В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Тем самым мы приходим к следующей теореме, исчерпывающей проблему интегрирования рациональной дроби. Теорем а 8.5. Всякая рациональная дробь с вегцественнь!ми коэффициентами интегрируема в элементарньгх функциях. В заключение этого параграфа мы остановимся на примерах вычисления неопределенных интегралов от рациональных дробей. Вычислим неопределенные интегралы от трех дробей, рассмотренных в предыдущем параграфе, (8.49), (8.50) и (8.53)-.
Пользуясь указанными тремя формулами, а также формулами (8.55)— (8.57), будем иметь: 2ха+4ха+х+2 ',) (х — 1)'(х +а+1) 2 (' 3 Йх+ ( т(х+ 5 (' г(х х †! .)(х — 1) ) * +х+! = 21п)х — 1 ( — — + = агс (и=+ С. 3 2 2х+1 х — ! Уй ' Точнее, выражается через логарифн, арктаагенс и рациональную функцию. $ 3. Классы функций, интегрируемых в элементарных функциях 321 гЗха+2ха+Зха — 1 Г 3 Г 2йх Г хах , (х — 2)(ха+1)а,~ х — 2 „~ ха+ 1,) (ха+1)а 1 Гл(ха+1) =- 3 !п1х — 21+ 2агс !ух+ — ! 2 ,) (ха + 1)а 1 = 3(п1х — 21+ 2агс!нх — +С. 2(ха -1- !) 1 = — 2!п(х — 11+ — 1п (х1+ — !п(х — 2! + С.
3 2 2 6. Интегрируемость в элементарных функциях некоторых тригонометрических и иррациональных выражений. В рассуждениях настоящего пункта важную роль будет играть р а и и о н и л ь н а я функция от двух аргументов. С определения такой функции и выяснения некоторых ее свойств и начнем наше изложение. Многочленом степени и от двух аргументов х и у называется выражение вида Р„(х, У) =ась+а!ох+во!У+ахея~+вихря аооУ~+ ... +аояУ", в котором через аоо, а!о, ..., ао, обозначены некоторые постоянные ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛа таКИЕ, Чта СРЕДИ ЧИСЕЛ аяО, а< П!, а! -2>2, ...
..., а,„есть хотя бы одно число, отличное от нуля. Рациональной функцией от двух аргументов х и у называется выражение вида й(х, у) = —" Е.(, е)' в котором через Р„(х, у) обозначен произвольный многочлен от двух аргументов х и у степени и, а через Я (х, у) обозначен произвольный многочлен от двух аргументов х н у степени т. Справедливо следующее тривиальное у т в е р >к д е н и е: если )т'(х, у)' — рациональная функция' ог двух аргументов х и у, а )т!(!), )тя(!) и Юэ(!) — три произвольных рациональных функции от одной переменной 1*, то выражение вида )тЖ! (!), %2(!)))тэ(1) (8.58) представляет собой рациональную функцию от одной перел!енной. Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что в результате применения к рациональным функциям одной пе- ' Под термином «рациональная функция от одной переменной !» мы понимаем рациональную дробь с вещественными коэффициентами от аргумента 11 Зак.
72 322 Гл. 8. Первообразная функция и неонределеаный интеграл ременной 1 операций сложения, вычитания, умножения и деления мы снова получим рациональные функции одной переменной й В дальнейшем для доказательства интегрируемости в элементарных функциях некоторых выражений мы будем посредствоья специально подобранной подстановки сводить интеграл от рассматриваемых выражений к интегралу от рациональной дроби*. Пр!в этом мы будем говорить, что интеграл от рассматриваемого выражения р а ц и о н а л и з и р у е т с я указанной специальной подстановкой. 1'.
Интегрирование не которы х т р и гоно метр и ч ески х выражений. Договоримся всюду в дальнейшем символом )г(х, у) обозначать любую рациональную функцию от двух аргументов х и у. В этом пункте мы докажем интегрируемость в элементарных функциях любой функции вида 1т(з1пх, созх). (8.59)~ Докажем, что интеграл от этой функции рационализируется подл становкой 1= 1а —. Действительно, 2 к 21а— 2 21 в1пх= !+12 — " '+' 2 1 1яз —" 2 1 — Р сов х= 1+1я — 1+~ 2 х=2агс1я1, г(х= рга 1+Р ' так что К(з1пх, сов х)с(х=~Я1 — — 11 .
(8.60~ 11+Р'! + Р/ 1+Р 2ог 1 — Р х=2агс1а1, 1(х=, совх= 1+Р 1+Р * Интегрируемость в злементарных функциях рациональной дроби установ лена в теореме В.б. Если положить )с,(1)= —, 1сз(1)=:, )сз(1)= —, то 21 1 — Р 2 1+Р 1+Р . 1+Р в правой части (8.60) мы получим интеграл от выражения вида (8.58), который представляет .собой интеграл от рациональной функции аргумента 1. П р и м е р. Вычислить интеграл 1 = ~ ол где а>0„ 1+ а соя х аФ1. Применяя универсальную тригонометрическую подстановку 1= 1я —, получим 2 к 3, навесы функций, интегрируемых в элементарных функциях 323 лг 2 л! ! =2( ,) (а+1)+!е(! — а) а+1~ 1 — а !+а Далее нужно отдельно рассмотреть два случая: 1) 0<о<1, =1) а>1.
В случае 0(а(1 2 I Г! — атг !', = =, агс (я ~1 у — + С =- ~7 +.~ 2 / Г! — а х~ = = агс 18 ~ у — 1я — + С. у1 — а' (, йг 1+а 2~ В случае а> 1 1+! Хк= 1и 1 уг ае — 1 )Г -', Га — 1 х 1+ ~/' — !К— (гГ а+1 2 1 1п Уае — 1 Га — 1 х 1 ~' — !д— У.+ )л(*, р — +')а=)и( — "' — ', ~) '"-"'""' а юее й!* 2'. Интегрирование дробно-л ни ейных и р р ацио- !нальностей. В этом пункте мы докажем интегрируемость в элементарных функциях любой функции вида '(" )Г=") (8.61) где а, Ь, с и с( — некоторые постоянные, п — любое целое положи- тельное число. Функцию такого вида мы будем называть д р о бно- линейной иррациональностью. Докажем, что интеграл от функции (8тб1) при ас( — Ьсчьб рацио- нгализируется подстановкой 1 = ч у . В самом деле, сх+ а Ге ах+ Ь а!е — Ь 1 (аа — Ьс) и!и"г !"= —, х= , с(х= !(1, сх+ 4' а — с!е ' (а — с!е)е 324 Гл.
8. Периеобрааиаи функция и неенределенный интеграл Если положить й',(2) =, )га(!) =с, гга(г) =- а — ссл (а — с!л)а то в правой части (8.62) мы получим интеграл от выражения вида (8.58), который представляет собой интеграл от рациональной функции аргумента й Тем самым доказано, что интеграл от дробно-линейной иррациональности (8.6!) рационализируется подстагах+ Ь л невкой сх+ с! Пример.
Вычислить интеграл 1=~~ — —. Сделав /1+ х г!х )/ подстановку /!+х а 1-1-х !и — 1 41гн — —, !а= —, х= —, с(х= 7 —.' - ' '+ ' ('+ )" и учитывая, что 1 — х=2!'(!а+! ), получим т'=2 3! — = 2 3! с(1 — 2 ) — = 21 — 2агс(81+ С= г 1асн Р Г Ж 3!1+ ! 3! 3! и+! =2 ~ г — — 2згс(яр — +С. г!+х Г1+ х йгг 1 — х $ ! — х 3'. Интегрирование квадратичных иррацион а л ь н ос тей. В этом пункте мы докажем интегрируемость в элементарных функциях любой функции вида )т (х, )саха+ Ьх+ с), (8.63) где а, Ь и с — некоторые постоянные. Функцию такого вида будем называть квадратичной и р рацио н альп ость ю.
При этом мы, конечно, считаем, что квадратичный трехчлен аха+Ьх+с не имеет равных корней (иначе корень из этого трехчлена может быть заменен рациональным выражением). Мы докажем, что интеграл от функции (8.63) всегда рационализируется одной из так называемых п одет а но во к Эйлер а. Сначала рассмотрим случай, когда квадратичный трехчлен ах'+Ьх+с имеет комплексные корни.
В этом случае знак квадратного трехчлена совпадает со знаком а, и поскольку по смыслу квадратный трехчлен (из которого извлекается квадратный корень) положителен, то а>0. Таким образом, мы имеем право сделать следующую подстановку: (8.64) 1= р'ахи+ Ьх+ с+ х1/а . Подстановку (8.64) обычно называют первой подстановкой Э й л е р а . Докажем, что эта подстановка рационализирует интеграл от функции (8.63) для рассматриваемого случая. Возводя в $3, Классы функций, интегрируемых в элементарных функциях 323 Таким образом, Й(х, Уах'+Ьх+с) с(х= — уаР+ Ы+сУа ) у аР+ Ы+сУа 65 ° '- )' ~ 2у ат+Ь 2 Уас+Ь ! (2уаг+ Ь)' Под знаком интеграла в правой части (8.65) стоит выражение вида (8.58) при ггх(г) =, )гв(г) = 2 аг+ Ь 2 усат+ Ь у' а г е+ Ы + с у а Ав(с) =2 . ° Таким образом, в правой части (8.65) (2Уа г+ Ь)х мы получаем интеграл от рациональной дроби.
Рассмотрим теперь случай, когда квадратный трехчлен ахх+ Ьх+ с имеет несовпадающие в е щ е с т в е н н ы е корни х1 и хх. В таком случае ах'+Ьх+с=а(х — х~) (х — хх). Докажем, что в этом случае интеграл от функции (8.63) рационализируется посредством подстановки Уахэ+ Ьх+ с х — хэ (8.66) называемой обычно второй п од с та нов кой Эйлера. В самом деле, возводя в квадрат равенство Уахе+Ьх+с=с(х — хх) и сокращая полученное равенство на х — хь получим а(х — хэ) = =Р(х — х1), так что х=,'+ ', У'ах'+Ьх+с= Р— а Р— а 2а(хт — хе) Г ( (Гэ а)э Таким образом, А'(х, У ахх+ Ьх+ с) с(х = „à — ахе -~- хеР а (х, — хе) Г т 2а (хт — хе) Г ° -РГ аг. Р— а Р— а 7 (Р— а)' (8.67) квадрат обе части равенства Уаха+Ьх+с=à — ху а, получим Ьх+с=хх — 2Уа Гх, так что х=, у'ахл+Ьх+с= + +'~ а.
2 аГ+Ь 2уа)+Ь 2 Уан+Ы+су а (2 Уст+ Ь) 326 Гл. 8. Первообраанан фуннцня н неонрекеленныа интеграл В правой части (8.67) под знаком интеграла стоит выражение вида (8.58) при Я,(1)=,' ', )т (1)= ', ', )та(1)= 2а (хт — ха) 1 Таким образом, в правой части (8.67) мыполучаем (Р— а)а интеграл от рациональной дроби. П р им е р ы. 1) Вычислить интеграл ах х+ тгха+ х+ ! Поскольку квадратный трехчлен х'+х+1 имеет комплексные корин, сделаем первую подстановку Эйлера 1=)г х'+х+1 +х. Возвышая в квадрат обе части равенства У х'+х+1 получим х'+х+1=Р-21х+х', или х+1=Р— 21х, так что х= —, г(х=2 Р— 1 !а+1+1 г(1. 1+21 (1+21)а Таким образом, Неопределенные коэффициенты А, В н В легко вычисляются: А=2, В= — 3, В= — 8. Окончательно получим 7= 21п(!( — 1п)1+ 21(+ 3 3 +С=- 2 2(1+21) ! =2!п()ггх'+х+1 +х( — 1п(1+2х+2)г'х'+х+1 (+ 2 + +С, 2(1+ 2»+ 2угха + х -1- 1) 2) Вычислить интеграл 1=~ о» Поскольку !+у 1 — 2» — ха квадратный трехчлен 1 — 2х — ха имеет вещественные корни х = — 1+ 1г 2 и ха= — 1 — !/2, сделаем вторую подстановку Эйлера (8.66) х+1+тг2 Возвышая в квадрат обе части равенства рг1 — 2х — ха=1(х+ 1+ рг2 ), будем иметь ( — 1)(х+1 — )г'2) = = Р (х+ 1 + рг 2 ), $4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
