В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Свойство 2' означает, что знаки ) и с( взаимно сокращаются и в случае, если знак интеграла стоит перед знаком дифференциала, но в этом случае к г" (х) следует добавить произвольную постоянную С. 294 Гл, 8, Первообрааная функция н неонределенныа интеграл Для установления свойства 1' достаточно взять дифференциал от обоих частей формулы (8.2) и учесть, что йг'(х) = =г'(х)ах=1(х) ах. Для установления свойства 2' достаточно в леной части (8.2) воспользоваться равенством с(Р(х) =)(х) ах. Следующие два свойства обычно называют линейными свойствами интеграла: 3'.
) Ц(х) "-д(х)1йх=))(х)с(х"-5д(х)йх. 4' ЯА!(х)1йх=А57(х)йх (А=сова(). Подчеркнем, что равенство в формулах 3' и 4' имеет условный характер: его следует понимать как равенство правой и левой частей с точностью до произвольного постоянного слагаемого (это понятно, поскольку каждый из интегралов, фигурирующих в формулах 3' и 4', определен с точностью до произвольного постоянного слагаемого) . Поскольку две первообразные для одной и той же функции могут отличаться лишь на постоянную, то для доказательства свойства 3' достаточно доказать, что если г(х) — первообразная для 1(х), а 6(х) — первообразиая для д(х), то функция Р(х) ~- 6 (х) является первообразной для функции 1(х) ьй(х).
Это последнее непосредственно вытекает из того, что произвольная (алгебраической) суммы функций равна сумме производных этих функций, т. е. 1г"(х) + 6 (х) 1' =Г(х) + 6'(х) =1(х) ->д(х). Аналогично доказывается свойство 4'. В этом случае использу. ется равенство 1АР(х)1'-АР'(х) =А!(х). 4. Таблица основных неопределенных интегралов. В гл. 5 мы получили таблицу производных простейших элементарных функций (см.
5 5 гл. 5), представляющую собой вычислительный аппарат дифференциального исчисления. Каждая формула этой таблицы, устанавливающая, что та илн иная функция г (х) имеет производную, равную 1(х), приводит нас, в силу определения неопределенного интеграла, к соответствующей формуле интегрального исчисления ))(х) йх= Р(х) + С. Таким путем мы приходим к следующей таблице основных неопределенных интегралов: 1'. )О й =С. 2 ) 1.ах =х+ С. к"+ х" Нх= — "+С (ачь — 1).
о+1 — = 1п ( х ( + С (х 4- .0). е" е(х= — е'+ С. 5'. а" йх=а"у!па+С (0< а~1), 4 !. Понятие пернообрааной и неопределенного интеграла 295 6'. ) з1пхо!х= — созх+С. 7'. ) созхг(х=а1пх+С. 8'. ( = ~ (1+ !да х) г(х = ,! соа'х =1дх+С (хчь — + па, и= — О, ~1, ...).
2 9'. ( — =~(1+с(дах) г(х= — с!их+С(хчьил, где 3 а!пал и=О, =Ы, ). ! т'1 — л' ! — агс сов х+ С лл / агсс(я х+ С, И'. ~ — =1 ! + л' ( — (а х+ С. 12 . ~ = 1п ! х+ )l'х' ~-1! + С (в случае знака «минус» либо Ух~~1 х' 1, либо х( — 1). 13. 1 '!' = — '1п!!+'.!+С (!х~~1). ,! 1 — ла 2 (1 — л! К этим формулам можно присоединить и соответствующие формулы для гиперболических функций: 14'. ) з)!хг(х=сЬх+С.
15'. ) свах!(х=з)!х+ С. 16'. ( — =111х+С. епа х 17'. ( — л = — с11! х+ С (х ~ О). ап х Сделаем замечания в отношении формул 4', 12' и 13'. Формула 4' справедлива для любого интервала, не содержащего значения х=О. В самом деле, если х>0, то из формулы (1пх)'=— 1 х заключаем, что ~! — =!их+С,, а если х<0, то из формулы г г!л л [1п( — х)) = — заключаем, что ~ — =1п( — х)+С.
Тем самым ! ах л ,),х формула 4' оправдана для любого хФО. Формулы 12' и 13' занимают исключительное положение в нашей таблице, ибо эти формулы не имеют аналогов среди формул таблицы производных. Однако для проверки формул 12' и 13' достаточно убедиться в том, что производные выражений, стоящих в правых частях этих формул, совпадают с соответствующими подынтегральными функциями. 298 Гл, 8. Первовбразная функция и неопределенный интеграл Наша ближайшая цель — дополнить таблицу неопределенных интегралов основными приемами н методами интегрирования. Но прежде чем приступить к реализации этой цели, сделаем одно важное замечание.
В гл. 1 и 4 мы ввели понятие элементарной функции, а в п. 5 9 5 гл. 5 установили, что производная любой элементарной функции представляет собой также элементарную функцию. Инымя словами, мы установили, что операция дифференцирования не выводит нас из класса элементарных функций. Отметим сразу же, что с операцией интегрирования дело обстоит иначе. Можно доказать, что интегралы ог некоторых элементарных функций уже не являются элементарными функциями. Примерами таких интегралов могут служить следующие: !а ~ е — Я'дх ) сов(ха) дх. 5е ) и!п(ха) йх 4. ((-"' (() ~ чь-1).
,! !пх 5". ! — дх (х~ О). к к Каждый из указанных интегралов представляет собой функцию, не являющуюся элементарной. Указанные функции не только реально существуют", но и играют большую роль в различных вопросах физики. Так, например, интеграл !', называемый интегралом Пуассона или интегралом ошибок„широко использу. ется в статистической физике, в теории теплопроводности и диффузии, интегралы 2' и 3', называемые интегралами Френеля, широко применяются в оптике.
Часто встречаются в приложениях и интегралы 4' — 6', первый из которых называется интегральным логарифмом, а последние два — интегральными косинусом и синусом, Для всех перечисленных новых функций (интеграла Пуассона, интегралов Френеля, интегрального логарифма, синуса и косинуса) составлены таблицы и графики. Ввиду важности для приложений эти функции изучены с такой же полнотой, как и простейшие элементарные функции.
Вообще, следует подчеркнуть условность понятия простейшей элементарной функции. * Мы уже отмечали, что в й 4 гл. 9 будет доказано существование неопределенного интеграла от любой непрерывной функции. Существование интегралов !' — б' обеспечивается непрерывностью подынтегральнык функций. 297 Е 2. Основные методы интегрирования $2. ОСНОВНЫЕ ПЕТРЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 1. Интегрирование заменой переменной (подстановкой). Замена переменной — один из самых эффективных приемов интегрирования.
Этот прием базируется на следующем элементарном утверждении. ПУсть функция т=гр(х) определена и дифференцируема на множестве (х), представляющем собой либо интервал, либо открытую полупрямую, либо бесконечную прямую, и пусть символ (т) обозначает множество всех значений этой функции, Пусть, далее, для функции дЯ существует на множестве (1) первообразная функция 6((), т. е.
] а (1) Ш = 6 (1) + С. (8.3) Тогда всюду на множестве (х) для функции в[ер(х)]~р'(х) существует первообразная функция, равная 6[~р(х)], т. е. ~й[р(х)] р (х) йх=6[р(х)]+ С. Для д о к а з а т е л ь с т в а этого утверждения достаточно воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции е — (6 [ер (х)]) == 6' [ер (х)] ~р' (х) (8.4) * Сн. л. 1 $ 3 гл. З. и учесть, что по определению первообразной 6'(1) =й(1). Предположим теперь, что нам требуется вычислить интеграл ] )(х)ах. (8.5) В ряде случаев удается выбрать в качестве новой переменной такую дифференцируемую функцию 1=~р(х), что имеет место равенство )(х) =д[ер(х)]<р'(х), (8.6) причем функция д(1) легко интегрируется, т. е. интеграл ] д(1)й =6(1)+С просто вычисляется. Доказанное выше утверждение позволяет нам написать следующую формулу для интеграла (8.5): ] 7(х)йх=6[<р(х)]+С. Этот прием вычисления интеграла (8.5) и называется интегрированием путем замены переменной.
Конечно, такой прием применим не ко всякому интегралу. Кроме того, следует подчеркнуть, что выбор правильной подста- 298 Гл. 8, Первообравная функция и неопределенный интеграл новки в значительной мере определяется искусством вычислителя. Приведем ряд примеров, иллюстрирующих только что изложенный метод. 1'. Вычислить 1'з(пЗхс(х. Для вычисления этого интеграла следует сделать простейшую подстановку г=Зх, Ж=Зс(х. В результате этой замены получим зш Зхс(х= — з1п1г(г= — — сват+ С= — сов Зх+ С.
Г 1 1 1 3 З 8 3 о Г дх 2, Вычислить ~ . Этот интеграл вычисляется посред,) х+а ством замены $=х+а, Ж=г(х. При этом получим — = ~ — = 1п(11 + С = 1п)х+ а ) + С (х ~ — а). Еа' Г ЕГ 3'. Вычислить ) есовхз1пхс(х. Легко видеть, что этот интеграл вычисляется путем замены 1=сои х. В самом деле, при этом с(1= — з(п хе(х и 1е"в' 81пхдх= — ~ е'г(г= — е'+ С= — е + С. (агс 19 х)гег 4'.
Вычислить с(х. Для вычисления этого иитег- 1+ х' рала удобна замена 1=агс(их. В самом деле, при такой замене 1+ хв,3 1+ хв,) 101 101 6'. Вычислить интеграл 1=1(бх — 6)'оввс(х. Конечно, раскрывая подынтегральную функцию по формуле бинома Ньютона, мы можем свести этот интеграл к сумме тысячи девятисот восьмидесяти пяти табличных интегралов. Но гораздо проще сделать замену переменной 1=5х — 6, Ж=бггх, в результате которой мы получим, что у 1 ( таввв с(1 Нмв 1 С (ак ОР 5 3 9925 9928 а Г ах 6 . Вычислить ~ .
Чтобы усмотреть ту замену, посредсов х ством которой может быть взят этот интеграл, перепишем его в виде Их ~ совках ~ совках сов х сов х 1 — 51пех После этого понятно, что следует положить 1=з(их, И=сои хггх. $2. Основные методы интегрирования В результате получим — = — )п~ — ~+С=)п ~(б ( х + — ")~+ С, хв ах 7'. Вычислить интеграл ~ . Для вычисления этого (Зх]ге + 1 интеграла удобна замена 1=(Зх)е, г(1=4874хЧх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
