В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Ниже нами будет дано одно из таких правил вычисления определенного интеграла, а именно будет доказана основная формула интегрального исчисления (формула Ньютона — Лейбница). 1. Первообразная. Рассмотрим интсгрируемую на сегменте [а, Ь] функцию /(х). Пусть р принадлежит [а, Ь]. Тогда для любого х из [а, Ь] функция /(х) интегрируема на [р, х], и поэтому а на сегменте [а, Ь] определена функция г (х) = ~ /(г) г/Г, которая а называется интегралом с переменным верхи н м пределом. Аналогично определяется функция Р(х) на интервале (а, Ь) при условии, что /(х) определена на интервале (а, Ь) и интегрируема на любом сегменте, принадлежащем этому интервалу.
Гл. 9. Определенный интеграл Римана Теор е м а 9.5. Если функция 1(х) интегрируема на сегменте (а, 6), р — любая точка этого сегмента, то производная функции Е(х)=) г (1)й сУЩествУет в каждой точке хо непРеРывно- Р с т и подынтегральной функции, причем Е'(хо) =[(хо) '. Доказательство. В силу непрерывности функции 1(х) в точке хо для любого в>0 найдется такое б>0, что 1(хо) — е< <1(х)<1(хо)+е, если ~х — хо)<б. Для всех 1 из (хо, х1 выполняется неравенство (( — хо(<(х — хо(<6. Поэтому для всех таких 1 Цхо) — е<[(1) <г (хо) +е.
Согласно свойству д) п. 2 $4 (независимо от знака разности х — хо) получим из последних неравенств 1(хо) — еям — ~1(1)й<1(хо)+е при (х — хо( <б. 1 х — хо «з « 1 (Значение р= — 1[(Г)й не меняется при перестановке чих — хо,> «з сел х и хо, так как при этом одновременно меняется знак у вели« « чины х — хо и у интеграла ~~(1)й). Но ~ г'(Г)й= 1 х — хз «, «з р (х) — р (хо) следовательно, при ~(х — хо( <6 х — хо 1(хо) — е< ' <) (х,)+,е, х — х т. е.
г" (х) существует и равна 1(хо). Теорема доказана. Следствие. Любая непрерывная на сегменте [а, Ь'1 функция Г(х) имеет на этом сегменте первообразную. Одной из перво« образных является функция Р (х) = ) [(1) й. « Замечание 1. Теорема остается справедливой, если [('х) непрерывна на интервале (а, 6). В этом случае в качестве нижнего предела надлежит взять любую точку р этого интервала. Все рассуждения сохраняются.
" Если точка х, совпадает с одним из копцов сегмента [а, Ь), то под производной в точке хз функции г(х) понимается левая или правая производная соответственно. доказательство теоремы при этом не меняется. Е 5. Первообрааная неореривной функции 359 3 а меч ание 2, Можно рассматривать и функцию нижнего а предела интеграла от [(х), т. е. функцию Ф(х)=) ~(()а([ Для такой функции Ф'(х) = — ((х), 3 а меч а н и е 3.
Если функция 1(х) интегрируема на любом сегменте, содержащемся в интервале (а, Ь), то интеграл с переменным верхним пределом есть непрерывная на (а, Ь) функции верхнего предела. Д е й с т в и т е л ь н о, пусть г' (х) = ) 1 (!) а([, р ен (а, Ь). Тогда к+ ак Гар = Р(х+ бх) — Р (х) = ) 1(1) г[( = рох, где [п( [(х) «(р,< зцр ((х) ли [к,к+як! ке[к к+аж по первой формуле среднего значения. Если функция ((х) интегрируема, то она ограничена, а поэтому для всех достаточно малых Лх ограничена и величина р, зависящая от х и Лх.
Более точно, [п( [(х) «<р«< зцр ! (х) *. Поэтому Лг'-+О при Лх-+0. ка[ккт[ к а[а и! 3 а меч а н ие 4. Интегралы с переменным верхним (или нижним) пределом можно использовать для определения новых функций, не выражающихся через элементарные функции. к Так, например, интеграл ~ е '"а((, как уже отмечалось, назыа о! вается интегралом Пуассона, интеграл 1,, 0< ,[ 'Г' (! — [а) (1 — йк!) о <Й< ! называется эллиптическим интегралом, интеграл к а[и ! Р созЫ С вЂ” Й вЂ” интегральным синусом, ! — — интегральным а ! косинусом и т. д. 2.
Основная формула интегрального исчисления. Мы уже знаем из предыдущих рассмотрений, что любые две первообразные функции [(х), заданной на сегменте (а, Ь), отличаются на постоянную. Поэтому если Р(х)=) [(!)а((, а Ф(х) — любая друк — к б В р йг, ю Нее тервалу (а, Ь) и такой, что ка(е, о), к+Лая(с, т[).
' 360 Гл. 9. Определенный интеграл Римана гая первообразная непрерывной функции 1(х), то Ф(х) — г(х) = а =С=сонэ(, т. е. Ф(х) = ) 1" (б)Й+С (см. теорему 9.5). Положим е в последней формуле сначала х=а, а затем х=Ь. Как мы усло- е вились (см. и.
1 предыдущего параграфа), ) ~(б)Й=О для любой е функции, принимающей конечное значение в точке а, поэтому б Ф(а) =С, Ф(Ь)=) Г(х)йх+С. Отсюда е ) Г(х)йх=Ф(Ь) — Ф(а), и и нами получена основная формула интегрального исчисления. Сформулируем ее в виде теоремы.
Теорема (основная теорема интегрального и сч и с л е н и я). Лля того чтобы вычислить определенный интеграл по сегменту (а, Ь1 от непрерывной функции 1(х), следует вычислить значение произвольной ее первообразной в точке Ь и в точке а и вычесть из первого значения второе. Теперь мы имеем правило вычисления определенного интеграла от широкого класса интегрируемых функций. Задача вычисления определенного интеграла свелась к задаче нахождения первообразной непрерывной функции. Естественно, что не для всякой функции найти первообразную просто. Мы уже неоднократно указывали функции, первообразные которых не выражаются через элементарные функции (см. например, и.
1 этого параграфа). В этом случае, естественно, возникает вопрос о приближенном вычислении определенных интегралов, о чем пойдет речь ниже. Основную формулу интегрального исчисления часто записыб вают в форме ) б" (х)йх=Ф(х)~,б, где введено обозначение Ф (х) (,б = Ф (Ь) — Ф (а). 3. Важные правила, позволяющие вычислять определенные интегралы. При вычислении определенных интегралов очень часто используется правило замены переменной под знаком определенного интеграла. Пусть функция х=д(т) имеет непрерывную производную на 361 к б, Первообразная непрерывной функпин сегменте [пз, М[ * и ппп й(г) =а, пах д(г) =Ь, причем серым) ! Е рым3 ь м у(т) =а, у(М) =Ь.
Тогда ) ~(х)с(х=) ) [у(г)[Ы'(г)дг (при услоа м вии, что функция )(х) непрерывна на сегменте [а, Ь[). Указанная формула называется формулой замены переменной под знаком определенного интеграла. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Ф (х) — некоторая первообразная функции )(х). Функции Ф(х) и х=д(г) дифференцируемы на сегментах [а, Ь[ и [пт, М[ соответственно. Поэтому, согласно правилу вычисления производной сложной функции, для всех г из [т, М[ — „, Ф(а(]))=Ф'(у()))у'(О. Заметим, что производная Ф' в выражении справа вычислена по аргументу х: Ф'(д(г)) =Ф'(х), х=у(г). заметим также, что Ф'(х) =у(х), Подставив в правую часть формулы для — Ф(д(])) это равенство, получаем вг — Ф (у(0) =1(у И)) уо()).
Таким образом, функция Ф(д(г)) является на сегменте гп( <(<М первообразиой для функции у(д(() )у'((), т. е. м ) )" (д(г)) д'(г) аг=Ф(у(М)) — Ф(д(т)) =Ф(Ь) — Ф(а) ь согласно условию. Следовательно, с одной стороны, ) ) (х)дх= а м =Ф(Ь) — Ф(а), а с другой стороны, Ф(Ь) — Ф(а)= ~ у(у(())д'(г)дь', 1л что и требовалось. Сформулируем и установим теперь правило интегрирования по частям.
Пусть функции )(х) и д(х) имеют непрерьсвные производные на сегменте [а, Ь], тогда ь ь ~ у(х) у' (х) дх =у(х) д(х) [,' — ) д(х) Т' (х) дх. а а ' Будем ~наорать, что д(Г) имеет непрерывную производную на сегменте (лг, м], если производная г'(г) существует и непрерывна в любой внутренней Игп а' (г) и !пп д' (г) . точке (пз М] и существуют конечные пределы г ма+о с м-о Гл. 9. Определенный интеграл Римана Действительно, — (г (х) д(х)) = ~(х) д' (х)+ т' (х) д (х). Поэтому ек функция ~~х)й(х) является первообразной функции (Г(х)й'~х)+' +)'(х).д(х)). Следовательно, ~ (Г(х) я'(х)+ Г'(х) я(х)) дх=Г(х) д(х) (е, и наше утверждение доказано.
Последнюю формулу удобно запи- сывать в виде 11да=удуе 1йг(1. 4. Остаточный член формулы Тейлора в интегральной форме. Целью этого пункта является получение формулы Тейлора для функции Г(х) в окрестности произвольной точки а с ост а- точным членом в так называемой интегральной форме. Пусть функция Г(х) имеет в некоторой з-окрестности точки а непрерывную производную (и+1)-го порядка.
Пусть х принадлежит указанной окрестности. Рассмотрим равенство к Г (х) — Г (а) = ) Г' (1) Й. а Полагая и(г) =Г'(1), и(Г) = — (х — (), применим к интегралу ) ~'(()Й=~и(г)гЬ(г) формулу интегрирования по частям. По. а к лучим к к ~(х) — ~(а)= ~ ~'(~) Й= — (т" (() (х — 1))),+ ~ ~" (г) (х — 1) Й = а а = Г'(а) (х — а)+ ) Г" (1)(х — г) Й: Таким образом, последовательно интегрируя по частям,, по- лучим ~(х) — ~(а) = ~~"ЯЙ=Г(а) (х — а)+ ~ 1" Я(х — 1)Й = к О =Г'(а)(х — а)+ — Г" (а) (х — а)'+ — ~'~'"(1)(х — ()еЙ=...
2 2 а 363 й 6, Первообрнзнан непрерывной функции .. = Г' (а) (х — а) + 1/2 ) (а) (х — а)'+ .. .. + — )т"> (а) (х — а)" + — Г )т"+>> (1) (х — 1)" е(1 = л> л>,) а » = ~ — )>ь> (а) (х — а)" + )>!„.»! (х), 1 »=! где К.+ (и) = — 1 1>»+>>(() (х — 1)«(1. 1 е «1 .1 Мы видим, что Р„+>(х) является остаточным членом разложения Тейлора для функции )(х) в окрестности точки а.
Эта форма остаточного члена и называется и н т е г р а л ь и о й формой. Если применить первую формулу среднего значения (см свойство д) п. 2 $ 4), то 1 с «+и (~) А',.~>(х)= — ~ (!»+>>(1)(х — 1)" >((= к ~ (х — 1)"Ж= л> л> 1!»+! (~) ( !)»+! а )(«+>> (ц (х — а)"+', л> л+ 1 а (л+ 1)1 где 6 — некоторая точка сегмента (а, х).
Следовательно, при тех же предположениях мы получим остаточный член в форме Лагранжа. На самом деле, легко заключить (используя теорему Дарбу о прохождении производной че>>ез все промежуточ(а — п)"+' г«+ > ($) ные значения), что Я,+! (х)= лишь при усло(л+ 1)1 вии существования и интегрируемости 1!«+>>(х).
Рассмотрим теперь примеры, иллюстрирующие изложенный в атом параграфе материал. П р и м е р ы. 1) Вычислить интегралы, применяя основиую формулу интегрального исчисления: ь ~+! !» ь»+! — а«+! а) ~х"е(х — ~ —, п~ 1. л+1 ~а «+1 а ь б) ) >йпхе(х= — созх)»=сова — сон Ь, соз хдх = з) п Ь вЂ” 61 п а. Гл. 9. Определенный интеграл Римана е в) 1 — =агс(дх!е=агс(йа. ~Ы (+ха о е г) [ дх= — 1п(па+ко)(а= — 1п2, а'>О. .! па+ха 3 3 о 2) Вычислить интегралы, применяя правило замены переменной: н/л л/л 1 а) ~ — г(х= ~ — /(х= ~ Ж(= — (о~ =1/5, г а(п'х /' (аах г ! и с~в~ .) ет',) В о о о где 1=(ах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
