В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Покажем, что функция [(х) =с=сопз1 интегрируема на любом ь сегменте [а, Ь], причем ) се(х=с(Ь вЂ” а). Действительно, при любом а разбиении (ха) и любом выборе точек $а на сегментах [ха-ь ха] спРаведливо Равенство 1(йе) =с. Следовательно, о(хм еа) =сйх,+сбха+ ... +сбх„= = с (йх, +Ах,+ ... + Лх„) = с(Ь вЂ” а) для любого разбиения [хе) и любого выбора точек йде4хь ь ха].
Поэтому ь сс(х=11шв(хь, $,) =1ппс(Ь вЂ” а).=с(Ь вЂ” а). ло ао Докажем следующее Утвержден и е. Если функция 1'(х) не является ограниченной на сегменте [а, Ь], то эта функция не интегрируена на этом сегменте. Пусть [(х) не ограничена на [а, Ь]. Покажем, что для любого разбиения (ха) интегральную сумму а(хм $а) можно сделать сколь угодно большой по абсолютной величине только за счет выбора промежуточных точек йа. В самом деле, если функция [(х) неограннчена на сегменте [а, Ь], а сегмент [а, Ь] разбит на конечное число сегментов [хе ь хь], то функция 1(х) будет неограниченной хотя бы на одном частичном сегменте разбиения. Не нарушая общности, будем считать, что [(х) не ограничена на сегменте [хо, х|]. На $ Н Определение интеграла.
Иитегрируемость ззз остальных сегментах [хь ха], [ха, ха], ..., [х„ь х„] промежуточные точки $ь $„..., $„выберем произвольными н фиксируем. Обозначим через аг(ха, еь) величину а1 — — а1 (хд, ',ь) =[(5т) Лхт+[($а)Лха+ ... +[($„)Лх . Рассмотрим теперь функцию [(х) только на сегменте [ха, х1]. Поскольку фунцкия 1(х) не ограничена на этом сегменте, то для любого наперед заданного положительного числа М найдется точка с1 из этого сегмента такая, что ]1(е,) ] > (] о,]+М) 1Лхь Отсюда следует, что ]](е,) ]Лх,ъ]а1]+М, и поэтому и ]а(х„~~)] = ~~1(йа) Лха~ = ][($т) Лх,+а,(ха, $а)] > а=1 >У(еьт)]Лхт ]ат(хы еьа)[Э М. Теперь уже совсем просто убедиться в нсинтегрируемости функции [(х) на сегменте [а, Ь]. В самом деле, предположим, что [(х) интегрируема на [а, Ь], т, е.
для вее существует предел 1 интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения а' к нулю, В силу доказанного выше для разбиения с как угодно малым диаметром с( н для положительного числа М= ]1]+1 найдется интегральная сумма а, удовлетворяющая условию ]о]>]1]+1, из которого в силу неравенства ]а — 1] ) ]а] — ]1[ вытекает, что ]и — 1] >1 (для разбиения с как угодно малым диаметром й). Это противоречит определению 4 предела интегральных сумм, .
Итак, мы доказали, что интегрируемыми на сегменте [а, Ь] могут являться только ограниченные на этом сегменте функции. Естественно возникает вопрос: всякая ли ограниченная на сегменте [а, Ь] функция является интегрируемой на этом сегменте? Докажем, что функция Дирихле Р(х), равная нулю в ирратциональных и единице в рациональных точках сегмента [а, Ь], представляет собой пример ограниченной и неинтегрируелюй на этом сеглтенте функции. Для разбиения [а, Ь] с как угодно малым диаметром д, взяв в качестве всех промежуточных точек иррациональные точки, мы получим интегральную сумму аь равную нулю, а взяв в качестве всех промежуточных точек рациональные точки, мы получим интегральную сумму аь равную Ь вЂ” а.
Если бы существовал предел 1 интегральных сумм при стремлении й к нулю, то для положиЬ вЂ” а тельного числа и= — и для достаточно малого с( мы получи- 2 'Ь вЂ” а Ь вЂ” а ли бы ]а,— 1]( —, ]на — 1[:, откуда [аа — п~] = 2 2 =] (ат — 1)+ (1 — аг) ] и.]аг — 1]+ ]а~ — 1](Ь вЂ” а, а это противоречит тому, что от — о'| =Ь вЂ” а.
Гл. 9. Онрелеленный интеграл Римана 334 5 2. ВЕРХНИЕ И НИЖНИЕ СУММЫ И ИХ СВОЙСТВА 1. Определение верхней и нижней сумм. Утверждение, доказанное в 5 1, дает нам основание рассматривать всюду в дальнейшем только ограниченные на данном сегменте функции (ибо неограниченные функции заведомо не являются интегрируемыми по Риману).
Пусть [(х) — ограниченная на сегменте [а, Ь] функция и (х»)— произвольное разбиение этого сегмента. Так как 1(х) ограничена на сегменте [а, Ь], то она ограничена и на любом частичном сегменте [х» ь х»], а поэтомУ У фУнкции 1(х) сУществУют точнаЯ нижнЯЯ грань т» и точная верхняя грань М» на частичном сегменте [хк-ь х»].
Итак, пусть т» = 1п11". (х), М» = зпр) (х). к, д(как» к, ~к~к» Введем фундаментальные понятия верхней н нижней сумм. Определение 1. Суммы 5 = М»Лх! + М Лха +... + М,Ах„= к~М»Лх» »=! в=т,Ах, +таЛх + ... +т„Лх„=')'т»йх» »=! будел! называть соответственно верхней и н и ах ней сумм имии функции 1(х) для данного разбиения (х») сегмента [а, Ь]. Выясним гео метрический с м ы с л верхней и нижней сумм.
Рассмотрим снова криволинейную трапецию, т. е. фигуру, ограниченную отрезком [а, Ь] оси Ох, графиком неотрицательной непрерывной функции у=[(х) э О и прямыми х=а, х= Ь, перпендикулярными к оси Ох (рис. 9.2). Пусть дано любое разбиение (х») сегмента [а, Ь]. Число М» в случае непрерывной функции у=)(х) является ее максимальным значением на частичном сегменте [х» !, хд]. Поэтому верхняя сумма равна площади элементарной ступенчатой фигуры, содержащей криволинейную трапецию. Эта плошадь заштрихована на рис. 9.2. Аналогично нижняя сумма равна площади элементарной ступенчатой фигуры, которая содержится в криволинейной трапециИ (ряс.
9.3). Отметим, что число т, в этом случае является минимальным значением функции у=1(х) на частичном сегменте [х»-ь х»]. Анализируя геометрический смысл интегральной суммы, можно ожидать, что интеграл от интегрируемой по сегменту [а, Ь] функции у=)(х) должен равняться числу, которое следует принять за площадь соответствующей криволинейной трапеции.
Но к этому 333 $2. Верхние и нижние суммы и нх свойства же числу будут стремиться верхние и нижние суммы при стремлении диаметра разбиений к нулю. Поэтому представляется вероятным, что для интегрируемости функции необходимо и достаточно, чтобы разность между верхними н нижними суммами стремилась к нулю. Строго это будет доказано ниже. а в Ь ао мт акн ~л хе Рис.
9.3 Рис. 9.2 2. Основные свойства верхних и нижних сумм. Докажем следуюшие леммы. Л е м м а 1. Пусть о(хм $е) — интегральная сумма, отвечающая данному разбиению (хл). Тогда при любом выборе промежуточных точек $е всегда справедливы неравенства зко~5, где з и 5 — соответственно нижняя и верхняя суммы, отвечающие тол~у же разбиению. До к а 3 а тельство. По определению чисел тл и Ме заключаем, что ть-с[($л) ~М для любого ял из сегмента [хл ь хе[. Умножая написанные неравенства на бхе и суммируя по всем й от 1 до и, получаем требуемое утверждение леммы.
Л ем и э 2. Пусть (хл) — произвольное 4иксированное разбиение сегл~ента [а, Ь), е — произвольное положительное число. Тогда можно выбрать промежуточные точки кл так, чтобы интегральная сумма о(хе, $л) и верхняя сумма 5 удовлетворяли неравенству 0(5 — о(хм эе)<е. Прол1ежуточные точки т)л можно выбрать и таким образом, чтобы для интегральной сумл~ы о(хм Че) и нижней сУл~мы з выполнЯлись неРавенства 0 ао(хл, т)л) — з<е. До к а за тельство.
Пусть (хл) — фиксированное разбиение сегмента [а, Ь[ и е>0, Докажем сначала первое утверждение леммы. Поскольку Мл=знр1(х), то для выбранного нами е>0 найлл ~в~ли дется точка $е сегмента [хе ь хе[ такая, что 0«:Ме — [(еь) <е/(6 — а). Умножив эти неравенства на бхл и просуммировав по всем я от 1 до и, получим 0~5 — о(хм $ь) <е. зза Гл. 9. Определенный интеграл Римана Аналогично в силу того, что т»=1п(Г(х), существует - такая а д~л~л» точка т)»ен[х» ь х»], что О <[(т1») — т»< г1 (Ь вЂ” а) .
Последние неравенства после умножения на Ах» и суммирования приводят к оценкам О~о(х», т)») — з<г. Лемма доказана. С л е д с т в н е. Дггя любого фиксированного разбиения (х») справедливы следующие соотношения: Я=ниро(х„$»), з=!п1а(х„, т)»), й» ч» гдг точные верхняя и нижняя грани берутся по всевозможным промежуточным точкам. Лемма 3. При измельчении данного разбиения верхняя сумма может только уменьшиться, а нижняя сумма — только увеличиться.
Доказательство. Пусть (х») — данное разбиение, а разбиение (х»') получается из него добавлением только одной новой точки х. Легко видеть, что общий случай сводится к данному. Предположим, что х лежит внутри [х» ь х»]. Тогда в выражении для Я слагаемое М»Ах» заменится на М»(х — х»,)+М»(х» — х), где М» = зцр1(х), М»=зпр1(х). л Ка<л л~аКл» Точная верхняя грань функции на части сегмента не превосходит точной верхней грани функции на всем сегменте. Поэтому М»'~М», М»н~М» и М» (х — х,) + М» (х„— х) < М» [(х — х»,) + (х„— х)] = М»йх».
Так как все другие слагаемые в выражении для верхней суммы сохранятся, то мы доказали, что при добавлении точки х верхняя сумма может только уменьшиться. Случай, когда к данному разбиению добавляется несколько новых точек, сводится, очевидно, к рассмотренному. Точно так же устанавливается, что при измельчении данного разбиения нижняя сумма может только увеличиться. Лемма доказана. Л ем м а 4.
Для двух произвольных и, вообще говоря, различньтх разбиений сегмента (а, Ь] нижняя сумма одного из этих разбиений не превосходит верхней суммы другого разбиения. Доказательство. 11усть (х»') и (х»") — два произвольных разбиения сегмента [а, Ь], а о', з', Я", з" — верхние и нижние суммы этих разбиений соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
