1+ 4аехес(х = — у1+ 4а'+ — !и )2а+ у1+ 4ае(. 2 4а о 3) Найдем длину дуги логарифмической спирали г=аеьч от точки (срог ге) до точки (ср, г). По формуле (10.15) имеем, что Ф 'Р ( Е ) = ~ Уаеееье + аеЬеееье йр = а У 1 + Ье Г еьес(ср =- Фе \се = — У1+Ь'(еье. е ) а —, ь У1+Ье (с с 0). Ь Ь хе у' 4) Найдем переменную длину дуги э л л и п с а — + — = ах Ье с= 1, а)Ь, отсчитываемую от точки Ме(0, Ь), Рассмотрим параметрическое уравнение эллипса х=а з1п 1, у=Ь сов 1, 14= 10, 2л]. По формуле (10.17) получим с Е(1) =Ь) Уа'сов'т+Ь' в1п'т с(т=а ~ У1 — и' в1п'тс(т=аЕ(е, 1).

е (10. 21) тас — Ье Число е= называется эксцентр иситетом а эллипса. Первообразпая функции У1 — в'в1пе1, обращающаяся в нуль при 1=0, называется эллиптическим интегралом 2 го рода (см. 5 4 гл. 8). Этот интеграл обозначается символом Е(е, 1) и не выражается через элементарные функции. 4 2. Площадь плоской фигуры 405 $2. ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ В этом параграфе мы изучим вопрос об определении и о сушествовании плошади так называемой п л о с к о й ф и г у р ы, под которой мы фактически будем понимать произвольное ограниченное множество точек плоскости. Мы начнем наше рассмотрение с уточнения понятия такой фигуры и ее границы. 1.

Понятия границы множества и плоской фигуры. Рассмотрим множество всех точек плоскости и фиксируем одну из этих точек А. Договоримся называть в-окрестностью точки А множество тех точек плоскости, которые расположены внутри круга радиуса е с центром в точке А.

Пусть теперь (М) — какое угодно множество точек плоскости. Точку М множества (М) назовем внутренней точкой этого множества, если найдется е>0 такое, что е-окрестность точки М также принадлежит множеству (М). Точку М, не принадлежащую множеству (М), назовем вне шней точкой м ноже с тв а (М), если найдется е>0 такое, что е-окрестность точки М также не принадлежит множеству (М)'. Точку М назовем граничной точкой множества (М), если эта точка не является ни внутренней, ни внешней точкой этого множества*в.

Совокупность всех граничных точек множества (М) назовем г р а н и ц е й этого множества. 3 а меча н и е. Для простейших типов множеств (М), пред. ставляющих собой часть плоскости, ограниченную простым замкнутым контуром или несколькими такими контурами, введенное нами понятие границы множества укладывается в наглядное интуитивное представление о границе.

Для множеств произвольной природы граница в определенном нами сиысле может иметь весьма причудливый вид и не укладываться в интуитивное представление о граничном многообразии. Так, для множества (М) тех точек круга, абсцисса и ордината которых являются рациональными числами, границей в определенном нами смысле является весь указанный круг. ь Внешняя точка множества (М) является, очевидно, внутренней точкой дополнения этого множества.

ьь Заметим, что точка М является граничной точкой лнолсесгва (М) тогда и только тогда, когда для любого е>0 в е-окрестности гочки М содержатся как гочки, прииадлелсащие мноекесгву (М), гпк и гочки, ему ке принадлежащие. В самом деле, если бы в некоторой е-окрестности точки М не нашлось либо точек, принадлежащих множеству (М), либо точек, ему пе принадлежащих, то точка М оказалась бы либо внешней, либо внутренней точкой множества (М) и ие являлась бы гранячной точкой этого множества. 406 Гл. 1О. Геометрические приложения определенного интеграла Множество (М) точек плоскости будем называть о г р а н и ч е нньгм, если существует круг, содержащий все точки этого множества.

В дальнейшем мы будем рассматривать произвольное ограниченное множество Р точек плоскости и будем называть это множество ил ос кой фигу рой. Границу плоской фигуры Р будем обозначать символом дР. 2. Площадь плоской фигуры. Для введения понятия площади плоской фигуры будем отправляться от специального частного вида плоских фигур, так называемых м н о г о у г о л ь н ы х ф иг у р.

М ног оугол ь ной фигурой на плоскости мы назовем множество, составленное из конечного числа лежащих на этой плоскости ограниченных многоугольников. Из курса средней школы известно понятие площади многоугольной фигуры. В дальнейшем мы будем обозначать символом 14(Р) площадь многоугольной фигуры Р. Напомним, что площадь многоугольной фигуры является неотрицательным числом, обладающим следующими тремя свойствами: 1' (А д д и т и в н о с т ь).

Если Р, и Рз — две многоугольные фигуры без общих внутренних точек и символ Р1()Рз означает объединение этих фигур, то 1х (Р1()рз) =$Ф(Р!) +14(Р2). (10.22) 2' (И ива р и а нт ность). Если многоугольные фигурьс Р, и Рз равны между собой ь, то 1х(Р ) =14(Рз). (10.23) 3' (Монотонность). Если многоугольная фигура Р~ содержится~в многоугольной фигуре Рь то 14(Р1) <14(Рз). Заметим, что свойство монотонности является логическим следствием свойства аддитивности и свойства неотрицательности площади. В самом деле, если Р, содержится в Р, то Рт= =Р1()(рз',Р,)*", а потому в силу того, что Р, и Рз' Р| не содержат общих внутренних точек, и в силу свойства аддитивности р(Р,) =1х(Р1)+1х(Рз',Р,). Остается заметить, что р(Рз Р,))0.

3 а м еч а н и е. Полезно подчеркнуть, что площадь многоугольной фигуры естественно считать равной одному и тому же числу независимо от того, с границей илн без границы рассматривается эта многоугольная фигура. При рассмотрении разности двух многоугольных фигур Рз',Р, можно договориться считать ' Напомним, что две фигуры Г, и Гз называются р а в ными, если супгествует взаимно однозначное соответствие с сохранением расстояния между точками, при котором фигура Гг отображается на гз.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
24,86 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6540
Авторов
на СтудИзбе
300
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее