В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 77

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 77)

.юший вид. Если 11(х) !<с(Ь вЂ” х) ь, где Х<1, то несобственный интеграл (9.1.15) сходится. Если же 1(х))с(Ь вЂ” х) ", где с)0 и 1~1, то ..несобственный интеграл (9.1.15) расходится. Доказательство вытекает из общего признака сравнения и примера, рассмотренного выше. В полной аналогии с п.

4 предыдушего параграфа для несоб»ственных интегралов второго рода формулируются п р а в и л а интегрирования путем замены переменной и инчегрирования по частям. р 3. Главное значение несобственного интеграла Определение. 1лусть функция 1(х) определена на прямой — оо<х<+оо и интегрируема на каждом сегменте, принадлежалцем этой прямой. Будем говорить, что функция 1(х) интегрируема по Коши, если существует предел 1пп 11(х)йх. А-++ а л Этот предел мы будем называть главным значением .несобственного интеграла от функции 1(х) (в смысле Коши) и обозначать силгволом * * Н.

р, — начальные буквы французских слов еНа!енг рппс1ра1», обозначаюоцих «главное значение», Подчеркнем, что, в отличие от нонятия несобственного 38Э Дополнение к 5 3 )7. р. ( ~(х) сХх = Ищ ~ ~(х) йх. л-о+ Ф Пр и мер 1. Найдем главное значение интеграла от функпиги х. Поскольку в силу нечетности х, А + ~ ) х дх = — О, то Ъ'. р.

~ х ах = О, — л Ф +о Точно так же заключаем, что Ч.р. ) а)пхйх=О. о Справедливо следующее Утвер жде н ие. Луста функция 1(х) интегрируема на каждом сегменте прямой — о <х<+оо. Если эта функция 1(х) нечегна, то она интегрируема по Коши и главное значение интеграла от нее равняется нулю. Если функция 1(х) четна, то она интегрируема по Коши тогда; и только тогда, когда сходится несобственный интеграл +о ) 1(х)йх. о (9.1.17) Первая часть этого утверждения является очевидной.

Для доказательства второй части достаточно воспользоваться равенством л А 1 )(х)йх=2) 7(х)йх, справедливым для любой четной функ. л о пни, и определением сходимости несобственного интеграла. (9.1.17). Понятие интегрируемости по Коши можно ввести и для несобственных интегралов второго рода в случае, когда особая точка является внутренней точкой сегмента, по которому производится интегрирование. Определение. Пусть функция 11х) определена на сег. менте 1а, 61, кроме, быть может, точки с, а<с<у, и ингегрируе-.

ма на любом сегменте, принадлежащем либо,[а, с), либо (с„д1. Будем говорить, что функция 11х) интегрируема по Коши, если существует предел интеграла ) 7(х) ох, определяемого как предел 1нп 1 7(х)ох при Л'-о — с, л"-о+а ', Ф нева в испи о м стремлении А' к — оо, А" к +со, интеграл по Коши определяется как предел при А-о+со интеграла в симметричных пределах.

А ) Р(х)с)х. Гл. 9. Определенный интеграл Римана 1нп ( ] Г(х)йх+ ] Г(х)йх) = 7.р. ] )(х)йх, а) О, а с+а а называемый гла внььм значением интеграла в смысле Коши. П р и м е р 2, Функция 1/(х — с) не интегрируема на сегменте [а, Ь], а<с<Ь, в несобственном смысле, однако она интегрируема по Коши. При этом ь с — а ь 'тг.р. ) ~ = Вт (~ ~ + ) ~ )=-1п ~ ДОПОЛНЕНИЕ 2 Интеграл Стилтьеса * Понятие интеграла Стнлтьеса является непосредственным обобщением понятия интеграла Римана, построению которого была посвящена гл. 9. В настоящем дополнении мы приведем основные сведения об интеграле Стнлтьеса. 1. Определение интеграла Стнлтьеса н условия его существования. Понятие интеграла Стилтьеса реализует идею интегрирования функции 1(х) относительно другой функции и(х). Пусть функции 1(х) и и(х) определены и ограничены на сегменте [а, Ь] и (хь) — разбиение этого сегмента *а: а=хс<х1«...х; ~<х,<...<хс=Ь.

Сумму вида о=[(й,) [и(х,) — и(х,)]+...+Цйг) [и(хг) — и(хс г)]+... (9.2,1) ...+[(9„),[и(х,) — и(х„~) ], где х, 1<$с(хн 1=1, 2,...,п, называют интегральной суммой С т ил тьес а. Число 1 называют пределом интегральных сумм (9.2.1) при гпах Лхс-с-О, если для любого е)0 найдется 6)0 такое, гадски что при щах ах, < 6 справедливо неравенство 1о — 1~ <е. жса Определение. Функция 1(х) называется интегри- руемойй по функ ц ии и(х) на сегменте [а, Ь], если су- ществует конечньш" предел интегральных сумм (9.2.1) при птах ьтхг-с.О.

Указанный предел называется интегралом 3Сы.л с Т. Стилтьес -- голландский математик (1856 — 1894). '* Мы предполагаем, что а<Ь. Случай а)Ь сводится к рассматриваемому. Дополнение 2 Сгилтьеса (или интегралом Римана — Стилтьеса) от функции [(х) ао функции и(х) на сегменте [а, Ь) и обозначается символом ь 1 = ~ ) (х) йи (х). (9.2.2) О срункцию и(х) иногда называют и н т е г р и р у ю щ е й функцией. Т. Стилтьес пришел к идее такого интеграла, рассматривая положительное «распределение масс» на прямой, заданное возрастающей функцией и(х), точки разрыва которой соответствуют массам, «сконцентрированным в одной точке». Интеграл Римана представляет собой частный случай интеграла Стилтьеса, когда в качестве интегрирующей функции взята функция х+с, где с=соней Укажем ряд условий с у щ е с т в о в а н и я интеграла Стилтьеса (т, с, условий, когда функция )(х) интегрируема по функции и(х)).

Предположим, что интегрирующая функция и(х) является в о з р а с т а ю щ е й. Отсюда следует, что, поскольку а= хо<х,«...х„1<х;«...х„=Ь, все Ли(х,) =и(х;) — и(хк,))0. Это позволяет, заменяя Лх; на Ли(х;), повторить почти все построения, проводимые для интеграла Римана. Аналогично суммам Дарбу для обычного интеграла Римана вводятся верхняя и нижняя суммы Дарбу — Стилтьеса 5=~'М,[и(х) — и(х, 1)], з=~' т,[и(х) — и(х~ 1)), (92.3) К=1 1=-1 где М; и т; — точные верхняя и нижняя грани функции )(х) на сегменте,[хиь х~).

Суммьч (9.2,3) называются соответственно в е р х н е й и н и ж н е й суммами Дарбу — Стилтьеса. Как и в случае сумм Дарбу (т. е. в простейшем случае и(х) =х+с, с=соне() при одном и том же разбиении выполнены неравенства з <о~5, причем з и 5 служат точными гранями для стилтьесовых сумм о, отвечающих всевозможным выборам промежуточных точек в; на частичных сегментах. Суммы Дарбу — Стилтьеса обладают (как и в простейшем случае) свойствами: а) если к имеющимся точкам разбиения добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу — Стилтьеса может от етого лишь возрасти, а верхняя сумма — лишь уменьшиться; б) каждая нижняя сумма Дарбу — Стилтьеса не нревосходит любой верхней суммы, отвечающей тому же или другому разбиению сегмента [а, Ь|.

1З знн. м Гл. 9. Определенный интеграл Римана Аналогично тому, как это сделано при построении интеграла Римана, вводятся верхний и нижний интегралы Дарбу— Стилтьеса: 1*=1пЩ, 1.=зпр(з), где нижняя и верхняя грани берутся по всевозможным разбие- ниям сегмента [а, Ь). Легко проверить, что справедливы соотношения з <1,<1' <Б. Точно так же, как и в случае обычного интеграла Римана, в случае интеграла Стилтьеса доказывается, что верхний интеграл Дарбу — Стилтьеса является пределом верхних сумм 8 при стремлении диаметра разбиений к нулю. Аналогично ниж- ний интеграл Дарбу — Стилтьеса есть предел нижних сумм з (см. п.

2, $ 2, основную лемму Дарбу). Сформулируем теперь теорему, которая является обобще- нием основной теоремы и. 1 $3 и справедлива в случае интег- рала Римана — Стилтьеса. Основ н а я теорема. Для того чтобы ограниченная на сегменте [а, Ь| (а<Ь) функция 1(х) была интегрируемой на этом сегменте по возрастающей функции и(х), необходимо и достаточно, чтобы для,любого е>0 нашлось такое разбиение (ха) сегмента [а, Ь|, для которого 5 — з<е.

Доказательство этой теоремы (как, впрочем, и других упо- мянутых выше фактов и свойств) является дословным повто- рением рассуждений, проведенных для интеграла Римана. Укажем теперь некоторые классы интегрируемых по Рима- ну — Стилтьесу функций. 1. Если функция 1(х) непрерывна, и и(х) возрастает на сег- менте [а, Ь), то интеграл Стилтьеса ~1(х)ди(х) существует. а Доказательство этого факта полностью аналогично доказа- тельству теоремы 9.1 (см. п. 2 $3). 3 а м е ч а н и е. Указанный выше факт справедлив и в том случае, когда функция и(х) является функцией ограни- ченной в ар нации*, Так называются функции и(х), опре- деленные на сегменте [а, Ь1, а<Ь и обладающие тем свойством„ что для любого разбиения ха = а < х! < ха « ... х! <хг+ ! « ., х, = Ь и — ! числовое множество У[(ха)1 = 1 ~ и (хьь!) — и (х,) [ ограничег=! но сверху.

* Или ограниченного изменения. за Дополнение 2 Точная верхняя грань множества ()!ЦхьЦ) называется полным изменением или полной. вариацией функь ции и(х) на сегменте [а, Ь| и обозначается символом $ти(х) = а = знр ()т((х„))) Лля функций ограниченной вариации справедлив следующий о с н о в н ой к р и т е р и й: Для того чтобы функция и(х) имела на сегменте (а, Ь) ограниченную вариацию, необходимо и достаточно, чтобы он!а представлялась на этом сегменте в виде разности двух возрастающих и ограниченных Функций: и(х) =у(х) — й(х). Таким образом, в случае, когда и(х) — функция ограниченной вариации, сумму Стилтьеса, отвечающую функции и(х), можно записать в виде а= ~~) Г(5!) Ли(х!) = Я ) Я!) Лд(х!) — ~ ~(Г!) ЬЬ(х,) = а,— о, 1=! к=! !=! где Ли(х!) =и(х!) — и(х!,), ау(х!) =д(х!) — у(х! !), !ьй(х!) = =И(х!) — Ь(х! !). Суммы о! и ое стремятся к конечным пределам при стремлении диаметра разбиений к нулю, так как у(х) и й(х) — возрастающие функции.

Поэтому существует конечный предел и сумм а при стремлении диаметра разбиений к нулю. Следовательно, теорию интеграла Стилтьеса можно строить и в случае, когда интегрирующая функция и(х) имеет ограниченную вариацию, вполне аналогично случаю возрастающей функции и(х). Выделим еще один класс функций, для которых существует интеграл Стилтьеса.

Характеристики

Список файлов книги