В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Рассмотрим примеры разбиений некоторых из указанных выше множеств (1), 1) Система сегментов [О, 1/2], [1/2, 1], очевидно, разбивает сегмент [О, 1]. а 1. длина дуги кривой зэз 2) Система сегментов )п — 1, и), где и =1, 2, .„, разбивает полу. прямую (О, оо). 3) Система сегментов [и — 1, и), где и — любое целое число, очевидно, разбивает всю числовую прямую, Пусть множество (1) представляет собой одно из указанных выше множеств, а функции гр(1) и ф(() непрерывны на этом множестве.
Введем понятие параметризуемой кривой. О п р е д е л е и н е. Будем говорить, что уравнения =гр(() у=ф(1) (10.2) задают и а ром е т р из у ем ую кривую 1., если существует такая система сегментов ((1г г, Ц), разбивающих множество (1), что для значений 1 из каждого сегмента этой системы уравнения (10.2) определяют простую кривую. Между точками кривой Ь можно ввести некоторое отношение порядка. Пусть точка М, соответствует значению параметра гг, а точка Мв —. значению 1в. Мы скажем, что точка М, предшествует точке Мв (и запишем Мг(Мв) если 1«гг Заметим, что точки, отвечающие различным значениям параметра, всегда считаются различнылги, Таким образом, параметризуемую кривую можно рассматривать как объединение простых кривых, причем эти простые кривые последовательно пробегаются точкой М, координаты которой определяются уравнениями (10.2), когда параметр й монотонно возрастая, пробегает множество (1).
3 а м е ч а н и е 1. Простую кривую модно рассматривать как частный случай параметризуемой кривой. В этом случае система сегментов, разбивающих сегмент (а, )1), состоит из одного сегмента, а именно из самого сегмента (а, Я. 3 а м е ч а н и е 2, Про параметризуемую кривую, определяемую уравнениями (10.2), говорят также, что эта кривая пар аметризов ана и р и помощи уравнений (102). Заметим, что одна и та же кривая Е может быть параметризована различными способами. Мы будем рассматривать всевозможные параметризации кривой Е, получающиеся из любой данной параметризации путем представления параметра 1 в виде непрерывных, строго возрастающих функций другого параметра з. Только при таких преобразованиях параметра сохраняется порядок следования точек на кривой Б.
3 а м е ч а н и е 3. Понятие пространственной кривой вводится в полной аналогии с понятием плоской кривой. Так же, как и для плоской простой кривой, пространственная простая к р и в а я — это множество (М) точек пространства, координата х, у, г которьгх определюотся уравнениями х=гр(1), у=ф(1), г=т(1), а<Е<р, (10.3) 394 Гл. 10. Геометрические приложения определенного интеграла при условии непрерогвноети функций ~р(1), ~Р(1), 4(1) на сегменте !а, р) и при условии несовпадения точек множества (М), отвечающих различным значениям параметра 1. Используя понятие простой пространственной кривой и понятие разбиения множества (1) изменения параметра, так же как и в плоском случае, дается определение п а р а м е т р и з у е м о й пространственной кривой (задаваемой уравнениями (!0.3)).
Приведем примеры параметризуемых кривых. !) Пусть плоская кривая» задается уравнениями х=соз 1, у=з!и 1, 0<1<За. Очевидно, сегмент [О, Зп1 можно разбить на сегменты (О, и), !и, 2п!, (2п, Зп) такие, что для значений 1 из каждого указанного сегмента выписанные уравнения определяют простую кривую, а именно полуокружносто. В данном случае кривая Ь представляет собой окружность, у которой полуокружность, лежащая в верхней полуплоскости, проходится дважды. 2) Уравнения х=соз1, у=з(п1, я=1, — со<1<оп, задают простую пространственную кривую, называемую винтовой линией.
3. Длина дуги кривой. Понятие спрямляемой кривой. В этом пункте мы введем понятие д л и н ы д у г н параметризуемой кри вой н рассмотрим некоторые свойства кривых, имеющих длину дуги (такие кривые принято называть с и р я м л я е м ы м и). Условимся называть и р я м о й линию, определяемую парамет. рнческими уравнениями х=а1+6, у=с1+й.
Всегда можно выбрать так постоянные а, б, с н й, чтобы прямая проходила через две данные точки Мг(х» уг) и Ма(х» уа). Участок прямой между точками М, и М, называется от р е з к о м, соединяющим эти точки, а совокупность конечного числа примыкающих друг к другу отрезков называется л о м а н о й. Пусть плоская кривая 1.
параметризуется уравнениями =р(1) у=р(1) ! '(а, )!). Пусть, далее, Т вЂ” произвольное разбиение сегмента (а, р) точками со=1о<1а<1а« ... 1 =ро. Обозначим через Мо, М» ..., М„соответствующие точки кривой Ь, т. е. точки с координатами Мо(%(1о) тР(1о)), Мг(грг(1г), чР(1о)), Мя(тр(1я), оР(1а)),-. Мн(р(1н),ф(1„) ). Возникающую при этом ломаную 1(14) =МоМ,Ма...М„будем на- ' В гл. 9 разбиение сегмента мы обозначали символом(го). й 1.
Длина дуги кривой 395 зывать ломаной, вписанной в кривую Е и отвечающей разбиению Т сегмента [а, р]. Длина !1г! звена 1г=М! !М! этой „томаной есть расстояние между точками М! !(!Р(1! !), !Р(1! !)) н Мю(гр(й) !Р(1!) ) Поэтому )1г! = ]' [гр(1г) — !Р(1! — !)]в+ [Ф(1!) — ф(1г-!)]я н длина !1! всей ломаной 1=МоМ!Мв,. М„будет равна н н [1! =Я !1г! =',) ]' [!Р(1!) — гр(1г-!)]'+ [Ф(1!) — !Р(1г — гН'. Е ! Введем понятие спрямляемой кривой. Определен ие. Кривая Ь называется опрямляемой, если множество (!1!) длин вписанных в кривую Еломаных1=1(1!), отвечающих всевозложньгм разбиениям Т сегмента [а, и, ограничено. При этол точная верхняя грань множества (!1!) называется дл и но й дуги кривой Ь и обозначается символом !Е!.
Из сформулированного определения нетрудно заключить, что длина [Ь! дуги Ь кривой всегда положительна. 3 а м еч а н не 1. Существуют неспрямляе.чьге кривые. Пример неспрямляемой кривой можно найти в книге В. А. Ильина и Э. Г. Позняка «Основы математического ана)!иза», 1 (М., 1982, с. 382 — 386). Докажем следующее вспомогательное утверждение. Лемма. Пусть !1о! — длина ломаной, вписанной в кривую Ь и отвечающей разбиению То сегмента [и, 8], а ! 1!! — длина ломаной, вписанной в кривую Е и отвечающей разбиению Ть полученному из разбиения То посредством добавления одной или нескольких новых то ч ек.
Тогда ! 1» ! ( ! 1! [. Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно рассмотреть случай, когда к разбиению Т„добавляется одна точка у. В этом случае ломаная, отвечающая разбиению То, отличается от ломаной, отвечающей разбиению Ть только тем, что одно звено МьМд+, ломаной, отвечающей разбиению Т,,'замеияется двумя звеньями МдУ и УМ„+!* ломаной, отвечающей разбиению Т, (все остальные звенья у ломаных, отвечающих разбиениям Т, и Т!, являются общими)'. Так как длина одной стороны треугольника МьМь«гУ не превосходит суммы длин двух других его сторон, то !МьМд+! ! (! < [МьУ!.+!УМь+г[, а это и означает, что !1о!~ [1!!.
Лемма доказана. Приведем некоторые свойства спрямляемых кривых: 1'. Если кривая А спрямляема, то длина !Е! ее дуги не заг висит от параметризаиии этой кривой. Д е н с т в и т е л ь н о, пусть имеются две параметризации кривой Е, а 1 и з — параметры этих параметризаций, определенные соответственно на сегментах [а, р] и [а, о]. Так как 1 представбйг г г гг г фгю м ,~„„.,.. . « 396 Гл. !О. Геометрические приложении определенного интеграла з — строго монотонную и непрерывную функцию от 1, то каждому разбиению Т сегмента [а, (1] соответствует определенное разбиение Р сегмента [а, Ь] и наоборот.
Очевидно, что вписанные в Е ломаные, отвечающие соответствующим разбиениям сегментов [и, р] и [а, Ь], тождественны, и поэтому их длины равны. Но тогда и точные верхние грани двух тождественных числовых множеств равны, т. е. равны длины кривой Е при двух различных параметризациях. 2'. Если спрямляемая кривая Е разбита при помощи конечного числа точек Ме, Мь ...,М„ на конечное число кривых Еь причем точки Ме, Мь ...,М„ соответствуют значениям 1а, 1ь ..., 1„ параметра 1 и а=1а<11< ... <1„=р, то каждая из кривых Ег спрямляема и сулема длин !Е;! всех кривых Е; равна длине !Е! кривой Е. Очевидно, это свойство достаточно доказать для случая, когда кривая Е разбита точкой С на две кривые Е, и Ег.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
