В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 72
Текст из файла (страница 72)
б) )(х)йх) ~~~(х)йх > "— йх=- й (й — ) = «> О. г р 3 2 2 а г с Следовательно, ) 1(х) йх Ъ ««> О. а г) Если функция ((х) интегрируема по Риману на сегменте (а, Ь), то функция [1(х) ~ интегрируема на этом сегменте и ь ь ~ ~ ~ (х) дх ~ ~( ~ Ц (х) (йх. е а Рассмотрим функцию «р(«) = («~. Согласно теореме 9.4 из интегрируемости ((х) следует интегрируемость «р(((х)) =(1(х) ~ (так как функция «р(«) = (« ~ на любом сегменте удовлетворяет условию Липшица"). Выберем теперь число а=+.1 так, чтобы ««) )(х)йх) а ъО. Очевидно, что а((х)(~а((х) ~=(1(х) !.
Тогда в силу свойства б) ь ь ь ~ ) ( (х) йх ~ = а ) ( (х) йх = ') а) (х) йх < ) () (х) (йх, что и требовалось. д) Первая формула среднего значения. Пусть каждая из функций Я(х) и я(х) интегрируема на сегменте (а, Ь) и функция д(х),. кроме того, неотрицательна (или неположительна) на этом сегменте. Обозначим через М и пт точные грани )(х) на сегменте "(а, Ь]* . Тогда найдется число р, удовлетворяющее неравенствам гп((«М и такое, что справедлива следующая формула: ь ь ) 1 (х) д (х) йх = р ) и (х) йх. (е)« При дополнительном предположении о непрерывное~и ((х) на сег- " Функция «р(() = («(, очевидно, удовлетворяет условию Липшица на любом сегменте, ибо /«р(ьд — «рЩ ( = ~()«( — ((«((~((« — и', *' Интегрируемая на (а, Ь) функция ограничена на (н, Ь), и потому у нее существуют на (а, Ь) точные грани. 352 Гл.
9. Определенный интеграл Римана иенге [а, Ь[ можно утверждать, что на этом сегменте найдется точка и такая, что справедлива формула ь ь ~ [(х) д(х) йх= ~($) ~ сг(х) дх. (ее) млн, что то же самое (в силу свойства б) из п. 1), ь ь ь т ~й(х) дх < 11(х)д(х)дх< М ) д(х)дх. 6 а а (еееа) ь и Могутпредставиться дваслучая:1) ) д(х) дх=О и 2) ~ д(х)дх >О. а И В первом случае нз неравенств (ееьь) вытекает, что ь ~[(х)д(х)дх=О, и потому формула (*) справедлива при любом р. а Во втором случае, поделив неравенства (ее ее) на ь ) к(х)йх, мы получим, что Формулу (ее) принято называть первой формулой среди его з н а ч е н и я.
Формулу (е) иногда также называют первой формулой среднего значения. Заметим сразу же, что формула (ее) сразу вытекает из формулы (*) и из того, что непрерывная на сегменте [а, Ь[ функция достигает на этом сегменте как своих точных граней М и па, так .и любого промежуточного значения 1ь(т'. «1ь<М). Таким образом, нужно доказать'только формулу (е). Для доказательства формулы (е) заметим, что по определению точных траней для любого значения х из [а, Ь[ справедливы неравенства т 7(х) <М. Предполагая ради определенности д(х) неотрицательной на '[а, Ь[,.мы получим, умножая последние неравенства на д(х), что для любого х из [а, Ь) ту (х) Я(х) а (х) (Му(х) .
(ее е) Так как, кроме того, в силу свойств б) и в) из п. 1 каждая из функций пад(х), Мйг(х) и [(х)у(х) интегрируема на [а, Ь), то оценка (еее) позволяет утверждать справедливость следующих неравенств: * ь ь ~ гпп (х) йх < ~ [ (х) д (х) йх < [ Му (х) дх $ 4. Свойства определенного интеграла Ь (1[х) я[х) ах т< <М. Ь ( я(х) ![х е Для завершения доказательства формулы (е) остается обозначить символом )т число ь (1[а) д(х) ех ь ) л[х) ох Следствие. Сформулируем отдельно доказанную нами теорему для частного случая К(х) — = 1.
Пусть функция 1(х) интггрируема на сегменте (и, Ь(, а символы М и т обозначают точные грани )(х) на укаэанном сегменте. Тогда найдется число р, удовлетворяющее неравенствам т()т( (М и такое, что справедлива формула ь ) Г(х)йх=р(Ь вЂ” а). а При дополнительном предположении о непрерьсвности ) (х) на (а, Ь( можно утверждать, что на этом сегменте найдется точка $ такая, что справедлива формула ь ~Г(х) йх=)(К) (Ь вЂ” а). а Последнюю формулу обычно также называют ф о р м у л о й среднего з на ч ения. е) Вторая формула среднего значения.
Пусть функция 1(х) интегриругма, а функция д(х) монотонна на сегменте (а, Ь(, Тогда на этом сегменте найдется число $ такое, что' ь а ь ~ ( (х) д (х) йх = д (а) ~ ) (х) йх + д (Ь) ~ Г (х) йх. а а 2 Установим сначала следующий факт, которым мы восполь. зуемся ниже Лемма Абеля*. Пусть числа р; удовлетворяют условиям рт)ргъО при [ ), а числа Ят = Я дь (1=1 2, и)— ь=1 ' Нильс Генрих Абель — норвежский математик [1802 — 1829). 12 Зах. тх Гл. 9.
Определенный интеграл Римана неравенствам т(Яе(М„где д», т, М также некоторые числа. л Тогда тра<Я РИ»<МР!. й=! Дока з а тельство. Легко проверить, что ~, мй='~ Рйб — ~ -д=~ З (р» — Рй+д где положено Бе=О, р +!=О. Так как р»>0, р» — Р»+!~0, то, заменив в последнем равенстве каждое 5! сначала на т, а затем иа М„получим а л и т') (р,— рй+д~(Я рйд» «М~ (р,— рй!.д, й=! й-1 й=! но ~~ (Рй — Р»+д=р,— Рл+! = Р,.
й=! Таким образом, лемма доказана. Установим теперь вторую формулу среднег о з н а ч е н и я. Допустим, что функция Р(х) не возрастает нв [а, Ь) и иеотрицательна. Функция [(х)й(х) интегрируема как произведение двух интегрируемых функций. Пусть М» и т»вЂ” точные грани ! (х) на частичных сегментах [хй !, х»).
' Тогда очевидно, что и л и Я тйп(хй д !йхй<~' Г(хй дйг(х~ дйхй < ~' Мййг(х~ дбх». й=! й —.! й=! В силу монотонности йг(х) справедлива оценка (Мй — тй) и (ха д Лхй < д (а) ~ (Мй — тй) Ьха. В силу интегрируемости т(х) сумма в правой, а значит, и в левой части последнего неравенства стремится к нулю при стремлении диаметра с( разбиений к нулю. Следовательно, при любых числах ай таких, что т»<)йй(М», все суммы тйп (хй — д бхй, Я рйй!(ха д !й!хй, ~,. Мед(х~ д Лхй й=! й=! й=! ь стремятся при е(-«0 к интегралу ~~(х)д(х)г!х. Это следует из И й 4. Свойства определенного интеграла двусторонней оценки для интегральной суммы функции )(х)а(х) *.
По свойству д) настоящего пункта числа ры где т»([»» х» «М», можно выбрать так, чтобы ) ((х)дх=)»»Ьх». х» Заметим теперь, что функция г'(х)= ) )(()г(г непрерывна И на сегменте [а, (!), так как а+ »х Лг = г (х+ Лх) — г (х) = ( 1 (() г((=-)тлх, !и( )(г) ((» ( зпр ~(()„ ге[ах+ах) та[»,х+йх) и, следовательно, ЛР-эО при Лх-э.О.
с хг Рассмотрим следующие числа Зг= ~~ [г»Лх»= ~ 1(()'Й. »=1 а Ясно, что т(Зг(М, где т и М вЂ” точные грани функции г'(х) на сегменте [а, (!). Введем следующие обозначения: р»=а(х» !),, д»=)»»Лх». 1=1, 2, ..., а. В .силу монотонности и неотрицательности функции д(х) выполнимо р!)р)- О при г(1'. Числа р»„5», д» удовлетворяют условиям леммы Абеля.
Поэтому л тд (а) ( ~' д (х»-!) )»»Ьх» ( Мд(а). »-! Сумма Я д (х» !) (»»Лх» заключена между тд (а) и Мд (а). »=1 Устремим теперь диаметр д разбиений к нулю. Тогда и предел этой суммы будет заключен между тд(а) и Мп(а), т. е. будут справедливы. неравенства » тд(а) ( ) ~(х)у(х)с(х~(Мд(а). а " Т. е. ва неравенств Я лг»а(х» !)Лх» < ~~ ! (х» !)н(х» !) Лх» С ) М»н(х») Лх», Гл. 9. Определенный интеграл Римана Непрерывная функция Р (х) = ) 1 (() с(( принимает любое ч значение, заключенное между ее точными гранями гн и М. Так как ,[ 1(х) а (х) В т ( <Ма д (а) то существует точка $ такая, что э [ 1(х) е (х) Пх Р(~)=~[(()д(= ' е (а) а Следовательно, в случае, когда п(х) не возрастает и неотрица- тельна, доказана формула ь $ ~1(х)д(х)г(х=д(а) ) 1(Г) Й.
а И Рассмотрим теперь общий случай невозрастающей функции р(х). В этом случае функция й(х) =д(х) — д(Ь) не возрастает и неотрицательна. Подставив ее вместо п(х) в формулу, доказанную выше, получим, что ~ 1(х) [д(х) — й(Ь)1 г(х= [д(а) — д(Ь)[ ') ((х) с(х. Окончательно получаем равенство ь ь ) ( (х) д (х) г(х = д (а) ~ г (х) г(х + д (Ь) ) ) (х) г(х— И ч а ь — д (Ь) ) 1 (х) г)х = д (а) ~ Г (х) с(х + д (Ь) ) 1 (х) г(х, а а 4. что и требовалось доказать *. Рассмотрим примеры на применение оценок для интегралов. П р и м е р ы.
1) Рассмотрим функцию )' х", хек(0, 11, [1, х=О. Этв функция )(х) непрерывна на сегменте [0,1). Легко убедиться ' Если к(х) не убывает, то заменой иг(х) = — е(х) сводим этот случай н уже рассмотренному. Зоу й 5. Первооораанаи непрерывной функции с помощью вычисления производной, что эта функция достигает локального минимума при хо=1/е. При этом /(1/е) е е — 'й; и это значение является ее наименьшим значением на сегменте [О,1].
Используя свойство б) настоящего пункта, получим, что е-'/е< ! <~хМх<1,а для числа е ьв легко получить, что н-Не=0892.... Заметим, что в этом случае 'значение интеграла нельзя определить через значения элементарных функций. 2) Если функция /(х) не является непрерывной, то формула среднего значения (*а) может быть несправедливой. Рассмотрим функцию [ 1/2, 0 < х -:. 1/2, [ 3/4, 1/2 < х < 1. 1 Тогда ~ /(х)е(х=б/8.
Значение 5/8 не принимается функцией /(х)' о ни в одной точке $ сегмента [0,1]. Следовательно, не существует 1 числа за [О, 1], для которого ] /(х) дх=/(й). о й 3. ПЕРВООБРАЗНАЯ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ. ПРАВИЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ ФУНКЦИЙ В предыдущих параграфах уже достаточно полно изучены свойства интеграла Римана. В частности, было показано, что, пользуясь определением интеграла, можно вычислить интеграл от некоторых простейших функций. Однако такое вычисление интеграла с помощью предельного перехода в интегральных суммах обладает рядом неудобств и приводит к значительным трудностям. Поэтому на повестку дня встает вопрос о простых правилах вычисления определенного интеграла Римана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
